2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形 同步达标测试 （Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P是上的一点，则∠APB的度数是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．72°
2．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（　　）
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
3．如图，已知⊙O的内接正方形边长为2，则⊙O的半径是（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．下列圆的内接正多边形中，中心角最大的图形是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（　　）
A．AE∥BF B．AF∥CD C．DF＝AF D．AB＝BF
6．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠AOB的度数是（　　）
A．65° B．70° C．72° D．78°
7．正八边形的中心角为（　　）
A．45° B．60° C．80° D．90°
8．如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
9．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径作，，若AB＝1，则阴影部分图形的周长是（　　）
A．π+1 B．π C．π+1 D．π
10．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（　　）
A．cm B．5cm C．3cm D．10cm
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是CD弧的中点，则∠CBF的度数为　 　．
12．已知正六边形边长为4，则它的内切圆面积为　 　．
13．如图，在正六边形ABCDEF中，AC与FB相交于点G，则值为 　 　．
14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O其边长为2，则⊙O的内接正三角形ACE的边长为　 　．
15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O且半径为3，则AB的长为　 　．
三．解答题（共8小题，满分60分）
16．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．
17．如图，在半径为10cm的圆中作一个正六边形ABCDEF，试求此正六边形的面积．
18．如图，⊙O的半径等于4cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．
（1）求证：；
（2）求的度数．
20．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长和PB的长．
21．如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB＝1，求BF．
22．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
23．如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：连接OA，OB，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠AOB＝90°，
∵点P是上，
则∠APB＝∠AOB＝45°；
故选：C．
2．解：连接OA，OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
当点P不在上时，
∠APB＝∠AOB＝30°，
当点P在上时，
∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，
故选：D．
3．解：如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴AB2+BC2＝22+22＝8，
∴AC＝2，
∴⊙O的半径是，
故选：C．
4．解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选：A．
5．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠ABC＝∠C＝∠EDC＝∠E＝＝108°，BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝×（180°﹣∠C）＝36°，
∴∠ABD＝108°﹣36°＝72°，
∴∠EAB+∠ABD＝180°，
∴AE∥BF，故本选项不符合题意；
B、∵∠F＝∠CDB＝36°，
∴AF∥CD，故本选项不符合题意；
C、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF＝∠AHD＝90°，
∵∠EDC＝108°，∠CDB＝∠EDA＝36°，
∴∠ADF＝108°﹣36°﹣36°＝36°＝∠F，
∴AD＝AF，
∴FH＝DH，
当∠F＝30°时，AF＝2AH，FH＝DH＝AH，
此时DF＝AF，
∴此时∠F＝36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；
D、连接OA、OB，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣72°）＝54°，
∵FA切⊙O于A，
∴∠OAF＝90°，
∴∠FAB＝90°﹣54°＝36°，
∵∠ABD＝72°，
∴∠F＝72°﹣36°＝36°＝∠FAB，
∴AB＝BF，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．解：∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB＝360°÷5＝72°．
故选：C．
7．解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；
故选：A．
8．解：连接AO，BO，CO．
∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，
∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，
∴∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故选：C．
9．解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB＝1，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝1，∠A＝∠D＝108°，
∴的长＝的长＝＝π，
∴阴影部分图形的周长＝的长+的长+BC＝π+1．
故选：A．
10．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．解：设圆心为O，连接OC，OD，BD，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠O＝＝72°，
∴∠CBD＝O＝36°，
∵F是的中点，
∴∠CBF＝∠DBF＝CBD＝18°，
故答案为：18°．
12．解：连接OD、OE，作OM⊥DE于M，
∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴△ODE是等边三角形，
∴OD＝DE＝4，
∴OM＝OD sin60°＝4×＝2，
∴它的内切圆面积＝π×（2）2＝12π，
故答案为：12π．
13．解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝AF，∠ABC＝∠BAF＝120°，
∴∠ABF＝∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴AG＝BG，∠CBG＝90°，
∴CG＝2BG＝2AG，
∴＝；
故答案为：．
14．解：连接OB交AC于H．
在正六边形ABCDEF中，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴＝，
∴OB⊥AC，
∴∠ABH＝∠CBH＝60°，AH＝CH，
∴AH＝AB sin60°＝，
∴AC＝2，
故答案为2．
15．解：连接OA、OB，如图所示：
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB＝3，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，
故答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分60分）
16．（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝＝120°；
（2）证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH，
在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△BOH（SAS）
∴OG＝OH．
17．解：连接OA，OB，且过点O作OH⊥AB，
由正六边形ABCDEF可得△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝10，
∴OH＝OAsin60°＝10×＝5，
∴S△OAB＝×AB×OH＝×10×5＝25，
∴S正六边形ABCDEF＝6×25＝150cm2．
18．解：（1）过O作OH⊥AF于H，连接OA，OF，
∵在正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，
∴∠OAF＝60°，
∵OA＝4，
∴AH＝OA＝2，
∴OH＝＝＝2；
∴圆心O到AF的距离为2；
（2）∵OA＝OF，∠OAF＝60°，
∴△OAF是等边三角形，
∴AF＝OA＝4，
∴S△AOF＝×4×2＝4，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6S△AOF＝24．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴＝，
∵M为的中点，
∴＝，
∴+＝+，
∴；
（2）解：连接OM，OA，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BOM＝（360°﹣90°）＝135°，
∴的度数是135°．
20．解：连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠APC＝90°，AC＝AB，
∴AC＝＝＝，
∴AB＝＝，
∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝AP＝，
∴BE＝＝＝，
∴PB＝PE+BE＝+＝2．
21．解：在正五边形ABCDE中，∵∠ABC＝∠DCB＝108°，BC＝BA＝CD，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CDB＝∠CBD＝36°，
∴∠ABF＝72°，
∴∠AFB＝∠CBD+∠ACB＝72°，
∴∠AFB＝∠ABF，∠FCB＝∠FBC，
∴AF＝AB＝1，FB＝CF，设FB＝FC＝x，
∵∠BCF＝∠BCA，∠CBF＝∠CAB，
∴△BCF∽△ACB，
∴CB2＝CF CA，
∴x（x+1）＝1，
∴x2+x﹣1＝0，
∴x＝或（舍弃），
∴BF＝．
22．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
在△BEC和△APC中，
，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，连接OA，OB．如图2，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴BP＝BE，
∴PE＝PB，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC＝AE，
∴PA＝AE+PE＝PC+PB；
23．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴半径OC＝4cm，
∵六边形ABCDE是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠COH＝30°，
∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2，
∴圆心O到AF的距离为2cm；
（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．