黑龙江省绥化市第九中学2013届高三第二次月考理科数学试题

黑龙江省绥化市第九中学2013届高三第二次月考试题数学卷（理科）
一选择题：（共12小题，每题5分，合计60分）
1.已知集合，时，（ ）
A． B． C． D．
2. 复数的实部是（ ）
A.2 B.4 C.3 D.-2
3. 等差数列的前n项和为，若为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知=2，=，=1，则向量与的夹角为 （ ）
A. B. C. D.
5. 执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（ ）
A.5 B.9 C.17 D.33
6.已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
7. 已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于（ ）
A． B． C． D．
8. 如图，一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长2的正三角形和正方形，则其体积是（ ）
A. B. C. D.
9.己知△ABC的外心、重心、垂心分别为O，G，H，若，则=（ C ）
A.　　B.　　C.3　　D.2
10.下列四种说法中，错误的个数是：（ ）
①的子集有个；
②命题“存在”的否定是：“不存在；
③函数的切线斜率的最大值是；
④已知函数满足且，则.
A. B. C. D.
11.若方程的任意一组解()都满足不等式，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称， 满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
班级
姓名
二填空题（共4小题，每小题5分，合计20分）
13. 以抛物线y2＝4x上的点A(4.，4)为圆心，且与抛物线的准线相切的圆被x轴截得的弦长为____.
14. .
15. 若直线（，）被圆截得的弦长为4，则的最小值为
16.设定义在R上的函数有5个不同实数解，则的取值范围为：___。
三：解答题（共6道大题，17、18、19、20、21题均为12分，22题为10分，合计70分）
17.已知，且
（1）求的最小正周期及单调递增区间.
（2）在△ABC中，a,b,c,分别是A,B,C的对边，若成立 ，
求的取值范围.
18.已知函数
（1）求的值；
（2）已知数列,求证数列是等差数列；
（3）已知，求数列的前n项和.
19.如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．
⑴求证：；
⑵确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．
⑶当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．
20.已知动圆过定点，且与直线相切，椭圆的对称轴为坐标轴，一个焦点为，点在椭圆上.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程及椭圆的方程；
(2)若动直线与轨迹在处的切线平行，且直线与椭圆交于两点，试求当面积取到最大值时直线的方程.
21. 已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的最值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）试说明是否存在实数使的图象与无公共点.
22.在极坐标系中，曲线C1方程为=2sin（θ+ ），曲线C2：方程为sin(θ+ )=4.以极点O为原点，极轴方向为x轴正向建立直角坐标系xOy.
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程
（2）设A. B分别是C1，C2上的动点，求｜AB｜的最小值．
黑龙江省绥化市第九中学2013届高三10月考试题理科数学答题卡
班级
姓名
二填空题（共4小题，每小题5分，合计20分）
13. ____ 14. _____ 15. ____ 16.____
三：解答题（共6道大题，17、18、19、20、21题均为12分，22题为10分，合计70分）
17.已知，且
（1）求的最小正周期及单调递增区间.
（2）在△ABC中，a,b,c,分别是A,B,C的对边，若成立 ，
求的取值范围.
18.已知函数
（1）求的值；
（2）已知数列,求证数列是等差数列；
（3）已知，求数列的前n项和.
班级
姓名
19.如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．
⑴求证：；
⑵确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．
⑶当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．
20.已知动圆过定点，且与直线相切，椭圆的对称轴为坐标轴，一个焦点为，点在椭圆上.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程及椭圆的方程；
(2)若动直线与轨迹在处的切线平行，且直线与椭圆交于两点，试求当面积取到最大值时直线的方程.
21. 已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的最值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）试说明是否存在实数使的图象与无公共点.
22.在极坐标系中，曲线C1方程为=2sin（θ+ ），曲线C2：方程为sin(θ+ )=4.以极点O为原点，极轴方向为x轴正向建立直角坐标系xOy.
（Ⅰ）求曲线C1，C2的直角坐标方程
（Ⅱ）设A. B分别是C1，C2上的动点，求｜AB｜的最小值．
黑龙江省绥化市第九中学2013届高三10月考试题理科数学参考答案
一选择题：1-5BACBD;6-10AACCC;11-12DD
二填空题：13.6；14. ；15. ；16.
三解答题：
17解：（1）
单调递增区间为：
解得：
故单调递增区间为：
（2）由正弦定理得：
B为三角形的内角 B=
+1
又
故2，3]
18.解： (1)因为.
所以设S=…………（1）
S=. ………（2）
(1)+(2)得:
=, 所以S=.
(2)由两边同减去1,得.
所以,
所以,是以2为公差以为首项的等差数列.
（3）因为.
因为，所以
= （3）
= （4）
由（3）-（4）得
==
所以=
19.⑴∵面，四边形是正方形，其对角线，交于点，
∴，．
∴平面，
∵平面，
∴
⑵当为中点，即时，平面，理由如下：
连结，由为中点，为中点，知，
而平面，平面，
故平面．
⑶作于，连结，
∵面，四边形是正方形，
∴，
又∵，，∴，
∴，且，
∴是二面角的平面角，
即，
另解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方形的边长为，则，，，，，，，．
⑴，，
∴
⑵要使平面，只需，而，
由可得，解得，，
∴，∴
故当时，平面
设平面的一个法向量为，
则，而，，
∴，取，得，
同理可得平面的一个法向量
设所成的角为，则，
即，∴，∴
∵面，∴就是与底面所成的角，
∴．
20. 解：（1）过圆心M作直线的垂线，垂足为H.
由题意得，|MH|=|MF|,由抛物线定义得，点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为. 设椭圆方程为，将点A代入方程整理得解得 .
故所求的椭圆方程为
（2）轨迹的方程为，即.
则，所以轨迹在处的切线斜率为，
设直线方程为，代入椭圆方程得
因为 ，解得；
设
所以
点A到直线的距离为.
所以
当且仅当，即时等号成立，此时直线的方程为
21. 解：（Ⅰ）函数的定义域是（1，+）
当a=1时，，所以在为减函数
在为增函数，所以函数的最小值为.
（Ⅱ），
若时，则>0在（1，）恒成立，
所以的增区间（1，）
若，故当，，
当时，，
所以a>0时的减区间为（），的增区间为［.
（Ⅲ）时，由（Ⅰ）知在（1，+）的最小值为，.
令在［1，+）上单调递减，
所以，则
因此存在实数使的最小值大于，
故存在实数使y=的图象与y=无公共点.
22解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程化为ρ＝sinθ＋cosθ，
两边同乘以ρ，得ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ，
则曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝y＋x，即x2＋y2－x－y＝0．
曲线C2的极坐标方程化为ρsinθ＋ρcosθ＝4，
则曲线C2的的直角坐标方程为y＋x＝4，即x＋y－8＝0．
（Ⅱ）将曲线C1的直角坐标方程化为(x－)2＋(y－)2＝1，
它表示以(，)为圆心，以1为半径的圆．
该圆圆心到曲线C2即直线x＋y－8＝0的距离
d＝＝3，
所以|AB|的最小值为2．
第5小题
第8小题
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