2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.3勾股定理》同步达标训练(附答案)
1.已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n(m<n),过此三角形锐角的顶点把该纸片剪成两个三角形,若这两个三角形都为等腰三角形,则有( )
A.m2+2mn+n2=0 B.m2﹣2mn+n2=0
C.m2+2mn﹣n2=0 D.m2﹣2mn﹣n2=0
2.在周长为24的直角三角形中,斜边长为11,则该三角形的面积为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
3.如图,小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点得△ABC,则AC边上的高是( )
A. B. C. D.
4.如图,∠AOB=60°,C是BO延长线上一点,OC=12cm,动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动,如果点P,Q同时出发,用t表示移动的时间,若△POQ是等腰三角形,此时t的值是( )
A.6或12 B.4或12 C.4或6 D.6或8
5.在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中.则当a=24时,b+c的值为( )
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A.250 B.288 C.300 D.574
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AB=5,角平分线CD交AB于点D,则点D到AC的距离是( )
A. B.2 C. D.3
7.如图,圆柱形玻璃杯高为11cm,底面周长为30cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为(杯壁厚度不计)( )
A.12cm B.17cm C.20cm D.25cm
8.如图,长方体的高为9cm,底边是边长为6cm的正方形,一只美丽的蝴蝶从顶点A开始,爬向顶点B,那么它爬行的最短路程为( )
A.10cm B.12cm C.15cm D.20cm
9.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古代《周髀算经》中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内.若图中阴影部分图形的面积为3,则较小两个正方形重叠部分图形的面积为( )
A.2 B.3 C.5 D.6
10.如图所示的是一种“羊头”形图案,全部由正方形与等腰直角三角形构成,其作法是从正方形①开始,以它的一条边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②′,再分别以正方形②和②′的一条边为斜边,向外作等腰直角三角形,…,若正方形⑤的面积为2cm2,则正方形①的面积为( )
A.8cm2 B.16cm2 C.32cm2 D.64ccm2
11.如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,…按照此规律继续下去,则S9的值为( )
A. B. C. D.
12.如图,牧童在A处放牛,牧童家在B处,A、B处距河岸DC的距离AC、BD的长分别为500m和700m,且C,D两点的距离为500m,天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家,那么牧童最少要走的距离为( )
A.1000m B.1200m C.1300m D.1700m
13.若△ABC的三边a、b、c满足(a﹣b)2+|a2+b2﹣c2|=0,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
14.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形
拼接而成,其中AE=10,BE=24,则EF2的值是( )
A.169 B.196 C.392 D.588
15.在△ABC中,AB=15,AC=20,D是BC边所在直线上的点,AD=12,BD=9,则BC= .
16.已知钝角三角形的三边分别为2,3,4,则该三角形的面积为 .
17.如图,点C是线段AB上的一点,以AC,BC为边向两边作正方形,设AB=9,两正方形的面积和S1+S2=51,则图中阴影部分面积为 .
18.已知△ABC中,AB=AC=10,BC=12.
请从下面A,B两题中任选一题作答.我选择 题.
A.如图1,若点D在AC边上,且BD⊥AC,则BD的长为 .
B.如图2,若点E在BC边上,且AE=CE,则AE的长为 .
19.如图, ABCD中,∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E.F两点,CE、BF交于点G,若AB=3,BC=4,则EG2+FG2= .
20.如图,在△ABC中,已知:∠ACB=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发,沿射线BC以1cm/s的速度运动,设运动的时间为t秒,连接PA,当△ABP为等腰三角形时,t的值为 .
21.一个直角三角形的两边长分别为6,8.则斜边上的高为 .
22.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=6,点E在BC上,AE⊥DE.且AE=DE,若EC=1.则CD= .
23.如图,在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走,绳端从C移动到E,同时小船从A移动到B,且绳长始终保持不变.回答下列问题:
(1)根据题意可知:AC BC+CE(填“>”、“<”、“=”).
(2)若CF=5米,AF=12米,AB=9米,求小男孩需向右移动的距离.(结果保留根号)
24.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力,如图,有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B,已知点C为一海港,且点C与直线AB上的两点A,B的距离分别为AC=300km,BC=400km,又AB=500km,以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.
(1)求∠ACB的度数;
(2)海港C受台风影响吗?为什么?
(3)若台风的速度为20千米/小时,当台风运动到点E处时,海港C刚好受到影响,当台风运动到点F时,海港C刚好不受影响,即CE=CF=250km,则台风影响该海港持续的时间有多长?
参考答案
1.解:如图,
m2+m2=(n﹣m)2,
2m2=n2﹣2mn+m2,
m2+2mn﹣n2=0.
故选:C.
2.解:设直角三角形的一直角边长为x,另一直角边为y,
由题意可得:x+y=24﹣11=13,
∴(x+y)2=132①,
由勾股定理可得:x2+y2=112②,
①﹣②得:2xy=48,
∴xy=24,
∴该三角形的面积为:xy=×24=12,
故选:B.
3.解:如图,∵小正方形边长为1,
∴AD=2,CD=1,
∴=1,
同理,S△BCE=,S△ABF=1,
∵正方形ADEF的面积为:2×2=4
∴S△ABC=4﹣S△BCE﹣S△ABF﹣S△ADC=4﹣﹣1﹣1=,
在Rt△ACD中,AC==,
过B作BM⊥AC于M,
∵=,
∴BM=,
故选:D.
4.解:分两种情况:(1)当点P在线段OC上时,
设t时后△POQ是等腰三角形,
有OP=OC﹣CP=OQ,
即12﹣2t=t,
解得,t=4;
(2)当点P在CO的延长线上时,此时经过CO时的时间已用6s,
当△POQ是等腰三角形时,∵∠POQ=60°,
∴△POQ是等边三角形,
∴OP=OQ,
即2(t﹣6)=t,
解得,t=12,
故选:B.
5.解:从表中可知:a依次为6,8,10,12,14,16,18,20,22,24, ,即24=2×(10+2),
b依次为8,15,24,35,48, ,即当a=24时,b=122﹣1=143,
c依次为10,17,26,37,50, ,即当a=24时,c=122+1=145,
所以当a=24时,b+c=143+145=288,
故选:B.
6.解:作DE⊥AC于E,作DF⊥BC于F,
在Rt△ACB中,AC===4,
∵CD是角平分线,
∴DE=DF,
∴AC DE+BC DF=AC BC,即×4DE+×3DE=×4×3,
解得DE=.
故点D到AC的距离是.
故选:A.
7.解:如图:
将杯子侧面展开,
作A关于EF的对称点A′,
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离,即A′B的长度,
∵A′B====17(cm),
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm,
故选:B.
8.解:如图,
(1)AB===3;
(2)AB==15,
由于15<3;
则蚂蚁爬行的最短路程为15cm.
故选:C.
9.解:设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为b,较短直角边为a,
由勾股定理得,c2=a2+b2,
阴影部分的面积=c2﹣b2﹣a(c﹣b)=a2﹣ac+ab=a(a+b﹣c)=3,
较小两个正方形重叠部分的宽=a﹣(c﹣b),长=a,
则较小两个正方形重叠部分底面积=a(a+b﹣c)=3,
故选:B.
10.解:第一个正方形的面积是S;
第二个正方形的面积是;
第三个正方形的面积是;
…
第n个正方形的面积是,
∵正方形⑤的面积是2,
∴正方形①的面积32.
故选:C.
11.解:在图中标上字母E,如图所示.
∵正方形ABCD的边长为2,△CDE为等腰直角三角形,
∴DE2+CE2=CD2,DE=CE,
∴S2+S2=S1.
观察,发现规律:S1=22=4,S2=S1=2,S3=S2=1,S4=S3=,…,
∴Sn=()n﹣3.
当n=9时,S9=()9﹣3=()6,
故选:A.
12.解:作A点关于河岸的对称点A′,连接BA′交河岸与P,连接A′B′,连接PA,过A'作A'B'⊥BD于B',
则PB+PA=PB+PA′=BA′最短,故牧童应将马赶到河边的P地点.
∴B'D=A'C=CA=500m,
∴BB′=BD+BD′=700+500=1200(m),
∵A'B'=CD=500m,
∴BA'===1300(m).
即牧童至少要走的距离为1300m,
故选:C.
13.解:∵(a﹣b)2+|a2+b2﹣c2|=0,
∴a﹣b=0,a2+b2﹣c2=0,
解得:a=b,a2+b2=c2,
∴△ABC的形状为等腰直角三角形;
故选:C.
14.解:∵AE=10,BE=24,即24和10为两条直角边长时,
∴小正方形的边长=24﹣10=14,
∴EF2=142+142=392,
故选:C.
15.解:如图1所示,当点D在线段BC上时,
∵AD=12,BD=9,AB=15,
∴AD2+BD2=AB2,
∴△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°,
∴∠ADC=90°,
∴DC===16,
∴BC=BD+CD=9+16=25;
如图2所示,当点D在CB的延长线上时,
同理可得,DC=16,
∴BC=CD﹣BD=16﹣9=7;
由于AC>AB,所以点D不在BC的延长线上.
综上所述,BC的长度为25或7.
故答案为:25或7.
16.解:如图,AB=2,BC=3,AC=4,过点B作BD⊥AC于D,
设AD=x,CD=4﹣x,
∵BD⊥AC,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
∴22﹣x2=32﹣(4﹣x)2,
解得x=,
∴AD=,
∴BD=,
∴S=AC×BD=×4×=,
故答案为:.
17.解:设AC=m,CF=n,
∵AB=9,
∴m+n=9,
又∵S1+S2=51,
∴m2+n2=51,
由完全平方公式可得,(m+n)2=m2+2mn+n2,
∴92=51+2mn,
∴mn=15,
∴S阴影部分=mn=,
即:阴影部分的面积为.
故答案是:.
18.解:若选择A题,如图1,过点A作AE⊥BC于E,
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴BE=,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:
AE=,
∴S△ABC=,
∴12×8=10×BD,
∴BD=,
若选择B题,如图2,过点A作AH⊥BC于H,
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=,
在Rt△ABH中,由勾股定理得:
AH=,
设AE=x,则EH=x﹣6,
在Rt△AEH中,由勾股定理得:
(x﹣6)2+82=x2,
解得x=,
∴AE=.
19.解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,
∴∠ABC+∠DCE=180°,∠AFB=∠CBF,∠DEC=∠BCE,∠ABC+∠DCE=180°,
∵∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E,F两点,
∴∠ABF=∠CBF=∠ABC,∠BCE=∠DCE=∠BCD,
∴∠ABF=∠AFB,∠DCE=∠DEC,∠CBF+∠BCE=(∠ABC+BCD)=90°,
∴AF=AB,DE=CD,∠BGC=90°,
∴AF=DE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=4,AF=DE=AB=3,
∴EF=AF+DE﹣AD=2,
∵∠EGF=∠BGC=90°,
∴EG2+FG2=EF2=4.
故答案为:4.
20.解:在△ABC中,∠ACB=90°,
由勾股定理得:BC=cm,
∵△ABP为等腰三角形,
当AB=AP时,则BP=2BC=16cm,即t=16;
当BA=BP=10cm时,则t=10;
当PA=PB时,如图:设BP=PA=x,则PC=8﹣x,
在Rt△ACP中,由勾股定理得:
PC2+AC2=AP2,
∴(8﹣x)2+62=x2,
解得x=,
∴t=.
综上所述:t的值为16或10或.
故答案为:16或10或.
21.解:分为两种情况:
①斜边是8有一条直角边是6,
由勾股定理得:第三边长==2,
设斜边上的高为h,
由同一三角形面积相等得:
×8h=×6×2,
解得:h=,
②6和8都是直角边,
由勾股定理得:第三边长==10,
设斜边上的高为a,
由同一三角形面积相等得:
×10×a=×6×8,
解得:a=,
故答案为:或.
22.解:过点D作DF⊥BC,交BC延长线于点F,
由题意得,BE=BC﹣EC=5,
∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵AE⊥DE,
∴∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠BAE=∠DEC,
∵AE=DE,∠B=∠DFE=90°,
∴△ABE≌△EFD(AAS),
∴EF=AB=3,DF=BE=5,
∴CF=EF﹣CE=2,
∵∠DFC=90°,
∴DC=.
故答案为:.
23.解:(1)∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长,(BC+CE)的长度是男孩拽之后的绳子长,绳长始终保持不变,
∴AC=BC+CE,
故答案为:=;
(2)连接AB,如图所示:
则点A、B、F三点共线,
在Rt△CFA中,由勾股定理得:AC=13(米),
∵BF=AF﹣AB=12﹣9=3(米),
在Rt△CFB中,由勾股定理得:BC===(米),
由(1)得:AC=BC+CE,
∴CE=AC﹣BC=(13﹣)(米),
∴小男孩需向右移动的距离为(13﹣)米.
24.解:(1)∵AC=300km,BC=400km,AB=500km,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°;
(2)海港C受台风影响,
理由:过点C作CD⊥AB,
∵△ABC是直角三角形,
∴AC×BC=CD×AB,
∴300×400=500×CD,
∴CD=240(km),
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域,
∴海港C受台风影响;
(3)当EC=250km,FC=250km时,正好影响C港口,
∵ED=70(km),
∴EF=140km,
∵台风的速度为20千米/小时,
∴140÷20=7(小时).
答:台风影响该海港持续的时间为7小时.