2021-2022学年高中数学人教版A版（2019）选择性必修一3.3.1抛物线及其标准方程 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
3.3.1 抛物线及其标准方程
复习：
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比
是常数e的点的轨迹，当0＜e ＜1时，是椭圆
·
M
F
l
0＜e ＜1
l
F
·
M
e＞1
·
F
M
l
·
e=1
当e＞1时，是双曲线
当e=1时，它又是什么曲线 ？
平面内与一个定点F和一条定直线l
(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
一、定义
即:
·
·
F
M
l
H
二、抛物线的标准方程
·
·
F
M
l
H
1、建系
O
K
x
y
如图，以直线l的垂线KF
为x轴，以线段KF的中点O为
原点建立直角坐标系
2、设点
设点M的坐标为(x，y)，|KF|=p(p>0)
二、抛物线的标准方程
·
·
F
M
l
H
3、列式化简
O
K
x
y
化简可得，y2=2px(p>0) ①
方程①就叫做抛物线的标准方程，
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦 点 到 准 线 的 距 离
简称为焦准距.
二、抛物线的标准方程
·
·
F
M
l
H
O
K
x
y
y2=2px(p>0)
上述方程表示焦点在x轴的正半轴，
对称轴为x轴的一条抛物线，
其中，p为焦点到准线的距离，
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y
x
o
﹒
﹒
y
x
o
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
若一次项的系数是正的，则焦点在一次项对应的轴的正半轴
若一次项的系数是负的，则焦点在一次项对应的轴的负半轴
例1、求下列抛物线的焦点坐标及准线方程：
（1）y2 = 6x；（2）x2=-2y；
p>0
练习.求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点为(0，-2)； （2）准线为y=-1；
（3）焦点到准线的距离为4；
（1）∵抛物线的焦点为在y轴负半轴 , P=4,
∴ x2=-8y
（2） ∵ 抛物线的焦点为在y轴正半轴, P=2,
∴ x2=4y
（3） ∵抛物线的焦点在坐标轴上 P=4 ,
∴ y2=±8x 或 x2=±8y
练习、1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x （2） y = 2x2
（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
焦点坐标 准线方程
（1）
（2）
（3）
（4）
（5，0）
x= -5
（0，-2）
y=2
作业：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程 是 ；
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =12x
y2 =x
y2 =±4x或 x2 =±4y
问题：你能说明二次函数y=ax2(a≠0)的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.
y
x
o
﹒
﹒
y
x
o
3.列抛物线y2=ax(a≠0)的焦点坐标: ,
准线方程: .
例2.一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
方程：y2＝5.76x
焦点：（1.44，0）
x
y
O
A
(0.5,2.4)
例2.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.
．
A
O
y
x
解:(1)当抛物线的焦点在 y 轴
的正半轴上时，把A(-3,2)
代入x2 =2py，得p=
(2)当焦点在 x 轴的负半轴上时，
把A(-3,2)代入y2 = -2px，
得p=
∴抛物线的标准方程为x2 = y 或y2 = x
变式练习:已知抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程.
解:因为是焦点在 x 轴上且过M点的抛物线,所以设标准方程为
由抛物线的定义知 -(-3)=5 即p=4.
所以所求抛物线标准方程为y2 = -8x
y2=-2px(p>0)
数形结合,用定义转化条件!
思考: 一般情况
思考:M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点
M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是
————————————
x0 + —
2
p
O
y
x
．
F
M
．
这就是抛物线的焦半径公式!
2. 若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离 等于点M到准线的距离则点M的坐标是_________.
补充1. 点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x+5=0的距离小 1，求点M的轨迹方程.
解：如图,设点M的坐标为(x,y),
依题意可知点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离，根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4,0）为焦点的抛物线.
∵焦点在x轴的正半轴上，
∴点M的轨迹方程为：y2=16x
l
l’
M
x
O
y
F
（3）.动点P到点A(0,2)的距离比到直线l:y=-4的距离小2，则动点P的轨迹方程为________
x2=8y
4. 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
x
F
O
y
M
B
A
故点M的轨迹的方程为：
当线段PQ的斜率不存在时,线段PQ中点为焦点F(1，0),满足此式。
例4.已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使 PA与PF的 距离之和最小，并求出这个最小值.
练习巩固
作业：3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）例题2（1）
小 结 ：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应
关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、
准线、方程.
3、注重数形结合的思想。
准线方程
焦点坐标
标准方程
焦点位置
图
形
3. 不同位置的抛物线
x轴的
正方向
x轴的
负方向
y轴的
正方向
y轴的
负方向
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
F(-
-
-
-
若一次项的系数是正的，则焦点在一次项对应的轴的正半轴
若一次项的系数是负的，则焦点在一次项对应的轴的负半轴