黑龙江省大庆市萨尔图区2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版含答案解析）

萨尔图区2021-2022学年高二上学期期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
1、在边长为的正方形内有一个半径为的圆，向正方形中随机扔一粒豆子忽略大小，视为质点，若它落在该圆内的概率为，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
A. B. C. D.
2、坛子中放有个白球，个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用表示第一次取得白球，表示第二次取得白球，则和是
A. 互斥事件 B. 相互独立事件 C. 对立事件 D. 不相互独立的事件
3、生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标，若从这只兔子中随机取出只，则恰有只测量过该指标的概率为
A. B. C. D.
4、以下不属于基本事实的是
A. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
B. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
C. 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
D. 平行于同一条直线的两条直线平行
5、已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是 A. B. C. D.
6、已知空间向量，，则下列结论错误的是
A. B.
C. D. 与夹角的余弦值为
7、圆：和：，，分别是圆，上的点，是直线上的点，则的最小值是
A. B. C. D.
8、已知点是直线上一动点，与是圆：的两条切线，，为切点，则四边形的最小面积为
A. B. C. D.
9、如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
10、几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是
A. B. 或 C. 或 D.
11、圆：，直线：，点，若存在点，使得为坐标原点，则的取值范围是
A. B. C. D.
12、如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是
① 直线平面 ② 三棱锥的体积为定值
③ 异面直线与所成角的取值范围是
直线与平面所成角的正弦值的最大值为
A、①②，B，①②③，C、①③④，D，①②④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，共计20分）
13、若直线与两坐标轴的交点为，，则以线段为直径的圆的方程是 ．
14、点在圆上，则的范围是_______．
15、如图，已知四边形为圆柱的轴截面，，，为上底圆上的两个动点，且过圆心，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为 ．
16、已知点为圆：外一点，圆上存在点使得，则实数的取值范围是________________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（10分）已知三角形的三个顶点，，．
求边高线所在直线的方程；
求的面积．
18、（12分）如图，棱锥的底面是矩形，平面，，．
求证：平面PAC;
求点到平面PBD的距离．
19、（12分）已知点和圆．
Ⅰ写出圆的标准方程，并指出圆心的坐标和半径；
Ⅱ设为上的点，求的取值范围．
20、（12分）年月，国务院办公厅印发新能源汽车产业发展规划年，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国．新能源汽车也越来越受到消费者的青睐．某机构调查了该地区近期购车的位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：
购置新能源汽车车主人数 购置传统燃油汽车车主人数
男性车主人数
女性车主人数
以频率代替概率，求该地区近期购车的车主中，购置新能源汽车的概率；
按性别用分层随机抽样的方法从被调查的购置新能源汽车的车主中选出位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从参与问卷调查的位车主中随机抽取位车主赠送份礼品，求这位获赠礼品的车主刚好位是男性，位是女性的概率．
21、（12分）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．
求边所在直线的方程；
已知点是中圆上一动点，点，求线段的中点的轨迹方程．
22、（12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，．底面，且
证明：平面；
求二面角的余弦值；
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周率的近似值的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由几何概型可知，由此能求出结果．
【解答】
解：由题意，在边长为的正方形内有一个半径为的圆，
向正方形中随机扔一粒豆子忽略大小，视为质点，它落在该圆内的概率为，
由几何概型可知，
则．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件、互斥事件与独立事件的概念，关键是对相关概念的理解与应用属于基础题．
发生的结果对发生的结果有影响，根据相互独立事件的定义可得结果．
【解答】
解：．
若发生了，；若不发生，，
发生的结果对发生的结果有影响，
与不是相互独立事件．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题．
利用列举法求解即可．
【解答】
解：记只测量过某项指标的兔子分别为，，，
没有测量过某项指标的兔子为，，
则从这只兔子中随机取出只的所有情况为，，，
，，，
，，，，共种，
恰有只测量过该指标的所有情况有种，
所求概率为．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本事实的判断，是基础题．
牢记公理，利用空间几何中的基本事实直接进行判断求解．
【解答】
解：在中，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，是基本事实 ；
在中，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面是基本事实；
在中，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补是定理，
在中，平行于同一条直线的两条直线平行，这是基本事实；
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线方程的综合应用，两点间的最小距离，点到直线的距离，属于基础题．
由题意求出点，
解法一：利用两点间的距离公式列式求解即可．
解法二：的最小值即点到直线的距离，运用点到直线的距离公式求解．
【解答】
解：直线，即，过定点．
方法一：点在直线上，所以，
所以，
故当时，取得最小值，
故选B．
方法二：的最小值即点到直线的距离，即，
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的加法、数乘和数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于中档题．
可求出和的值，从而判断选项A正确可求出，根据可得出不正确可求出，从而判断选项C正确根据向量夹角的余弦公式即可判断选项D正确．
【解答】
解：由题，，
，，
所以，故A正确
，，
而，
与不平行，故B不正确
，
，故C正确
，，故D正确．
故选B．
7、【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆有关的最值问题，圆与圆的位置关系，两点间的距离公式，考查转化思想与计算能力，属于中档题．
求出圆关于直线的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值．
【解答】
解：圆关于的对称圆的圆心坐标，半径为，
圆的圆心坐标，半径为，
由图象可知当，，三点共线时，取得最小值，
的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
即．
故选A．
8、【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系中的最值问题，属于拔高题．
先根据切线的性质得到垂直关系， 取最小值时，、也取得最小值，
当与直线垂直时，取最小值，进而即可求解四边形的最小面积．
【解答】
解：如图所示，
由切线的性质可知，，，
且，，
当取最小值时，、也取得最小值，
显然当与直线垂直时，取最小值，
且该最小值为点到直线的距离，
即，
此时，
四边形面积的最小值为
，
故选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成的角，可以几何法，解三角形，也可以利用空间向量求异面直线所成的角的问题，属拔高题．
解法一：利用异面直线所成角的定义，得到即为异面直线所成的角，然后连接，根据已知条件，利用线面垂直的定义和判定定理证得为直角，进而计算各边长，即可求解；
解法二：先证明，，两两垂直，以，，所在直线方向，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，可得答案．
【解答】
解法一：，为，的中点，
，
即为直线与所成的角或补角，
又平面，、平面，
，，
又，，、平面，
平面，
又平面，
，
连接，则，
为锐角，
即为异面直线，所成的角．
为的斜边的中点，，
，
，
．
故选C．
解法二：平面，、平面，
，，
又，
，，两两垂直，
以为原点，以，，所在直线方向为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则可得，，，
则，，，
，，
设异面直线与所成角为，
所以，
，
故选C．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与圆的位置关系及判定的应用，考查圆的标准方程，直线方程，属于较难题．
由已知可得圆的方程为：，对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，可得当取最大值时，经过，，三点的圆必与轴相切于点，利用直线与圆相切的关系可得点坐标，则答案可求．
【解答】
解：，中点坐标，，
则经过、两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，
设圆心为，
则圆的方程为：，
对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
当取最大值时，经过，，三点的圆必与轴相切于点，
即圆的方程中的值必须满足，
解得 或．
即对应的切点分别为和，
而过点，，的圆的半径大于过点，，的圆的半径，
，
故点为所求，
点的横坐标为．
故选D．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，属于较难题．
解题的关键是结合图形，利用几何知识，判断出，从而得到不等式求出参数的取值范围．
【解答】
解：圆外有一点，圆上有一动点，在与圆相切时取得最大值，
因为，为定值，即半径，
变大，则变小，由于，
所以也随之变小，可以得知，
当，且与圆相切时，，
而当时，在圆上任意移动，恒成立，
因此，的取值范围就是，
即满足，就能保证一定存在点，使得．
由分析可得：，
又因为在直线上，所以，
故，
解得，，
即的取值范围是，
故选B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面垂直的判定，异面直线所成角，线面角等，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于拔高题．
在选项A中，推导出，，从而直线平面；在选项B中，由平面，得到到平面的距离为定值，再由的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；在选项C中，可得异面直线与所成角的取值范围是在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
【解答】
解：在选项A中，
，，，
且，平面
平面，平面，
，
同理，，
，且 ， 平面，
直线平面，故A正确
在选项B中，
，平面，平面，
平面，点在线段上运动，
到平面的距离为定值，又的面积是定值，
三棱锥的体积为定值，故B正确
在选项C中，
，异面直线与所成角为直线与直线的夹角．
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为．
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，，则，，
，．
由选项正确：可知是平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．
故选ABD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
结合题意得到，的坐标，即可求出以为直径的圆的方程．
【解答】
解：对于直线，
由得，由得，
不妨取，，
以为直径的圆的圆心是，半径，
以为直径的圆的方程是．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系圆的切线方程的应用，点到直线的距离，属于中档题．
根据题意当直线与圆相切时为最值位置，利用圆心到直线的距离等于半径可得，进而可得的范围．
【解答】
解：点在圆上，
圆心为，半径，
令即，
当直线与圆相切时满足，
所以或，
则的最大值为，最小值为，
则的范围是．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查锥体的体积求法以及求直线与平面所成的角，属于较难题．
由题意可得当垂直时，三棱锥的体积最大，方法一：建立空间直角坐标系，根据直线的方向向量以及平面的法向量即可求线面角的正弦值．
方法二：连接、交于点，过作于，根据面面垂直的判定与性质可得平面，即为直线与平面所成的角，再求解即可．
【解答】
解：因为，的值不变，
所以当垂直时，三棱锥的体积最大．
方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则
令，则．
设直线与平面所成角为，
则．
故答案为．
方法二：连接、交于点，过作于，
易知三棱锥的体积最大时，，，，，平面，平面，
又平面，平面平面，
又平面平面，，平面，
平面，即为直线与平面所成的角，
，为中点，，
又，，
中，，，，
则中，，
即直线与平面所成角的正弦值为，
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程、点到直线的距离、点与圆的位置关系．
化标准方程易得圆的圆心为，半径，由题意可得，由距离公式可得的不等式，解不等式可得．
【解答】
解：化圆的方程为标准方程可得，
圆的圆心为，半径，
，，
和长度固定，
当为切点时，最大，
圆上存在点使得，
若最大角度大于，则圆上存在点使得，
，
整理，得，
解得或，
又，解得，
又点为圆：外一点，
，解得，
又，
．
故答案为
17.【答案】解：因为三角形的三个顶点，，，
所以，
故高线的斜率，
所求方程为．
由Ⅰ可得的方程为：，
即，
，
点到的距离，
．
【解析】本题考查了直线方程的求法，直线的斜率，直线的点斜式方程及一般式方程，点到直线的距离公式及两点间的距离公式，属于基础题．
先求出的斜率，从而可得边高线的斜率，利用点斜式可得该直线方程；
由Ⅰ可求得的方程为，利用两点间距离公式求出，从而求出点到的距离，根据可得答案．
18.【答案】证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
在中，，，
，
，，
，，，
，，即，，
又，
平面．
解：由得，，
设平面的法向量为，
则，，
即
．
故平面的一个法向量可取为．
，
点到平面的距离为．
【解析】本题考查利用空间向量求点到平面的距离以及判定线面的垂直，解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系，利用向量的基本运算解决线面垂直与空间距离等问题．
证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直．
求出平面的法向量，再求出平面的斜线所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到点到平面的距离．
19得，
圆心的坐标为，半径；
Ⅱ，，
，
，．
，
的取值范围是
【解析】本题考查圆的一般方程化标准方程，考查点到圆上点的最值问题，是中档题．
Ⅰ利用配方法化圆的一般方程为标准方程，可得圆心坐标与半径；
Ⅱ由两点间的距离公式求得，得到与，则的取值范围可求．
20.【答案】解：由频率代替概率可得，该地区近期购车的车主中，购置新能源汽车的概率为．
用分层随机抽样的方法从购置新能源汽车的车主中选出位，
其中男性车主位，设为，，，，
女性车主位，设为，，
从这位车主中随机抽取位有，，，，，，，，，，
，，，，，共种，
位获赠礼品的车主刚好位是男性，位是女性有
，，，，，，，，共种，
所以所求概率为．
【解析】本题考查了概率的定义以及古典概型，属于中档题．
根据概率的定义进行解答；
根据古典概型进行计算
21.【答案】解：因为边所在直线的方程为，且与垂直，
所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
即
设点，点，
则由中点坐标公式得，，
即，
因为点在圆上，
所以，
故有，
即，
即点的轨迹方程为圆．
【解析】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，圆的标准方程及轨迹方程，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于拔高题．
由已知中边所在直线的方程为，且与垂直，我们可以求出直线的斜率，结合点在直线上，可得到边所在直线的点斜式方程，进而再化为一般式方程；
根据矩形的性质可得矩形外接圆圆心即为两条对角线交点，根据中直线，的直线方程求出点坐标，进而根据长即为圆的半径，得到矩形外接圆的方程；
设点，点，可得，，则， 进而即可得到结果．
22.【答案】解：取的三等分点，且，连结，
又因为，
所以．
因为，
所以，
所以四边形是平行四边形．
所以，
又直线平面，平面，
所以平面．
以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴和轴，
建立空间直角坐标系则，，，，，．
，，
设平面的法向量为，
则，即，
，，
设平面的法向量为，
则，即．
所以，
由图可知，二面角的余弦值为．
【解析】本题考查了线面平行的判定，考查了二面角的计算以及空间中的距离．
利用线面平行的判定即可；
通过空间直角坐标系求解；
利用坐标系求解．