高中数学：平面向量应用 学案
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文档简介
高三数学导学案
平面向量应用
一．考纲解读
1.会用向量的坐标运算和几何运算解决向量与函数，数列。不等式。解析几何等的交汇问题。
2.会将向量几何表示转化为坐标表示，从而更加有效地解决一些问题
3.强化“转化与化归”的运用，提高综合运用知解决问题的能力
二．考点梳理
1.向量的符号形式及图形形式的重要结论
（1）向量加减法的模 |α +b|=_________________|α -b|=________________
(2) G为三角形ABC重心的一个充要条件：_________________
O为三角形ABC外心的一个充要条件：_________________
P为三角形ABC垂心的一个充要条件：_________________
不同的三点A,B,C共线存在α，βR，使得=α+β,O为平面意一点，且 ____________________
2.平面向量坐标形式的重要结论A( x,y ) , B( a,b )
（1）长度或模_________________
（2）两向量夹角的余弦（0≤≤）
＝______________________＝_________________
(3)位置关系
共线_________________ _________________
垂直_________________ _________________
三．基础自侧
1.则__________
2.已知则的夹角为（ ）
A.150 B.120 C.60 D.30
3.关于的方程，（其中、、都是非零平面向量），且、不共线，则该方程的解的情况是 （ ）
A.至多有一个解 B.至少有一个解
C.至多有两个解 D.可能有无数个解
4.与=__________
5.若是夹角为的单位向量，则=2的夹角_________
6.设、是平面直角坐标系（坐标原点为）内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，且，，则的面积等于 .
四．典例解析
考点一 向量与函数
例1 已知非零向量、满足|α |=|b|，函数f（x）=+|α |+2a.bx+1在xR上有极值，为a，b的夹角，则的取值范围是 （ ）
A [0,] B ( 0， ] C （ ， ] D （ π ]
变式： 已知向量==,若，则的最小值为 ;
考点二 向量与三角函数
例2..已知向量=（cosx, sin x) ,=（cosx, -sin x ),且x[0, ]
(1) 求：及 |α +b|的值
（2）若f（x）=-2m|α +b|的最小值是-，求m的值
变式1、 已知向量，，
(1)若，求的值；
(2)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围.
．
考点三 向量与几何
例3 若点O和点F分别为椭圆+=1
的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点。则 .的最大值 为 （ ）
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．８
变式.过抛物线=２ｐｘ（ｐ0)的焦点Ｆ的直线ｌ与抛物线在第一象限的交点为Ａ，与抛物线的准线的交点为Ｂ，点Ａ在抛物线的准线上的射影为Ｃ，若，则抛物线的方程为 .
当堂练习
1已知向量，，其中.若，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
2..定义：，其中为向量与的夹角，若，，，
则等于（ ）
A． B． C．或 D．
3在边长为1的正三角形ABC中，，E是CA的中点，则= （ ）
A． B． C． D．
已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1,－2)共线，则实数λ等于（ ）
A.－2 B. － C.－1 D.－
在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=4，BD=1，则 。
6.已知：点C在内,且设则 ．
7知向量=sin2C，其中A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角.
（1）求角C的大小；
（2）已知A=75°，c=，求△ABC的面积
高三数学课时作业
平面向量应用
1已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1,－2)共线，则实数λ等于
－2 B. － C.－1 D.－
2.平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
3在△ABC中，若则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
4.给出下列命题中
① 向量满足，则的夹角为；
② ＞0，是的夹角为锐角的充要条件；
③ 已知向量，，若向量，则实数的值为2
④ 若，则为等腰三角形；
（5）已知平面向量不共线，且两两之间的夹角都相等,若,则 与的夹角是
以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）
5.在中，D为BC中点，若，，则的最小值是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
6.已知|a|=，|b|=3，a与b夹角为，则使a+mb与ma+b的夹角为钝角时，则m的范围是
7已知＝12，且则方向上的投影为________。
8.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=4，BD=1，则 。
9.在△ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积.若向量p=q=满足p∥q,则∠C= .
11.已知a，b是两个非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，
①求t的值。②已知a与b共线且同向，求证：b与a＋tb垂直．
11.设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证a∥b.
12.已知向量,函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积．
13.已知，满足．
（I）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（II）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．
14.在三角形ABC中AC=2,AB=1,BC=,=u，=v，o为三角形外心
求
设，求x,y
高三数学自助餐
平面向量应用
1.给出下面四个结论：
若线段AC=AB+BC，则向量；
若向量，则线段AC=AB+BC；
若向量与共线，则线段AC=AB+BC;
若向量与反向共线，则.
其中正确的结论有 （ ）
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.连掷两次骰子得到得点数分别为m，n，记向量a=（m，n）与b=（1，-1）的夹角为，则
（ 0， ] 的概率是 （ ）
A B C D
3.如图，已知，，·，∠AOP＝，若，则实数t等于
（ ） A. B. C. D.3
4.已知△ABC的顶点坐标为A（3，4），B（－2，－1），C（4，5），D在BC上，且，则AD的长为 （ ）
5.下列命题中：①若a与b互为负向量，则a＋b＝0；②若k为实数，且k·a＝0，则a＝0或k＝0；③若a·b＝0，则a＝0或b＝0；④若a与b为平行的向量，则a·b＝|a||b|；⑤若|a|＝1，则a＝±1．其中假命题的个数为（）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
.已知等差数列｛ ｝的前n项和为，若=+,且A,B,C三点共线，则=
已知F=（2,3）作用一物体，使物体从A（2,0)移到B（4，0），则力F对物体作的功为
8.向量a＝（1，1），且a与（a＋2b）的方向相同，则a·b的取值范围是________．.
9.已知=（2,0），=(2,2),则与夹角的取值范围_____________．
10.在三角形ABC中O为其内一点，且满足则=____________．.
11.设椭圆的左右焦点分别为，离心率e=，右准线为l,M,N是l上的两动点,=0，(1)若| |=| |=2，求a，b的值 （2）证明：当||取最小值时，与共线.
12.在直角三角形ABC中，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时，值最大，并求这个最大值
平面向量应用
一．考纲解读
1.会用向量的坐标运算和几何运算解决向量与函数，数列。不等式。解析几何等的交汇问题。
2.会将向量几何表示转化为坐标表示，从而更加有效地解决一些问题
3.强化“转化与化归”的运用，提高综合运用知解决问题的能力
二．考点梳理
1.向量的符号形式及图形形式的重要结论
（1）向量加减法的模 |α +b|=_________________|α -b|=________________
(2) G为三角形ABC重心的一个充要条件：_________________
O为三角形ABC外心的一个充要条件：_________________
P为三角形ABC垂心的一个充要条件：_________________
不同的三点A,B,C共线存在α，βR，使得=α+β,O为平面意一点，且 ____________________
2.平面向量坐标形式的重要结论A( x,y ) , B( a,b )
（1）长度或模_________________
（2）两向量夹角的余弦（0≤≤）
＝______________________＝_________________
(3)位置关系
共线_________________ _________________
垂直_________________ _________________
三．基础自侧
1.则__________
2.已知则的夹角为（ ）
A.150 B.120 C.60 D.30
3.关于的方程，（其中、、都是非零平面向量），且、不共线，则该方程的解的情况是 （ ）
A.至多有一个解 B.至少有一个解
C.至多有两个解 D.可能有无数个解
4.与=__________
5.若是夹角为的单位向量，则=2的夹角_________
6.设、是平面直角坐标系（坐标原点为）内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，且，，则的面积等于 .
四．典例解析
考点一 向量与函数
例1 已知非零向量、满足|α |=|b|，函数f（x）=+|α |+2a.bx+1在xR上有极值，为a，b的夹角，则的取值范围是 （ ）
A [0,] B ( 0， ] C （ ， ] D （ π ]
变式： 已知向量==,若，则的最小值为 ;
考点二 向量与三角函数
例2..已知向量=（cosx, sin x) ,=（cosx, -sin x ),且x[0, ]
(1) 求：及 |α +b|的值
（2）若f（x）=-2m|α +b|的最小值是-，求m的值
变式1、 已知向量，，
(1)若，求的值；
(2)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围.
．
考点三 向量与几何
例3 若点O和点F分别为椭圆+=1
的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点。则 .的最大值 为 （ ）
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．８
变式.过抛物线=２ｐｘ（ｐ0)的焦点Ｆ的直线ｌ与抛物线在第一象限的交点为Ａ，与抛物线的准线的交点为Ｂ，点Ａ在抛物线的准线上的射影为Ｃ，若，则抛物线的方程为 .
当堂练习
1已知向量，，其中.若，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
2..定义：，其中为向量与的夹角，若，，，
则等于（ ）
A． B． C．或 D．
3在边长为1的正三角形ABC中，，E是CA的中点，则= （ ）
A． B． C． D．
已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1,－2)共线，则实数λ等于（ ）
A.－2 B. － C.－1 D.－
在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=4，BD=1，则 。
6.已知：点C在内,且设则 ．
7知向量=sin2C，其中A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角.
（1）求角C的大小；
（2）已知A=75°，c=，求△ABC的面积
高三数学课时作业
平面向量应用
1已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1,－2)共线，则实数λ等于
－2 B. － C.－1 D.－
2.平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
3在△ABC中，若则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
4.给出下列命题中
① 向量满足，则的夹角为；
② ＞0，是的夹角为锐角的充要条件；
③ 已知向量，，若向量，则实数的值为2
④ 若，则为等腰三角形；
（5）已知平面向量不共线，且两两之间的夹角都相等,若,则 与的夹角是
以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）
5.在中，D为BC中点，若，，则的最小值是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
6.已知|a|=，|b|=3，a与b夹角为，则使a+mb与ma+b的夹角为钝角时，则m的范围是
7已知＝12，且则方向上的投影为________。
8.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=4，BD=1，则 。
9.在△ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积.若向量p=q=满足p∥q,则∠C= .
11.已知a，b是两个非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，
①求t的值。②已知a与b共线且同向，求证：b与a＋tb垂直．
11.设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证a∥b.
12.已知向量,函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积．
13.已知，满足．
（I）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（II）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．
14.在三角形ABC中AC=2,AB=1,BC=,=u，=v，o为三角形外心
求
设，求x,y
高三数学自助餐
平面向量应用
1.给出下面四个结论：
若线段AC=AB+BC，则向量；
若向量，则线段AC=AB+BC；
若向量与共线，则线段AC=AB+BC;
若向量与反向共线，则.
其中正确的结论有 （ ）
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.连掷两次骰子得到得点数分别为m，n，记向量a=（m，n）与b=（1，-1）的夹角为，则
（ 0， ] 的概率是 （ ）
A B C D
3.如图，已知，，·，∠AOP＝，若，则实数t等于
（ ） A. B. C. D.3
4.已知△ABC的顶点坐标为A（3，4），B（－2，－1），C（4，5），D在BC上，且，则AD的长为 （ ）
5.下列命题中：①若a与b互为负向量，则a＋b＝0；②若k为实数，且k·a＝0，则a＝0或k＝0；③若a·b＝0，则a＝0或b＝0；④若a与b为平行的向量，则a·b＝|a||b|；⑤若|a|＝1，则a＝±1．其中假命题的个数为（）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
.已知等差数列｛ ｝的前n项和为，若=+,且A,B,C三点共线，则=
已知F=（2,3）作用一物体，使物体从A（2,0)移到B（4，0），则力F对物体作的功为
8.向量a＝（1，1），且a与（a＋2b）的方向相同，则a·b的取值范围是________．.
9.已知=（2,0），=(2,2),则与夹角的取值范围_____________．
10.在三角形ABC中O为其内一点，且满足则=____________．.
11.设椭圆的左右焦点分别为，离心率e=，右准线为l,M,N是l上的两动点,=0，(1)若| |=| |=2，求a，b的值 （2）证明：当||取最小值时，与共线.
12.在直角三角形ABC中，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时，值最大，并求这个最大值