2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理 同步达标测试 （Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，CD是⊙O的弦，点E在圆上，EM经过圆心，且EM⊥CD于点M，若⊙O的半径为5，CD＝8，则EM的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y＝kx﹣k+2与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（
A． B．2 C．5 D．4
3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（　　）
A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2
5．如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　）
A．60° B．90° C．120° D．135°
6．如图，在⊙O中，半径为5，弦AB＝6，点C在AB上移动，连接OC，则OC的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，CD⊥AB，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m
8．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于E，EM＝8，则圆的半径为（　　）
A．4 B．3 C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（　　）cm．
A．4 B．9 C．5 D．8
10．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与地面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（　　）mm．
A．350 B．700 C．800 D．400
11．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，MO交圆于E，EM＝6，则圆的半径为（　　）
A．4 B．2 C． D．
12．如图，⊙O的弦AB⊥OC，且OD＝2DC，AB＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．9
二．填空题（共8小题，满分40分）
13．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　 　．
14．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于　 　cm．
15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，则该圆的周长是　 　．
16．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为　 　cm．
17．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10，AB＝16，则CD的长是　 　．
18．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝　 　cm．
19．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为　 　．
20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为　 　．
三．解答题（共5小题，满分44分）
21．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
22．如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 　 　条．
23．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，∠DEB＝60°，求CD的长．
24．如图，点A、B、C在⊙O上，AB＝CB＝9，AD∥BC，CD⊥AD，且AD＝2．
（1）求线段CD、AC的长；
（2）求⊙O的半径．
25．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：如图，连接OC，
∵EM⊥CD，CD＝8，
∴CM＝MD＝CD＝4，
∴OM＝＝＝3，
∴EM＝OE+OM＝5+3＝8，
故选：C．
2．解：∵y＝kx﹣k+2，
∴（x﹣1）k＝y﹣2，
∴k为任意数，
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，解得x＝1，y＝2，
∴直线y＝kx﹣k+2经过定点P（1，2），
连接OP，过P点作弦BC⊥OP，连接OB，如图，
则此时弦BC的长最小，
∵以原点O为圆心的圆过点A（5，0），
∴⊙O的半径为5，
∵OP＝＝，
∴BP＝＝2，
∵BC⊥OP，
∴PB＝PC，
∴BC＝2BP＝4，
即弦BC的长的最小值为4．
故选：D．
3．解：连接OA，则OA＝10cm，
∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm，
∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（cm），
∵OC＝10cm，
∴CD＝OC﹣OD＝4cm，
故选：C．
4．解：连接OB，如图所示：
设⊙O的半径为rcm，则OE＝（r﹣2）cm，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，
∴BE＝DE＝4（cm），
在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2 ，
∴（r﹣2）2+42＝r2
解得：r＝5，
∵△BOC的面积＝OC×BE＝×4×5＝10（cm2），
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF，
∴△OFC的面积＝△BOC的面积＝5（cm2），
故选：D．
5．解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．
∵OA⊥PC，OB⊥CT，
∴CD＝DP，CE＝TE，
∴DE＝PT，
∴当PT是直径时，DE的长最大，
连接OC，
∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，
∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，
∴∠AOB＝∠COA+∠COB＝∠POT＝90°，
故选：B．
6．解：连接OA，过点O作OH⊥AB于H．
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB＝3，∠AHO＝90°，
∵OA＝5，
∴OH＝＝＝4，
根据垂线段最短可知OC的最小值＝4，
故选：B．
7．解：连接OD，
∵点O是这段弧所在圆的圆心，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
设AB＝OB＝OA＝rm，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AB，
∴C，D，O三点共线，
∴AD＝DB＝rm，
在Rt△AOD中，
∴OD＝r，
∵OD+CD＝OC，
∴r+5＝r，
解得：r＝（20+10），
∴这段弯路所在圆的半径为（20+10）m，
故选：D．
8．解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（8﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故选：C．
9．解：设OC＝OB＝xcm，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴EC＝DE＝3cm，
在Rt△OEC中，∵OC2＝CE2+OE2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
∴x＝5，
∴OE＝4cm，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9cm，
故选：B．
10．解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．
设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，
由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，
解得，x＝400，
∴2x＝800，
答：车轱辘的直径为800mm．
故选：C．
11．解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
设圆的半径是x，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故选：D．
12．解：设OD＝2a，则CD＝a，OA＝3a，
∵AB⊥OC，OC为半径，
∴AD＝BD＝AB＝，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：（3a）2＝（2a）2+（）2，
a＝1（负数舍去），
OA＝3×1＝3，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
13．解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
∵G（0，2），
∴OG＝2，
在Rt△AGO中，∵AG＝4，OG＝2，
∴AG＝2OG，OA＝＝2，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝4，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA＝4，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝4，MG＝CG＝2，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
14．解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝8，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm）．
故答案为6．
15．解：由垂径定理的推论可知，点O是过格点A，B的圆的圆心，连接OA，
由勾股定理得，OA＝＝，
∴该圆的周长＝2×π×＝2π，
故答案为：2π．
16．解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为12．
17．解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝×16＝8，
在Rt△OAD中，OD＝＝6，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4．
故答案为4．
18．解：连接OA，如图，
∵CE＝3cm，DE＝7cm，
∴CD＝10cm，
∴OC＝OA＝5cm，OE＝2cm，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE，
在Rt△AOE中，AE＝＝（cm），
∴AB＝2AE＝2（cm）．
故答案为2．
19．解：连接AO，
∵AB＝6，OP⊥AB，
∴AP＝3，
∵AO＝5，
∴OP＝＝＝4．
故答案为：4．
20．解：连接OD，
∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，
∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝5，
即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
三．解答题（共5小题，满分44分）
21．（1）解：连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，
∵AD⊥OB，
∴AH＝DH＝4，
在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，
∴r2＝42+（r﹣2）2
，解得r＝5，
即⊙O的半径为5；
（2）方法一
证明：连接CF，如图，
∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴OA⊥BG，
∴BG＝FG，
∴∠OAH＝∠OBG，
在△OAH和△OBG中，
，
∴△OAH≌△OBG（AAS），
∴AH＝BG，
∴BF＝2AH．
方法二：∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，AH＝DH，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴弧AD＝弧BF，
∴BF＝AD＝2AH．
22．解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，
则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：
∵OP⊥AB，
∴AP＝BP＝＝＝12，
∴AB＝2AP＝24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，
∴长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．
23．解：作OP⊥CD于P，连接OD，如图所示：
则CP＝PD＝CD，
∵AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
在Rt△OPE中，∠DEB＝60°，
∴∠POE＝30°，
∴PE＝OE＝1cm，OP＝PE＝cm，
∴PD＝＝＝（cm），
∴CD＝2PD＝2cm．
24．解：（1）作AE⊥BC于E，如图1所示：
则AE＝DC，EC＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣EC＝9﹣2＝7，
∴CD＝AE＝＝＝4，
∴AC＝＝＝6；
（2）作BF⊥AC于F，连接OA，如图2所示：
则AF＝CF＝AC＝3，
∴BF垂直平分AC，
∴BF一定过圆心O，BF＝＝＝6，
设⊙O的半径为r，则OF＝6﹣r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：（6﹣r）2+32＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
25．解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，
∴AB＝＝，
∵ AB AC＝ BC AH，
∴AH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．
（2）作DM⊥AC于M．
∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，
∴××2＝×2×2+×2×DM，
∴DM＝，
∴sin∠DAC＝＝＝．