2021-2022学年冀教版八年级数学上册16.3角的平分线同步练习题（word解析版）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.3角的平分线》同步练习题（附答案）
1．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．7 C．5 D．4
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．2
6．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
8．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
9．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点若满足PD＝PM，则OD的长度为（　　）
A．3 B．5 C．5或7 D．3或7
10．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝　 　．
11．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是　 　．
12．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
14．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．
15．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
16．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．
求证：OC是∠AOB的平分线．
17．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OC＝OD；
（3）OE是线段CD的垂直平分线．
18．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
19．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD＝AC．
20．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．
21．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠EBC＝180°
求证：2AE＝AB+AD．
22．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
23．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C＝180°．
24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，
求证：FK∥AB．
26．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF．
（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+　 　＝2AF，请加以证明．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．
参考答案
1．解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4．
故选：C．
2．解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC EF＝×5×2＝5，
故选：C．
3．解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE＝DG，
∴DM＝DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，
S△DNM＝S△EDF＝S△MDG＝×11＝5.5．
故选：B．
4．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×10 DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
5．解：过点P作PB⊥OM于B，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，
∴PB＝PA＝3，
∴PQ的最小值为3．
故选：C．
6．解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，
∴∠AOP＝AOB＝30°，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，
∴OP＝2DM＝8，
∴PD＝OP＝4，
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，
∴PC的最小值＝PD＝4．
故选：C．
7．解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C＝90°，
∴DE＝CD，
∴△ABD的面积＝AB DE＝×15×4＝30．
故选：B．
8．解：如图所示，加油站站的地址有四处．
故选：D．
9．解：如图：过点P作PE⊥OA于点E
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB
∴PE＝PN
∵PE＝PN，OP＝OP
∴△OPE≌△OPN（HL）
∴OE＝ON＝5
∵OM＝3，ON＝5
∴MN＝2
若点D在线段OE上，
∵PM＝PD，PE＝PN
∴△PMN≌△PDE（HL）
∴DE＝MN＝2
∴OD＝OE﹣DE＝3
若点D在射线EA上，
∵PM＝PD，PE＝PN
∴△PMN≌△PDE（HL）
∴DE＝MN＝2
∴OD＝OE+DE＝7
故选：D．
10．解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD＝OE＝OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB OD）：（BC OF）：（AC OE）＝AB：BC：AC＝40：50：60＝4：5：6．
故答案为：4：5：6．
11．解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴S△BCD＝ BC×DF＝×4×2＝4
故答案为：4．
12．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，
∴∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
13．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
14．证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
15．证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
16．证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD＝PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
17．证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED＝EC，即△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD＝∠EDC；
（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE＝∠COE，∠ODE＝∠OCE＝90°，OE＝OE，
∴△OED≌△OEC（AAS），
∴OC＝OD；
（3）∵OC＝OD，且DE＝EC，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
18．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
19．证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，
∴OB＝OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB＝∠AOE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE，
同理可得CD＝CE，
∵AC＝AE+CE，
∴AB+CD＝AC．
20．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．
∴CF＝EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE．
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．
21．证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC＝∠CEB＝90°，
在△AFC和△AEC中，
∴△AFC≌△AEC（AAS），
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵∠ADC+∠EBC＝180°
∴∠FDC＝∠EBC，
在△FDC和△EBC中，
∴△FDC≌△EBC（AAS）
∴DF＝EB，
∴AB+AD＝AE+EB+AD＝AE+DF+AD＝AF+AE＝2AE
∴2AE＝AB+AD
22．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
23．证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，
在RtCDE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD＝∠C，
∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠FAD＝180°．
24．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
25．证明：过点K作MK∥BC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BAE+∠DKA＝∠CAE+∠CEA＝90°，
∴∠DKA＝∠CEA，
又∵∠DKA＝∠CKE，
∴∠CEA＝∠CKE，∴CE＝CK，又CE＝BF，
∴CK＝BF（4分）
而MK∥BC，
∴∠B＝∠AMK，
∴∠BCD+∠B＝∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠AMK＝∠DCA，
在△AMK和△ACK中，
∴∠AMK＝∠ACK，AK＝AK，∠MAK＝∠CAK，
∴△AMK≌△ACK，（4分）
∴CK＝MK，
∴MK＝BF，MK∥BF，
四边形BFKM是平行四边形，（2分）
∴FK∥AB．（2分）
26．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE＝DF，AE＝AF；
（2）解：AM+AN＝2AF；
证明如下：由（1）得DE＝DF，
∵∠MDN＝∠EDF，
∴∠MDE＝∠NDF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴ME＝NF，
∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF；
（3）由（2）可知AM+AN＝2AC＝2×6＝12，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵ND∥AB，
∴∠ADN＝∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠ADN，
∴AN＝DN，
在Rt△CDN中，DN＝2CN，
∵AC＝6，
∴DN＝AN＝×6＝4，
∵∠BAC＝60°，∠MDN＝120°，
∴∠CDE＝∠MDN，
∴DM＝DN＝4，
∴四边形AMDN的周长＝12+4×2＝20．