2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.9弧长及扇形面积 同步达标测试 （Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.9弧长及扇形面积》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（　　）
A．20π B．15π C．10π D．5π
2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝55°，AB＝6，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．11π
3．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．已知扇形半径是9cm，弧长为4πcm，则扇形的圆心角为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
5．如图，在△AOC中，OA＝3，OC＝1，将△AOC绕点O顺时旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（　　）
A． B．2π C． D．
6．如图，已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为，连接OC、AD，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，扇形AOB的圆心角是45°，正方形CDEF的顶点分别在OA，OB和弧AB上．若OD＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（　　）
A．πa2﹣a2 B．πa2﹣a2 C．πa2﹣a2 D．πa2﹣a2
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．如图， ABCD中，∠C＝110°，AB＝3，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为 　 　．
10．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，点D是优弧BC上一点，连结BD，AD，OC，∠ADB＝30°，若弦BC＝8cm，则图中弦BC所对的弧长是 　 　．
11．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为 　 　．
12．已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则∠CAD的度数是，弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是 　 　．
13．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的 O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，∠D＝65°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，求的长．
16．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中的长．
17．如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；
（3）在（2）的条件下，求劣弧BC的长．
18．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，连结OB，求图中扇形BOC的面积．
19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，线段BC上点D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，以AC为直径的⊙O交BC于点E．
（1）求证：AD切⊙O于点A；
（2）若BD＝2，求图中阴影部分的面积．
20．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．
（1）求∠EBC的大小；
（2）若⊙O的半径为2．求图中阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：圆心角是60°，半径为30的扇形的弧长是＝10π，
故选：C．
2．解：∵∠OCA＝55°，OA＝OC，
∴∠A＝55°，
∴∠BOC＝2∠A＝110°，
∵AB＝6，
∴BO＝3，
∴的长为：＝π．
故选：B．
3．解：∵四边形内接于⊙O，∠AOC＝2∠ADC，
∴∠ADC+∠ABC＝∠AOC+∠ABC＝180°．
又∠AOC：∠ABC＝4：3
∴∠AOC＝144°．
∵⊙O的半径为2，
∴劣弧AC的长为＝π．
故选：D．
4．解：根据弧长公式＝＝4π，
解得：n＝80，
故选：D．
5．解：∵△AOC≌△BOD，
∴在旋转过程中所扫过的图形的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积﹣＝2π，
故选：B．
6．解：连接OD，
∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，
∴∠COD＝60°，
∵的长为，
∴＝，
∴R＝2，
∴OD＝2，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AD，
∴OE＝OD＝1，DE＝OD＝，
∴S阴影＝S扇形COD﹣S△ODE＝﹣＝π﹣，
故选：D．
7．解：∵∠O＝45°，四边形CDEF是正方形，
∴∠CDO＝90°，△COD是等腰直角三角形，
∴DE＝EF＝OD＝2，
连接OF，
Rt△EOF中，OE＝4，EF＝2，
∴OF＝＝2．
∴扇形AOB的面积是＝，
正方形CDEF的面积是2×2＝4，
等腰三角形COD的面积是×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是﹣4﹣2＝﹣6．
故选：B．
8．解：由题意可得出：S阴影＝2S扇形﹣S正方形＝2×﹣a2＝πa2﹣a2，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝70°，
连接OE，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝70°，
∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，
∵AB＝3，AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OE＝1.5，
∴的长为：＝，
故答案为：．
10．解：如图，连接OB，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∵OA⊥BC，BC＝8cm，
∴＝，BE＝4cm，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∴OE＝OB，
由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，即（OB）2+（4）2＝OB2，
解得：OB＝8（cm），
∴劣弧BC的长＝＝，
则优弧BC的长＝2π×8﹣＝，
故答案为：或．
11．解：∵扇形OAB中，∠AOB＝90°，AO＝1，
∴阴影部分的周长＝×π++1＝π+1，
故答案为：π+1．
12．解：连接CO、OD，CD，
∵C、D是这个半圆的三等分点，
∴CD∥AB，∠COD＝60°，
∴∠CAD的度数为：30°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，CD＝OC＝AB＝6cm，
∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形，
∴S阴影＝S扇形OCD＝π×62＝6πcm2．
故答案为：6πcm2．
13．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝，
故答案为：；
14．解：连接OD，连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，
∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝30°，CD＝3，
∴OD＝CD tan30°＝3×＝3，
∵∠DAB＝∠DAE＝30°，
∴＝，
∵∠DOE＝60°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠FOA＝60°，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴DF∥AC，
∴S阴影＝S扇形DFO＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．解：（1）如图，连接OC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝65°，
∴∠AOD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵OD∥BC，OB＝OC，
∴∠AOD＝∠OBC＝∠OCB＝∠COD＝50°，
∴∠CAD＝∠COD＝25°；
（2）由AB＝4可得半径为2，∠BOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
因此的长为＝．
16．解：（1）AB＝AC，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OB，BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ACB＝∠ODB，
又∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）∵OD∥AC，∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝∠BAC＝45°，
由AB＝8，可得半径为4，
所以的长为＝π．
17．解：（1）∵CE＝ED，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣5）cm，
CE＝CD＝×10＝5cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣5）2+（5）2，
解得R＝10．
∴圆O的直径2R＝20cm；
（3）在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5＝OC，
∴∠OCE＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴劣弧BC的长是＝cm．
18．解：（1）∵BC⊥OA，
∴BE＝CE，＝，
又∵∠ADB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB，
∴∠AOC＝60°．
（2）∵BC＝8cm，
∴CE＝BC＝4cm，
∵∠AOC＝60°，
∴sin60°＝＝，
∴OC＝＝8cm，
∵∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴S扇形OBC＝＝π（cm2）．
19．（1）证明：在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵线段BC上点D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°，
∴CA⊥AD，
∵AC经过圆心O，
∴AD切⊙O于点A；
（2）解：连接OE，作OF⊥CE于F，则EF＝CF，
∵BD＝2，
∴AD＝BD＝2，
∵∠C＝30°，∠DAC＝90°，
∴CD＝2AD＝4，
∴BC＝3BD＝6，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C＝30°，
∴∠OEC＝∠B，∠EOC＝120°，
∴OE∥AB，
∵OA＝OC，
∴CE＝BE＝BC＝3，
∴EF＝CF＝，
∴OF＝tan30°×＝，OC＝＝，
∴S阴影＝S扇形COE﹣S△COE＝﹣＝π﹣．
20．解；（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝67.5°．
∴∠EBC＝22.5°；
（2）连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
∴AE＝BE，
∵OA＝OB，
∴OE⊥AB，
∵OA＝OB＝OE＝2，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△OBE＝﹣＝﹣＝π﹣2．