2021-2022学年冀教版九年级数学下册29.3切线的性质与判定同步练习题（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年冀教版九年级数学下册29.3切线的性质与判定同步练习题（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 497.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-15 12:03:15 | ||
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文档简介
2021-2022学年冀教版九年级数学下册《29.3切线的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（ ）
A． B． C．5 D．
2．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE．对于下列结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
4．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）
A．97° B．104° C．116° D．142°
6．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
7．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
9．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD＝30°，则∠BOD＝ °．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF＝2BF，则∠CAE的度数是 ．
11．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．若tan∠ACB＝，BC＝2，则⊙O的半径为 ．
12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 度．
13．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为 ．
14．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为 ．
15．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝ （填度数）．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 °．
17．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
18．如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC＝6，AB＝10，求CG的长．
19．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．
20．（1）如图（1），△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE＝∠B，试说明AE与⊙O相切于点A．
（2）在图（2）中，若AB为非直径的弦，∠CAE＝∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？请说明理由．
21．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
22．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．
求证：（1）AD＝AE；（2）AB AE＝AC DB．
23．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若，求BD的长．
25．如图，∠C＝90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC＝6，CD＝2．
（1）求证：四边形OECF为正方形；
（2）求⊙O的半径；
（3）求AB的长．
26．如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2﹣，求⊙O的半径和BF的长．
参考答案
1．解：方法1、过点O作OD⊥AC于点D，
∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵AB＝10，
∴OA＝5，
∴OD＝AO＝2.5，
∴AD＝＝，
∴AC＝2AD＝5，
故选A，
方法2、如图，
连接BC，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠ACP＝∠BAC＝∠BOC＝30°＝∠P，
∴AP＝AC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝10，
∴AC＝5，
故选：A．
2．解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
而AB＝CB，
∴AD＝DC，所以①正确；
∵AB＝CB，
∴∠1＝∠2，
而CD＝ED，
∴∠3＝∠4，
∵CF∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴与不能确定相等，所以③错误；
∵DA＝DC＝DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC＝90°，
∴CE⊥AE，
而CF∥AB，
∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，所以④正确．
故选：D．
3．解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD的左侧．∴P1E⊥CD
又∵∠AOD＝30°，r＝1cm
∴在△OEP1中OP1＝2cm
又∵OP＝6cm
∴P1P＝4cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）
∴⊙P与直线CD相切时，时间为4秒，
当点P在点O的右侧时，同法可得t＝8秒
故选：D．
4．
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．
∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
5．解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故选：C．
6．解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
7．解：∵PB，PD是⊙O的割线，
∴PA PB＝PC PD，
∵PA＝2，PC＝CD＝3，
∴2PB＝3×6
解得：PB＝9．
故选：D．
8．解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故选：B．
9．解：∵AC与⊙O相切，
∴∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠OAD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°，
故答案为：120．
10．解：连接OE、EF，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵AF是直径，
∴∠AEF＝90°，
∵OA＝OF＝AF，AF＝2BF，
∴OF＝BF，
∴OE＝OF＝EF，
∴∠OEF＝60°，
∴∠AEO＝90°﹣60°＝30°，
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠CAE＝∠AEO＝30°，
故答案为30°．
11．解：连接EF，
∵∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，即＝，
∵BC＝2，
∴AB＝CD＝，
∴DE＝1，
∴AE＝DE，
∵AF为直径，
∴EF⊥AD，
∴EF∥CD，
∴AF＝CF，
在Rt△ABC中，AB＝，BC＝2，
∴AC＝，
∴⊙O的半径OA＝AF＝AC＝．
故答案为：．
12．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，
∴∠A＝∠PCB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴35°+∠B＝90°，
解得∠B＝55°．
故答案为：55．
13．解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA＝PB＝5；
同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；
∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝10．
即△PCD的周长是10．
14．解：∵PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，PB＝2，PC＝4，
∴PA2＝PB×PC，
∴PA＝＝2．
故答案为：2．
15．解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝130°．
故答案为：130°．
16．解：连接DO，FO，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°
∴∠A＝30°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∴∠DOF＝150°，
∴∠DEF的度数为75°．
故答案为：75．
17．（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2＝CD CE，
∴CD＝＝，
∴OC＝＝，
∴⊙O的半径＝．
18．（1）证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切于点D，又AC与⊙O相切于点C，
∴AC＝AD，OC⊥CA．
∴CF是⊙O的直径，
∵OC＝OD，
∴OA⊥CD，
∵CF是直径，
∴∠CDF＝90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO．
（2）过点作EM⊥OC于M，
∵AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝4，
∵AB是切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∵CF是直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠BDF+∠ODF＝90°，∠CDO+∠ODF＝90°，
∴∠BDF＝∠CDO，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠BDF＝∠BCD，
∴△BDF∽△BCD，可得BD2＝BF BC，
∴BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝6．OC＝CF＝3，
∴OA＝＝3，
∵OC2＝OE OA，
∴OE＝，
∵EM∥AC，
∴＝＝＝，
∴OM＝，EM＝，FM＝OF+OM＝，
∴＝＝＝，
∴CG＝EM＝2．
19．（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD，＝，
∴∠BOE＝∠A，∠OBE+∠BOE＝90°，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠BOE＝∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC＝90°，
∴∠OBC＝90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，
∴OC＝＝10，
∵△OBC的面积＝OC BE＝OB BC，
∴BE＝＝＝4.8，
∴BD＝2BE＝9.6，
即弦BD的长为9.6．
20．证明：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
而∠CAE＝∠B，
∴∠CAE+∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）AE还与⊙O相切于点A．理由如下：
作直径AD，如图2，
∴∠D+∠DAC＝90°，
∵∠B＝∠D，
而∠CAE＝∠B，
∴∠CAE+∠DAC＝90°，即∠DAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A．
21．解：（1）证明：连接DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠EDO＝90°，
∴ED2+OD2＝OE2，
∴32+R2＝（R+1）2，
解得R＝4，
∴⊙O的半径为4．
22．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，
又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．
∴∠ADE＝∠AED．
∴AD＝AE．
（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，
∴△APB∽△CPA，得．
∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得．
∴．
∴AB AE＝AC DB．
23．解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°；
（2）由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，
∴BE+CG＝BC＝10cm．
（3）∵OF⊥BC，
∴S△OBC＝OF×BC＝OB×OC，即OF×10＝×6×8．
∴OF＝4.8cm．
24．（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CBE，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线，
∵⊙O是△BDE的外接圆，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，
根据切割线定理：AE2＝AD×AB，
∵，
∴（）2＝2×（2+BD），
解得：BD＝4．
∴BD的长是：4．
25．（1）证明：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，
∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，
∴四边形CFOE是矩形，
∵OF＝OE，
∴四边形OECF为正方形；
（2）解：由题意可得：EO∥AC，
∴△DEO∽△DCA，
∴＝，
设⊙O的半径为x，
则＝，
解得：x＝1.5，
故⊙O的半径为1.5；
（3）解：∵⊙O的半径为1.5，AC＝6，
∴CF＝1.5，AF＝4.5
∴AG＝4.5，
设BG＝BE＝y，
∴在Rt△ACB中
AC2+BC2＝AB2，
∴62+（y+1.5）2＝（4.5+y）2，
解得：y＝3，
∴AB＝AG+BG＝4.5+3＝7.5．
26．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：
如图1，连接OE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵ED⊥AC，
∴AC∥OE，
∴∠1＝∠C，
∵OB＝OE，
∴∠1＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
设OG＝x，则OA＝OB＝OE＝2x，AG＝x，
∴DG＝OE＝2x，
根据AC＝AB得：4x＝x+2x+2﹣，
x＝1，
∴OE＝OB＝2，
在直角△OEF中，∠EOF＝∠A＝30°，
OF＝2÷＝，
∴BF＝﹣2，⊙O的半径为2．
1．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（ ）
A． B． C．5 D．
2．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE．对于下列结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P与直线CD相切．
A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
4．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）
A．97° B．104° C．116° D．142°
6．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
7．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
9．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD＝30°，则∠BOD＝ °．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF＝2BF，则∠CAE的度数是 ．
11．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．若tan∠ACB＝，BC＝2，则⊙O的半径为 ．
12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 度．
13．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为 ．
14．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为 ．
15．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝ （填度数）．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 °．
17．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
18．如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC＝6，AB＝10，求CG的长．
19．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．
20．（1）如图（1），△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE＝∠B，试说明AE与⊙O相切于点A．
（2）在图（2）中，若AB为非直径的弦，∠CAE＝∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？请说明理由．
21．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
22．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．
求证：（1）AD＝AE；（2）AB AE＝AC DB．
23．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若，求BD的长．
25．如图，∠C＝90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC＝6，CD＝2．
（1）求证：四边形OECF为正方形；
（2）求⊙O的半径；
（3）求AB的长．
26．如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2﹣，求⊙O的半径和BF的长．
参考答案
1．解：方法1、过点O作OD⊥AC于点D，
∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵AB＝10，
∴OA＝5，
∴OD＝AO＝2.5，
∴AD＝＝，
∴AC＝2AD＝5，
故选A，
方法2、如图，
连接BC，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠ACP＝∠BAC＝∠BOC＝30°＝∠P，
∴AP＝AC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝10，
∴AC＝5，
故选：A．
2．解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
而AB＝CB，
∴AD＝DC，所以①正确；
∵AB＝CB，
∴∠1＝∠2，
而CD＝ED，
∴∠3＝∠4，
∵CF∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴与不能确定相等，所以③错误；
∵DA＝DC＝DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC＝90°，
∴CE⊥AE，
而CF∥AB，
∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，所以④正确．
故选：D．
3．解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD的左侧．∴P1E⊥CD
又∵∠AOD＝30°，r＝1cm
∴在△OEP1中OP1＝2cm
又∵OP＝6cm
∴P1P＝4cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）
∴⊙P与直线CD相切时，时间为4秒，
当点P在点O的右侧时，同法可得t＝8秒
故选：D．
4．
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．
∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
5．解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故选：C．
6．解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
7．解：∵PB，PD是⊙O的割线，
∴PA PB＝PC PD，
∵PA＝2，PC＝CD＝3，
∴2PB＝3×6
解得：PB＝9．
故选：D．
8．解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故选：B．
9．解：∵AC与⊙O相切，
∴∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠OAD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°，
故答案为：120．
10．解：连接OE、EF，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵AF是直径，
∴∠AEF＝90°，
∵OA＝OF＝AF，AF＝2BF，
∴OF＝BF，
∴OE＝OF＝EF，
∴∠OEF＝60°，
∴∠AEO＝90°﹣60°＝30°，
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠CAE＝∠AEO＝30°，
故答案为30°．
11．解：连接EF，
∵∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，即＝，
∵BC＝2，
∴AB＝CD＝，
∴DE＝1，
∴AE＝DE，
∵AF为直径，
∴EF⊥AD，
∴EF∥CD，
∴AF＝CF，
在Rt△ABC中，AB＝，BC＝2，
∴AC＝，
∴⊙O的半径OA＝AF＝AC＝．
故答案为：．
12．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，
∴∠A＝∠PCB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴35°+∠B＝90°，
解得∠B＝55°．
故答案为：55．
13．解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA＝PB＝5；
同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；
∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝10．
即△PCD的周长是10．
14．解：∵PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，PB＝2，PC＝4，
∴PA2＝PB×PC，
∴PA＝＝2．
故答案为：2．
15．解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝130°．
故答案为：130°．
16．解：连接DO，FO，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°
∴∠A＝30°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∴∠DOF＝150°，
∴∠DEF的度数为75°．
故答案为：75．
17．（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2＝CD CE，
∴CD＝＝，
∴OC＝＝，
∴⊙O的半径＝．
18．（1）证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切于点D，又AC与⊙O相切于点C，
∴AC＝AD，OC⊥CA．
∴CF是⊙O的直径，
∵OC＝OD，
∴OA⊥CD，
∵CF是直径，
∴∠CDF＝90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO．
（2）过点作EM⊥OC于M，
∵AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝4，
∵AB是切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∵CF是直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠BDF+∠ODF＝90°，∠CDO+∠ODF＝90°，
∴∠BDF＝∠CDO，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠BDF＝∠BCD，
∴△BDF∽△BCD，可得BD2＝BF BC，
∴BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝6．OC＝CF＝3，
∴OA＝＝3，
∵OC2＝OE OA，
∴OE＝，
∵EM∥AC，
∴＝＝＝，
∴OM＝，EM＝，FM＝OF+OM＝，
∴＝＝＝，
∴CG＝EM＝2．
19．（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD，＝，
∴∠BOE＝∠A，∠OBE+∠BOE＝90°，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠BOE＝∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC＝90°，
∴∠OBC＝90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，
∴OC＝＝10，
∵△OBC的面积＝OC BE＝OB BC，
∴BE＝＝＝4.8，
∴BD＝2BE＝9.6，
即弦BD的长为9.6．
20．证明：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
而∠CAE＝∠B，
∴∠CAE+∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）AE还与⊙O相切于点A．理由如下：
作直径AD，如图2，
∴∠D+∠DAC＝90°，
∵∠B＝∠D，
而∠CAE＝∠B，
∴∠CAE+∠DAC＝90°，即∠DAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A．
21．解：（1）证明：连接DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠EDO＝90°，
∴ED2+OD2＝OE2，
∴32+R2＝（R+1）2，
解得R＝4，
∴⊙O的半径为4．
22．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，
又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．
∴∠ADE＝∠AED．
∴AD＝AE．
（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，
∴△APB∽△CPA，得．
∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得．
∴．
∴AB AE＝AC DB．
23．解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°；
（2）由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，
∴BE+CG＝BC＝10cm．
（3）∵OF⊥BC，
∴S△OBC＝OF×BC＝OB×OC，即OF×10＝×6×8．
∴OF＝4.8cm．
24．（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CBE，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线，
∵⊙O是△BDE的外接圆，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，
根据切割线定理：AE2＝AD×AB，
∵，
∴（）2＝2×（2+BD），
解得：BD＝4．
∴BD的长是：4．
25．（1）证明：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，
∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，
∴四边形CFOE是矩形，
∵OF＝OE，
∴四边形OECF为正方形；
（2）解：由题意可得：EO∥AC，
∴△DEO∽△DCA，
∴＝，
设⊙O的半径为x，
则＝，
解得：x＝1.5，
故⊙O的半径为1.5；
（3）解：∵⊙O的半径为1.5，AC＝6，
∴CF＝1.5，AF＝4.5
∴AG＝4.5，
设BG＝BE＝y，
∴在Rt△ACB中
AC2+BC2＝AB2，
∴62+（y+1.5）2＝（4.5+y）2，
解得：y＝3，
∴AB＝AG+BG＝4.5+3＝7.5．
26．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：
如图1，连接OE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵ED⊥AC，
∴AC∥OE，
∴∠1＝∠C，
∵OB＝OE，
∴∠1＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
设OG＝x，则OA＝OB＝OE＝2x，AG＝x，
∴DG＝OE＝2x，
根据AC＝AB得：4x＝x+2x+2﹣，
x＝1，
∴OE＝OB＝2，
在直角△OEF中，∠EOF＝∠A＝30°，
OF＝2÷＝，
∴BF＝﹣2，⊙O的半径为2．