2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.2圆的对称性 同步达标测试 （Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.2圆的对称性 同步达标测试 （Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 468.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-14 22:21:15 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.2圆的对称性》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝∠BCD，则的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．已知⊙O的直径CD为4，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
4．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝6，C是弧AB的中点，CD⊥OA，交AB于点D，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
6．如图，B为在⊙O的半径OC上一点（不与O，C重合），点E在圆上，以OB，BE为边作矩形OBED，延长DO到点A，使OA＝OB，连接AC，则（ ）
A．AC＞DB B．AC＜DB C．AC＝DB D．AC与BD的大小关系不能确定
二．填空题（共7小题，满分35分）
7．如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，BE＝DE，AB＝BE，且AC＝8，则四边形ABCD的面积为 ．
8．如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为 ．
9．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为 ．
10．如图AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O半径为 ．
11．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为上任意一点，连接PA，PB，PC，则线段PA，PB，PC之间的数量关系为 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝32°，则∠AEO的度数 ．
13．如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝α中，一定成立的是 （填序号）．
三．解答题（共8小题，满分55分）
14．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
15．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC
（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；
（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．
16．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，求证：＝．
17．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．
18．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．
（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．
（2）求证：DF＝EF
19．如图，以△AOB的顶点O为圆心，OB为半径作⊙O，交OA于点E，交AB于点D，连接DE，DE∥OB，延长AO交⊙O于点C，连接CB．
（1）求证：＝；
（2）若AD＝4，AE＝CE，求OC的长．
20．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求弧DE的度数；
（2）若BC＝2，AC＝6，求BD的长．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求、的度数．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：连接OC．
∵∠DOB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∵＝，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴＝，
∴OD⊥AC，设OA＝r，则OE＝r＝DE＝1，
∴OA＝2，
∴AE＝＝，
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，
∴2∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的度数为120°
故选：C．
3．解：过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O于点E，连接B′E．
∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB＝PB′.．
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是的中点，
∴＝120°．
∴∠B′EA＝60°．
∴AB′＝AE sin60°＝4×＝2．
故选：C．
4．解：如图，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故选：C．
5．解：连接OC，交AB于F，
∵C是的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝＝60°，OC⊥AB，
Rt△BOF中，OB＝OA＝6，
∴OF＝OB＝3，
∴CF＝6﹣3＝3，
∵CD⊥OA，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∵∠CFD＝90°，
∴DF＝，CD＝2DF＝2，
故选：D．
6．解：连接OE．
∵四边形OBED是矩形，
∴OE＝BD，
∵△AOC是直角三角形，
∴AC＞OC，
∵OE＝OC，
∴BD＝OC，
∴AC＞BD，
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分35分）
7．解：∵BE＝DE，AB＝BE，
∴AB2＝2BE2＝BE BD，
∴AB：BE＝BD：AB，
又∠EBA＝∠ABD，
∴△ABE∽△DBA，
∴∠ADB＝∠BAE，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴AB＝BC．
连接BO，交AC于H，连接OA，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴CH＝AH，
∴CH＝AH＝AC＝4
∵AO＝5，
∴OH＝＝3，BH＝OB﹣OH＝5﹣3＝2．
∴S△ABC＝AC BH＝×8×2＝8，
∵E是BD的中点，
∴S△ABE＝S△ADE，S△BCE＝S△DCE，
∴S△ABC＝S△ADC，
∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝16，
故答案为16．
8．解：∵OD⊥AC，
∴＝，∠AFO＝90°，
又∵AC＝BD，
∴＝，即+＝+，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝3，
∴AO＝BO＝，
∴AF＝AOsin∠AOF＝×＝，
则AC＝2AF＝；
9．解：如图，连接OA，设BD交AC于G，BD交⊙O于F．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分线段AC，
∴BF是直径，
∵OD＝DF＝2，OB＝4，
∴BG＝DG＝3，
∴OG＝1，
在Rt△AOG中，AG＝＝，
在Rt△ABG中，AB＝＝2，
如图当点D在OB上时，OD＝DB＝2，DG＝BG＝1，
AG＝＝，AD＝＝2，
故答案为2或2．
10．解：作AH⊥CB交CB的延长线于H，连接AC．
由∠AOC＝90°，可得∠ABC＝135°，
在Rt△AHB中，∵AB＝，∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝1，
在Rt△AHC中，∵CH＝CB+BH＝2，AH＝1，
∴AC＝＝，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴OA＝OC＝，
故答案为．
11．解：如图作AE⊥PC于E，AF⊥PB交PB的延长线于F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠EPF＝90°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠APF＝∠APC，
∵AE⊥PC，AF⊥PF，
∴AE＝AF，
∵∠F＝∠AEC＝90°，
∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），
∴BF＝CE，
∵∠AFP＝∠AEP＝90°，AP＝AP，AF＝AE，
∴Rt△APF≌Rt△APE（HL），
∴PF＝PE，
∴PB+PC＝PF﹣BF+PE+EC＝2PE，
∵∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PA＝PE，
∴PE＝PA，
∴PB+PC＝PA．
故答案为PB+PC＝PA．
12．解：∵，∠COD＝32°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝32°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝84°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO＝×（180°﹣84°）＝48°．
故答案为：48°
13．解：如图，连接OC，设OB交CD于K．
∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴∠CDO＝∠OBA，
∵∠DKO＝∠BKE，
∴∠DOK＝∠BEK＝α，
即∠BOD＝α，故①正确，
不妨设，∠OAB＝90°﹣α，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBE+∠BEK＝90°，
∴∠BKE＝90°，
∴OB⊥CD，从条件上看，AB＝CD，推不出OB⊥CD这样的位置关系，故②错误，
∵CD＝AB，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABC＝∠DOB＝α，故③正确．
故答案为①③．
三．解答题（共8小题，满分55分）
14．证明：（1）∵C是的中点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴，
∴，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
∵，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，
∵，
∴，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，
解得：r＝1（舍）或3，
∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，
∴BF＝2；
解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，
∵，
∴∠HAC＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CH＝CE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），
∴AE＝AH，
∵CH＝CE，CD＝CB，
∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），
∴DH＝BE＝2，
∴AE＝AH＝2+2＝4，
∴AB＝4+2＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BEC＝90°，
∵∠EBC＝∠ABC，
∴△BEC∽△BCA，
∴，
∴BC2＝AB BE＝6×2＝12，
∴BF＝BC＝2．
解法三：如图，连接OC，交BD于H，
∵C是的中点，
∴OC⊥BD，
∴DH＝BH，
∵OA＝OB，
∴OH＝AD＝1，
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，
∴△COE≌△BOH（AAS），
∴OH＝OE＝1，
∴CE＝EF＝＝2，
∴BF＝＝＝2．
15．（1）证明：延长BO交⊙O 于F，连接DF，AD．
∵BF是直径，
∴∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴AC∥DF，
∴∠CAD＝∠ADF，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOF，
∵∠AOB+∠AOF＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°．
（2）解：连接AF．
由（1）可知：＝，
∴AF＝CD＝6，
∵BF是直径，
∴∠BAF＝90°，
∴BF＝＝＝10，
∴⊙O的直径为10．
16．证明：∵OB＝OD，
∴∠D＝∠B，
∵BD∥OC，
∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，
∴∠AOC＝∠COD，
∴＝．
17．证明：∵AD＝CB，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AB＝CD．
18．（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DH⊥AB，
∴∠DHA＝∠ADB＝90°，
又∵∠DAB＝∠HAD，
∴△DAB∽△HAD，
∴＝即＝，
∴AH＝3.6．
（2）证明：∵＝，
∴∠DAC＝∠DBA，
∵DH⊥AB，
∴∠FDE+∠B＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DEF+∠DAC＝90°，
∴∠DEF＝∠FDE，
∴DF＝EF．
19．（1）证明：如图1，连接CD交OB于F，
∵CE是直径，
∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠EDC＝∠OFC＝90°，
即OB⊥CD，
∴；
（2）解：如图2，连接CD交OB于F，连接EF，
由（1）得：DE∥OB，OB⊥CD，点F是CD的中点，
∵AE＝CE，
∴EF∥AD，EF＝AD＝2，
∵O是CE的中点，F是CD的中点，
∴OF＝DE，
∵EF∥BD，DE∥BF，
∴四边形EFBD是平行四边形，
∴BF＝DE，
设OF＝x，则BF＝DE＝2x，OC＝OB＝3x，
∵，
∴BC＝BD＝EF＝2，
∵DF2＝CF2
∴，
解得：x＝±1，
∵x＞0，
∴x＝1，
∴OC＝3x＝3．
20．解：（1）连接CD，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，
∴∠DCE＝40°
∴的度数为40°；
（2）延长AC交⊙C与点F，
∵∠BCA＝90°，BC＝2，AC＝6，
∴AB＝＝＝2，AE＝6﹣2＝4．
∵AB与AF均是⊙C的割线，
∴AD AB＝AE AF，即2 AD＝4×8，解得AD＝，
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣＝．
解法二：作CH⊥AB于H，利用面积法求出CH，再利用勾股定理求出BH，由BD＝2BH即可解决问题．
21．解：连接CD，如图，
∵∠C＝90°，∠B＝28°，
∴∠A＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣2×62°＝56°
∴的度数为56°；
∵∠DCE＝90°﹣∠ACD＝34°，
∴的度数为34°．
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝∠BCD，则的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．已知⊙O的直径CD为4，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
4．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝6，C是弧AB的中点，CD⊥OA，交AB于点D，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
6．如图，B为在⊙O的半径OC上一点（不与O，C重合），点E在圆上，以OB，BE为边作矩形OBED，延长DO到点A，使OA＝OB，连接AC，则（ ）
A．AC＞DB B．AC＜DB C．AC＝DB D．AC与BD的大小关系不能确定
二．填空题（共7小题，满分35分）
7．如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，BE＝DE，AB＝BE，且AC＝8，则四边形ABCD的面积为 ．
8．如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为 ．
9．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为 ．
10．如图AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O半径为 ．
11．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为上任意一点，连接PA，PB，PC，则线段PA，PB，PC之间的数量关系为 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝32°，则∠AEO的度数 ．
13．如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝α中，一定成立的是 （填序号）．
三．解答题（共8小题，满分55分）
14．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
15．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC
（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；
（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．
16．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，求证：＝．
17．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．
18．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．
（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．
（2）求证：DF＝EF
19．如图，以△AOB的顶点O为圆心，OB为半径作⊙O，交OA于点E，交AB于点D，连接DE，DE∥OB，延长AO交⊙O于点C，连接CB．
（1）求证：＝；
（2）若AD＝4，AE＝CE，求OC的长．
20．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求弧DE的度数；
（2）若BC＝2，AC＝6，求BD的长．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求、的度数．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：连接OC．
∵∠DOB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∵＝，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴＝，
∴OD⊥AC，设OA＝r，则OE＝r＝DE＝1，
∴OA＝2，
∴AE＝＝，
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，
∴2∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的度数为120°
故选：C．
3．解：过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O于点E，连接B′E．
∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB＝PB′.．
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是的中点，
∴＝120°．
∴∠B′EA＝60°．
∴AB′＝AE sin60°＝4×＝2．
故选：C．
4．解：如图，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故选：C．
5．解：连接OC，交AB于F，
∵C是的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝＝60°，OC⊥AB，
Rt△BOF中，OB＝OA＝6，
∴OF＝OB＝3，
∴CF＝6﹣3＝3，
∵CD⊥OA，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∵∠CFD＝90°，
∴DF＝，CD＝2DF＝2，
故选：D．
6．解：连接OE．
∵四边形OBED是矩形，
∴OE＝BD，
∵△AOC是直角三角形，
∴AC＞OC，
∵OE＝OC，
∴BD＝OC，
∴AC＞BD，
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分35分）
7．解：∵BE＝DE，AB＝BE，
∴AB2＝2BE2＝BE BD，
∴AB：BE＝BD：AB，
又∠EBA＝∠ABD，
∴△ABE∽△DBA，
∴∠ADB＝∠BAE，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴AB＝BC．
连接BO，交AC于H，连接OA，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴CH＝AH，
∴CH＝AH＝AC＝4
∵AO＝5，
∴OH＝＝3，BH＝OB﹣OH＝5﹣3＝2．
∴S△ABC＝AC BH＝×8×2＝8，
∵E是BD的中点，
∴S△ABE＝S△ADE，S△BCE＝S△DCE，
∴S△ABC＝S△ADC，
∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝16，
故答案为16．
8．解：∵OD⊥AC，
∴＝，∠AFO＝90°，
又∵AC＝BD，
∴＝，即+＝+，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝3，
∴AO＝BO＝，
∴AF＝AOsin∠AOF＝×＝，
则AC＝2AF＝；
9．解：如图，连接OA，设BD交AC于G，BD交⊙O于F．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分线段AC，
∴BF是直径，
∵OD＝DF＝2，OB＝4，
∴BG＝DG＝3，
∴OG＝1，
在Rt△AOG中，AG＝＝，
在Rt△ABG中，AB＝＝2，
如图当点D在OB上时，OD＝DB＝2，DG＝BG＝1，
AG＝＝，AD＝＝2，
故答案为2或2．
10．解：作AH⊥CB交CB的延长线于H，连接AC．
由∠AOC＝90°，可得∠ABC＝135°，
在Rt△AHB中，∵AB＝，∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝1，
在Rt△AHC中，∵CH＝CB+BH＝2，AH＝1，
∴AC＝＝，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴OA＝OC＝，
故答案为．
11．解：如图作AE⊥PC于E，AF⊥PB交PB的延长线于F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠EPF＝90°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠APF＝∠APC，
∵AE⊥PC，AF⊥PF，
∴AE＝AF，
∵∠F＝∠AEC＝90°，
∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），
∴BF＝CE，
∵∠AFP＝∠AEP＝90°，AP＝AP，AF＝AE，
∴Rt△APF≌Rt△APE（HL），
∴PF＝PE，
∴PB+PC＝PF﹣BF+PE+EC＝2PE，
∵∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PA＝PE，
∴PE＝PA，
∴PB+PC＝PA．
故答案为PB+PC＝PA．
12．解：∵，∠COD＝32°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝32°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝84°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO＝×（180°﹣84°）＝48°．
故答案为：48°
13．解：如图，连接OC，设OB交CD于K．
∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴∠CDO＝∠OBA，
∵∠DKO＝∠BKE，
∴∠DOK＝∠BEK＝α，
即∠BOD＝α，故①正确，
不妨设，∠OAB＝90°﹣α，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBE+∠BEK＝90°，
∴∠BKE＝90°，
∴OB⊥CD，从条件上看，AB＝CD，推不出OB⊥CD这样的位置关系，故②错误，
∵CD＝AB，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABC＝∠DOB＝α，故③正确．
故答案为①③．
三．解答题（共8小题，满分55分）
14．证明：（1）∵C是的中点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴，
∴，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
∵，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，
∵，
∴，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，
解得：r＝1（舍）或3，
∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，
∴BF＝2；
解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，
∵，
∴∠HAC＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CH＝CE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），
∴AE＝AH，
∵CH＝CE，CD＝CB，
∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），
∴DH＝BE＝2，
∴AE＝AH＝2+2＝4，
∴AB＝4+2＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BEC＝90°，
∵∠EBC＝∠ABC，
∴△BEC∽△BCA，
∴，
∴BC2＝AB BE＝6×2＝12，
∴BF＝BC＝2．
解法三：如图，连接OC，交BD于H，
∵C是的中点，
∴OC⊥BD，
∴DH＝BH，
∵OA＝OB，
∴OH＝AD＝1，
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，
∴△COE≌△BOH（AAS），
∴OH＝OE＝1，
∴CE＝EF＝＝2，
∴BF＝＝＝2．
15．（1）证明：延长BO交⊙O 于F，连接DF，AD．
∵BF是直径，
∴∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴AC∥DF，
∴∠CAD＝∠ADF，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOF，
∵∠AOB+∠AOF＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°．
（2）解：连接AF．
由（1）可知：＝，
∴AF＝CD＝6，
∵BF是直径，
∴∠BAF＝90°，
∴BF＝＝＝10，
∴⊙O的直径为10．
16．证明：∵OB＝OD，
∴∠D＝∠B，
∵BD∥OC，
∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，
∴∠AOC＝∠COD，
∴＝．
17．证明：∵AD＝CB，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AB＝CD．
18．（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DH⊥AB，
∴∠DHA＝∠ADB＝90°，
又∵∠DAB＝∠HAD，
∴△DAB∽△HAD，
∴＝即＝，
∴AH＝3.6．
（2）证明：∵＝，
∴∠DAC＝∠DBA，
∵DH⊥AB，
∴∠FDE+∠B＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DEF+∠DAC＝90°，
∴∠DEF＝∠FDE，
∴DF＝EF．
19．（1）证明：如图1，连接CD交OB于F，
∵CE是直径，
∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠EDC＝∠OFC＝90°，
即OB⊥CD，
∴；
（2）解：如图2，连接CD交OB于F，连接EF，
由（1）得：DE∥OB，OB⊥CD，点F是CD的中点，
∵AE＝CE，
∴EF∥AD，EF＝AD＝2，
∵O是CE的中点，F是CD的中点，
∴OF＝DE，
∵EF∥BD，DE∥BF，
∴四边形EFBD是平行四边形，
∴BF＝DE，
设OF＝x，则BF＝DE＝2x，OC＝OB＝3x，
∵，
∴BC＝BD＝EF＝2，
∵DF2＝CF2
∴，
解得：x＝±1，
∵x＞0，
∴x＝1，
∴OC＝3x＝3．
20．解：（1）连接CD，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，
∴∠DCE＝40°
∴的度数为40°；
（2）延长AC交⊙C与点F，
∵∠BCA＝90°，BC＝2，AC＝6，
∴AB＝＝＝2，AE＝6﹣2＝4．
∵AB与AF均是⊙C的割线，
∴AD AB＝AE AF，即2 AD＝4×8，解得AD＝，
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣＝．
解法二：作CH⊥AB于H，利用面积法求出CH，再利用勾股定理求出BH，由BD＝2BH即可解决问题．
21．解：连接CD，如图，
∵∠C＝90°，∠B＝28°，
∴∠A＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣2×62°＝56°
∴的度数为56°；
∵∠DCE＝90°﹣∠ACD＝34°，
∴的度数为34°．