2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.5三角恒等变换分类练习 （含答案解析）

5.5三角恒等变换
◆两角和差的余弦公式(求值、化简、逆用)
1．（2021·河南南阳·期末（文））（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国·高一课时练习）求下列各式的值.
（1）；
（2）.
3．（2021·江苏如皋·高一月考）已知，均为锐角，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·西藏·拉萨中学高一期末）已知，，则值等于（ ）
A． B． C． D．
◆两角和差的正弦公式(求值、化简、逆用)
1．（2021·新疆·呼图壁县第一中学高一开学考试）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖南·邵阳市第十一中学高一期末）计算：
3．（2020·全国·高一课时练习）的值是（ ）
A． B． C． D．
◆两角和差的正切公式(求值、化简、逆用)
1．（2021·贵州师大附中高一开学考试）已知角α的终边经过点(3，-4)，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西阎良·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一课时练习）化简求值
（1）tan 10°tan 20°＋ (tan 10°＋tan 20°).
（2）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
4．（多选）（2021·山东潍坊·高一期中）下列四个三角关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
◆两倍角的正弦公式
1．（2020·全国·高一课时练习）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖北武汉·期中）（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一同步练习）已知，，则_____．
◆两倍角的余弦公式
1．（2020·云南·罗平县第二中学高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海·高一课时练习）求值：___________．
3．（2021·全国·高一练习）化简：________．
◆两倍角的正切公式
1．（2021·贵州·镇远县文德民族中学校高一月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏·东台创新高级中学高一月考）
A． B． C．1 D．
3．（多选）（2021·江苏淮安·高一月考）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C．cos2－sin2 D．cos76°cos16°+cos14°sin16°
◆恒等变换的综合（降幂公式、辅助角公式等应用）
1．（2021·全国·专题练习（文））化简的结果可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江宁波·高一期末）=
A． B． C． D．
3．（2020·全国·课时练习）已知tan＝，则cosα＝____.
4．（2021·全国·高一专题练习）求证：（1）；
（2）.
5．（2021·湖南·雅礼中学期中）在中，若，则此三角形必是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．（2021·四川·射洪中学高一月考）已知函数（，），且函数的最小正周期为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求的取值范围．
巩固提升
一、单选题
1．等于（ ）
A． B． C． D．
2．4（ ）
A．1 B． C． D．
3．若为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数可以化简为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则值为（ ）
A． B．
C． D．
6．对于有如下三个命题：
①若，则为等腰三角形；
②若，则为直角三角形；
③若，则为钝角三角形；
以上三个命题中正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．③
7．关于函数的叙述中，正确的有（ ）
①的最小正周期为；
②在区间内单调递增；
③是偶函数；
④的图象关于点对称.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、多选题
8．下列三角式中，值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数为偶函数， ，则常数θ的可能值为（ ）
A． B． C． D．
10．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．若，则
C．若，则的最小值为0
D．若，则的最小值为
三、填空题
11．______．
12．已知，，则______．
13．关于的方程在上有两个解，则实数的取值范围为________．
14．如图在中，，点D，E在线段上，，若，则E到的距离为___________.
四、解答题
15．在锐角中，已知，，求证：.
16．求值：．
17．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若，求函数的最大值．
参考答案
◆两角和差的余弦公式
1．C
，
，
故选：C
2．（1）；（2）.
（1）.
（2）.
3．D
依题意，均为锐角，
，
，
所以，
而，所以.
故选：D
4．C
，
，
得，，
故选：C
◆两角和差的正弦公式
1．D
因为，，所以，
因此.
故选：D
2．
由两角和的正弦公式得，
.
3．B
.
故选：B.
◆两角和差的正切公式
1．B
角的终边上的点，
所以由任意角的三角函数的定义得．
所以.
故选：B
2．B
故选：B
3．（1）1；（2）
（1）
（2）
.
4．BD
解：由诱导公式可知：
A：，故A错；
B：，故B正确；
C：，故C错；
D：，故D正确.
故选：BD.
◆两倍角的正弦公式
1．A
;
.
故选：A
2．A
.
故选：A
3．
因，则，，，
又，因此，，
所以.
故答案为：
◆两倍角的余弦公式
1．C
因为，所以，
故选：C
2．
因为，
故答案为：.
3．-1
故答案为：-1
◆两倍角的正切公式
1．D
因为，
所以.
故选：D
2．A
原式.
3．ACD
；
；
cos2－sin2；
．
故选：ACD．
◆恒等变换的综合
1．B
解：，
故选：B.
2．A
依题意.
故选：A
3．
由可得
∴，解得
故答案为：
4．（1）证明见解析（2）证明见解析
（1）因为，，将以上两式的左右两边分别相加，得，即.
（2）由（1）可得.①
设，，那么，.
把，的值代入①，即得.
5．A
，
所以
所以.
故选：A
6．
（1）
（2）
（1）
（1）
所以
因为函数的最小正周期为，所以，即；
所以，
令，
所以，
即函数的单调递增区间；
（2）
解:因为，所以
所以
所以，即的取值范围.
巩固提升
1．C
.
故选：C.
2．C
.
故选：C.
3．B
解：由，得，
所以，
两边同时平方得：，则，
故有，
所以，则，
所以.
故选：B.
4．A
.
故选：A.
5．D
由，可得，即，
则.
故选：D.
6．D
解：①，若，则或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故①错误；
②，若，则，
所以或，即或，故②错误；
③，若，则，
即，则，
所以，所以，所以为钝角三角形，故③正确.
故选：D.
7．C
，
∴最小正周期，①错误；
令，则在上递增，显然当时，②正确；
，易知为偶函数，③正确；
令，则，，易知的图象关于对称，④错误；
故选：C
8．ABC
A选项,，故正确.
B选项，，故正确.
C选项，，故正确.
D选项，，故错误
故选：ABC
9．BD
依题意，恒成立，
所以,
即成立.
所以对任意x成立,
显然，所以，
，所以 ,
当时，；当，则，
故选：BD.
10．BCD
因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，故A错误；
因为，
所以
，故B正确；
，
令，则，
所以，所以，故C正确；
因为，
所以，故D正确.
故选：BCD
11．
．
故答案为：
12．
两边平方得：①，
两边平方得：②，
①+②，得，即，
所以.
故答案为：.
13．
解：由于，
由于，，
故，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，
所以函数的图象和有两个交点时，参数的取值范围为：，即．
故答案为：．
14．
过点作，垂足为，如图所示：
中，，，
；
，
又，则，
即到的距离为．
故答案为：．
15．证明见解析
由，，得，
解得，则，又在锐角三角形中，所以．
16．
解：
，
，
原式，
17．
（1）最小正周期为
（2）函数的单调递增区间为
（3）函数的最大值为
（1）
解：
，
所以，函数的最小正周期为.
（2）
解：由，解得，
故函数的单调递增区间为.
（3）
解：当时，，故当时，函数取得最大值，
即.