2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.7切线长定理 同步达标测试（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
3．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形的周长为（　　）
A．32 B．34 C．36 D．38
4．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　）
A．40° B．140° C．70° D．80°
5．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　）cm2
A．12 B．24 C．8 D．6
7．如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（　　）
A．50° B．62° C．66° D．70°
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）
A． B．3 C．3 D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝　 　cm．
10．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为6cm，OP的长为10cm，则△PDE的周长是　 　．
11．已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA＝15cm，那么△PEF周长是　 　 cm．若∠P＝50°，那么∠EOF＝　 　．
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为　 　．
13．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，⊙O的半径是r，△PCD周长为4r，则tan∠APB＝　 　．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，M，N为切点，CE，DF交于点P．则AE＝　 　，△PMN的面积是　 　．
15．已知⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，如果BC边的长为10cm，AD的长为4cm，那么△ABC的周长为　 　
cm．
16．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E，若AB＝CD＝2，则CE＝　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
18．已知：AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．
①求BC的长；
②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE＝CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC＝4，BD＝，求⊙O的半径OC的长．
20．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．
（1）求证：∠POA＝2∠PCB；
（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．
21．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝3，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．
故选：C．
2．解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝10，
∴BE+CG＝10（cm）．
故选：D．
3．解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长＝2×（7+10）＝34．
故选：B．
4．解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故选：C．
5．解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA＝．
故选：A．
6．解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，
设EF＝EC＝xcm，
则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42＝（4+x）2，
∴x＝1cm，
∴CE＝1cm，
∴DE＝4﹣1＝3cm，
∴S△ADE＝AD DE÷2＝3×4÷2＝6cm2．
故选：D．
7．解：∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，
∴CE＝CA，DE＝DB，
∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，
∴∠PCD＝∠CAE+∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠DBE，
∴∠CAE＝∠PCD，∠DBE＝∠PDC，
即∠PAE＝∠PCD，∠PBE＝∠PDC，
∵∠P＝40°，
∴∠PAE+∠PBE＝∠PCD+∠PDC＝（∠PCD+∠PDC）＝（180°﹣∠P）＝70°．
故选：D．
8．解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣6，0）、B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴AB＝6
∴OP＝AB＝3，
∵OQ＝2，
∴PQ＝＝，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA＝PB；
同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；
则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；
∴PA＝PB＝5cm，
故答案为：5．
10．解：连接OA．
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，
∴BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，OA⊥AP．
在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP＝8，
∴△PDE的周长为2AP＝16．
故选答案为16cm．
11．解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，
∴PA＝PB＝15cm，ED＝EA，FD＝DB，
∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD＝PA+PB＝30（cm）即△PEF周长是30cm；
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
而∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；
连OD，如图，
∴∠ODE＝∠ODF＝90°，
易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠AOB＝65°，则∠EOF＝65°．
12．解：过点O作OC⊥AB于点C，
∴AC＝AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，OA⊥PA，
∵∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠PAB＝60°，
∴∠OAC＝90°﹣∠PAB＝30°，
在Rt△AOC中，OA＝3，
∴AC＝OA cos30°＝3×＝，
∴AB＝2AC＝3．
故答案为：3．
13．解：连接BO并延长交PA的延长线于F，连接OA，
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，
∴PA＝PB，CE＝CA，DE＝DB，
∴PA+PB＝PC+PD+CD＝4r，
∴PA＝PB＝2r，
∵PA，PB切⊙O于A、B，
∴∠FAO＝∠FBP＝90°，又∠AFO＝∠BFP，
∴△FAO∽△FBP，
∴＝＝，
∴FB＝2FA，
∴FA2+r2＝（2FA﹣r）2，
解得，FA＝r，则FB＝r，
∴tan∠APB＝＝，
故答案为：．
14．解：（1）由切线长定理知：AE＝EM，CM＝CB；
∵CD＝CB，
∴CM＝CD＝4．
设AE＝EM＝x，则DE＝4﹣x，CE＝CM+EM＝4+x；
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得x＝1；
故AE＝1．
（2）同（1）可求得BF＝FN＝1，则DF＝CE＝5，DE＝CF＝3；
则可证得Rt△CDE≌Rt△DCF；
∴∠DCP＝∠CDP，即DP＝CP，
∴PM＝PN；
故△DPC∽△NPM，且MN∥CD；
设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T，则MR⊥AD，NT⊥BC；
在Rt△MRE中，ME＝1，则ER＝ME cos∠DEC＝，MR＝ME sin∠DEC＝；
过P作PG⊥MN于G，则RG＝GT＝2，MG＝2﹣RM＝；
易知RE∥PG，则△REM∽△GPM，
∴＝（）2＝；
∵S△REM＝MR RE＝××＝，
∴S△PMG＝×＝，
故S△PMN＝2S△PMG＝．
15．解：∵⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，BC＝10cm，AD＝4cm，
∴AD＝AF＝4cm，BE＝BD，CF＝CE，
即BD+CF＝BE+CE＝BC＝10cm，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝AD+BD+BC+CF+AF＝4cm+10cm+10cm+4cm＝28cm，
故答案为：28cm．
16．解：∵CD是⊙O的切线，∴CD2＝CB CA，
∵AB＝CD＝2，∴4＝BC（BC+2），解得BC＝﹣1+，
∵CD是⊙O的切线，BE为⊙O的切线，∴∠CBE＝∠CDO＝90°，
∴△BCE∽△DCO，∴＝，
即＝，
解得，CE＝，
故答案为．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）连接OE，
∵PA、PB与圆O相切，
∴PA＝PB＝6，
同理可得：AC＝CE，BD＝DE，
△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；
（2）∵PA PB与圆O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC＝∠COE，
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝65°．
18．解：①过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，
∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2，
∵DE与⊙O相切，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC，
设BC＝x，
则CF＝BC﹣BF＝x﹣2，DC＝DE+CE＝2+x，
在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，
即（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，
解得：x＝，
即BC＝；
②∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，
∴AD：CG＝DE：CE，AE：EG＝AD：CG，
∵AD＝DE＝2，
∴CG＝CE＝BC＝，
∴BG＝BC+CG＝5，
∴AE：EG＝4：5，
在Rt△ABG中，AG＝＝3，
∴EG＝AG＝．
19．（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；
DE、CE都是切线，所以DE＝CE，∠EDC＝∠ECD；
又∠B+∠ECD＝90°，∠BDE+∠EDC＝90°；
所以∠B＝∠BDE，所以BE＝DE，从而BE＝CE；
（2）解：连接OD，
当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE＝EC＝OC＝OD＝r；
从而BE＝r，即△ABC是一个等腰直角三角形；
AC＝AB＝2r，S△ABC＝2r2；
（3）解：若EC＝4，BD＝4，则BC＝8；
在Rt△BDC中，cos∠CBD＝＝；所以∠CBD＝30°；
在Rt△ABC中，＝tan30°，即AC＝BCtan30°＝8×＝，OC＝＝；
另解：设OC＝r，AD＝x；由EC＝4，BD＝4得BC＝8，DC＝4；
则：，解得；即OC＝．
20．证明：（1）连接OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°，
在Rt△POA和Rt△POB中，
∵，
∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），
∴∠POA＝∠POB，
∵∠POB＝2∠PCB，
∴∠POA＝2∠PCB；
（2）过B作BE⊥PC于E，
∵PB＝PA＝4，OB＝OA＝3，
∴PO＝5，
∴PO BE＝OB PB，
∴BE＝，
由勾股定理得：OE＝＝，
∴CE＝OC+OE＝3+＝，
在Rt△OBE中，tan∠PCB＝＝＝．
21．（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP＝＝4，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4．