2021-2022学年冀教版九年级数学下册29.3切线的性质与判定同步测试题（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年冀教版九年级数学下册29.3切线的性质与判定同步测试题（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 494.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-15 12:05:17 | ||
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文档简介
2021-2022学年冀教版九年级数学下册《29.3切线的性质与判定》同步测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝78°，则∠ACB的度数为（ ）
A．102° B．51° C．41° D．39°
2．如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在上，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P＝50°，则∠DOE的度数为（ ）
A．130° B．50° C．60° D．65°
3．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心，1cm为半径作圆，当O从点P出发以2cm/s速度向右做匀速运动，经过ts与直线a相切，则t为（ ）
A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s
4．△ABC中，AB＝13，BC＝5，点O是AC上的一点，⊙O与BC相切于点C，与AB相切于点D，则⊙O的半径为（ ）
A． B．3 C． D．5
5．如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是（ ）
A．15° B．16° C．29° D．58°
6．如图，AB是⊙O的直径，射线EB与⊙O相切于点B，OE交⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为点H，连接AD，∠E＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段BC的长是（ ）
A．2 B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE＝AB．已知⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF＝：2，当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是（ ）
A．9 B．4 C．12或4 D．12或9
9．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，I是△ABC的内心，延长AI交△ABC的外接圆于点D，则∠ICD的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
10．如图是△ABC的内心，过I的直线EF∥BC与AB、AC分别交于点E、F．若∠A＝70°，那么∠BIC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．135°
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，OA＝2cm，则OP＝ ．
12．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝23°，则∠OCB＝ °．
13．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心、3cm为半径作⊙M．当OM＝ cm时，⊙M与OA相切．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为 ．
15．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AF＝ ．
16．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，△ABC的内切圆半径是 cm．
17．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是 ．
18．如图，在△ABC中，MN∥BC交AB，AC于点M，N，MN与△ABC的内切圆相切．若△ABC的周长为12，则MN的最大值为 ．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．如图，在Rt△ABC中，∠A+∠CDB＝90°，圆心O在AB上，求证：直线BD与⊙O相切．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD＝6，∠D＝60°，∠ACB＝45°，连接OB交AC于点E．在CB的延长线上取一点P，使AP∥BE．
（1）求AC的长；
（2）求证：直线PA与⊙O相切．
21．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于点D、F两点，连接AD，点E为AC延长线上一点，连接BE，若∠E＝∠DAC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若CE＝CF，BD＝1，求⊙O半径．
22．如图，点P为⊙O外一点，PA、PB与⊙O相切于点A、B，BE为⊙O的直径，连PE交⊙O于点F．
（1）若AF∥BE，求证：∠APB＝2∠E．
（2）BE与PA的延长线相交于点C，若∠C＝∠BPE，OC＝12，求⊙O的半径．
23．如图，已知直线MN交⊙O于A、B两点，AC为⊙O的直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线交直线MN于点E，∠EAD＝∠DAC．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若AE＝1，⊙O的半径为3，求弦AD的长．
24．如图，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，连接AB，CD，点G在BC的延长线上，使∠DAG＝2∠D．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）若，CE＝4，请求出CG的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣78°＝102°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×102°＝51°．
故选：B．
2．解：如图，连接OA、OB、OC，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵DE切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∴∠DCO＝∠ECO＝90°，
∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点是A、B、C，
∴∠AEO＝∠CEO，∠CDO＝∠BDO，
∵∠AOE＝180°﹣∠OAE﹣∠AEO，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠CEO，
∴∠AOE＝∠COE，
同理可证：∠COD＝∠BOD，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOB＝×130°＝65°．
故选：D．
3．解：∵直线a⊥b，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：
OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
∴t＝s；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：
OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴t＝s
∴⊙O与直线a相切，t为s或s，
故选：D．
4．解：依题意画出图形，连接OD，如图：
∵⊙O与BC相切于点C，与AB相切于点D，
∴∠ACB＝90°，∠ADO＝90°，
∴∠ACB＝∠ADO，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴＝，
在△ABC中，AB＝13，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝12，
设⊙O的半径为r，则有：＝，
解得：r＝．
故选：C．
5．解：∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝58°，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOB＝29°，
故选：C．
6．解：连接OD，
∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥EB，
∵CD⊥AB，
∴CD∥EB，
∴∠OCD＝∠E＝40°，
∴∠COH＝90°﹣40°＝50°，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠DOH＝∠COH＝50°，
由圆周角定理得，∠A＝∠DOH＝25°，
故选：B．
7．解：连接OD，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠OBD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD＝2，
∴BC＝BD cos∠CBD＝2×＝．
故选：B．
8．解：当边BC所在的直线与⊙O相切时，如图1所示：
连接OE，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
则EN＝NF，GN＝AD＝8，
又∵EG：EF＝：2，
∴EG：EN＝：1，
设EN＝x，则GE＝x，
在Rt△GEN中，根据勾股定理得：（x）2﹣x2＝64，
解得：x＝4，
∴GE＝4，
设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2+ON2，
得：r2＝16+（8﹣r）2，
解得：r＝5，
∴OK＝NB＝5，
∴EB＝9，
又∵AE＝AB，
∴AB＝12；
同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH，如图2所示：
∴OH＝AN＝5，
∴AE＝1．
又∵AE＝AB，
∴AB＝4；
故选：C．
9．解：∵△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵I是△ABC的内心，
∴∠BCD＝∠BAD＝∠BAC＝35°，∠BCI＝∠ACB＝30°，
∴∠BCD+∠BCI＝35°+30°＝65°，
即∠ICD＝65°，
故选：D．
10．解：∵I为△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∴∠IBC+∠ICB＝×110°＝55°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：∵PA、PB是⊙O的切线，
根据切线长定理可知：
∠APO＝∠APB＝30°，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴OP＝2OA＝4cm．
故答案为：4cm．
12．解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO＝90°，
∵OA＝OB，∠OAB＝23°，
∴∠OAB＝∠OBA＝23°，
∴∠APO＝∠CBP＝67°，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠CPB＝∠APO＝67°，
∴∠OCB＝180°﹣67°﹣67°＝46°，
故答案为：46．
13．解：设⊙M与OA相切于N，
连接MN，
∵MN⊥AO，∠AOB＝30°，3cm为半径，
∴OM＝2MN＝2×3＝6cm．
故当OM＝6cm时，⊙M与OA相切，
故答案为：6．
14．解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝2.5，
∴CP＝2.5；
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝2，PM＝4，
在Rt△PBM中，PB＝＝2，
∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2．
综上所述，CP的长为2.5或4﹣2．
故答案是：2.5或4﹣2．
15．解：如图，连接OD，OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形ODCE是正方形，
设OD＝OE＝DC＝CE＝r，
则根据切线长定理，得
AD＝AF＝AC﹣r＝3﹣r，
BE＝BF＝BC﹣r＝4﹣r，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1，
∴AF＝3﹣r＝2．
故答案为：2．
16．解：如图，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
则AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF．
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC＝∠OEC＝90°．
∵∠C＝90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形CEOF是正方形．
设⊙O的半径为rcm，则FC＝EC＝OE＝rcm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝＝5（cm）．
∵AD＝AF＝AC﹣FC＝4﹣r，BD＝BE＝BC﹣EC＝3﹣r，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
解得r＝1，
即⊙O的半径为1cm．
故答案为：1．
17．解：连接OE、OF，如图，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴∠B+∠EOF＝180°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠EPF＝∠EOF＝60°．
故答案为60°．
18．解：如图，设切点分别为E点，H点，F点，G点，
∵BC，AB，AC，MN都与△ABC内切圆相切，
∴BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，
∴BE+CF＝BG+GC＝BC＝x，ME+NF＝MH+NH＝MN＝y，
∵△ABC周长为12，
∴AB+AC+BC＝12，
∴AE+AF＝12﹣2x，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+MH+AN+NF＝AE+AF＝12﹣2x，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）＝﹣（x﹣3）2+，
即BC＝3时，MN的最大值为．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
又∵∠A+∠CDB＝90°，
∴∠ADO+∠CDB＝90°，
∴∠ODB＝180°﹣（∠ADO+∠CDB）＝90°，
∴BD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴BD是⊙O切线．
20．解：（1）∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°．
∵AD＝6，∠D＝60°，
∴AC＝AD sin60°＝6×＝3；
（2）∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°．
∵BE∥AP．
∴∠PAO+∠AOB＝180°，
∴∠PAO＝90°，
∴PA⊥OA．
∴直线PA与⊙O相切．
21．证明：（1）∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∠ACB＝∠CBE+∠E，∠E＝∠DAC，
∴∠CBE＝∠BAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠CBE＝∠ABD+∠DAB＝90°，
∴AB⊥BE，
∴BE为⊙O的切线；
（2）连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴AF＝CF，
∵CE＝CF，
∴，
∵∠E＝∠CAD，∠ABE＝∠ADC＝90°，
∴△ADC∽△EBA，
∴，
∵BD＝1，AB＝BC，
∴，
∴AB＝3，
∴⊙O的半径为．
22．（1）连接OA、BA，如下图所示：
∵PA、PB与⊙O相切于点A、B，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴∠APB+∠BOA＝180°，
∴∠APB＝∠EOA，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠APB＝2∠OBA，
∵AF∥BE，
∴∠E＝∠EFA（两直线平行，内错角相等），
∵∠EFA＝∠OBA（圆周角定理），
∴∠APB＝2∠E；
（2）连接OA，如下图所示，
∵在直角三角形OAC中，tan∠C＝，
∵在直角三角形BPE中，tan∠BPE＝，
∵∠C＝∠BPE，
∴＝，
∵EB＝2OA，
∴PB＝2AC，
∵PA、PB与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB＝2AC，
在直角三角形PBC中，sin∠C＝＝＝，
在直角三角形OAC中，sin∠C＝，
∴＝，
∵OC＝12，
∴OA＝×12＝8，
∴⊙O的半径为8．
23．解：（1）如图，连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴OD∥MN，
∴DE⊥MN；
（2）连接DC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠DEA＝90°，∠1＝∠2，
∴△DAE∽△CAD，
∴＝，
∵AE＝1，⊙O的半径为3，
∴AC＝6，
∴＝
∴AD2＝6
∴AD＝．
24．（1）证明：连接OA，
∵AD⊥BC，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE+∠OAE＝90°，
∵∠AOC＝2∠D，∠DAG＝2∠D，
∴∠AOC＝∠DAG，
∴∠DAG+∠OAE＝90°，
∴∠OAG＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：连接AC，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAE＝∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠EAC＝∠ABE，
又∵∠AEC＝∠AEB，
∴△AEC∽△BEA，
∴，
设AE＝2x，BE＝3x，
∴（2x）2＝3x 4，
∴x＝3，
∴AE＝6，BE＝9，
∴BC＝13，
∴OA＝，OE＝﹣4＝，
∵∠DAG＝∠AOE，∠AEO＝∠AEG＝90°，
∴△AOE∽△GAE，
∴，
∴，
∴EG＝，
∴CG＝EG﹣EC＝．
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝78°，则∠ACB的度数为（ ）
A．102° B．51° C．41° D．39°
2．如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在上，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P＝50°，则∠DOE的度数为（ ）
A．130° B．50° C．60° D．65°
3．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心，1cm为半径作圆，当O从点P出发以2cm/s速度向右做匀速运动，经过ts与直线a相切，则t为（ ）
A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s
4．△ABC中，AB＝13，BC＝5，点O是AC上的一点，⊙O与BC相切于点C，与AB相切于点D，则⊙O的半径为（ ）
A． B．3 C． D．5
5．如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是（ ）
A．15° B．16° C．29° D．58°
6．如图，AB是⊙O的直径，射线EB与⊙O相切于点B，OE交⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为点H，连接AD，∠E＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段BC的长是（ ）
A．2 B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE＝AB．已知⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF＝：2，当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是（ ）
A．9 B．4 C．12或4 D．12或9
9．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，I是△ABC的内心，延长AI交△ABC的外接圆于点D，则∠ICD的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
10．如图是△ABC的内心，过I的直线EF∥BC与AB、AC分别交于点E、F．若∠A＝70°，那么∠BIC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．135°
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，OA＝2cm，则OP＝ ．
12．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝23°，则∠OCB＝ °．
13．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心、3cm为半径作⊙M．当OM＝ cm时，⊙M与OA相切．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为 ．
15．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AF＝ ．
16．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，△ABC的内切圆半径是 cm．
17．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是 ．
18．如图，在△ABC中，MN∥BC交AB，AC于点M，N，MN与△ABC的内切圆相切．若△ABC的周长为12，则MN的最大值为 ．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．如图，在Rt△ABC中，∠A+∠CDB＝90°，圆心O在AB上，求证：直线BD与⊙O相切．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD＝6，∠D＝60°，∠ACB＝45°，连接OB交AC于点E．在CB的延长线上取一点P，使AP∥BE．
（1）求AC的长；
（2）求证：直线PA与⊙O相切．
21．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于点D、F两点，连接AD，点E为AC延长线上一点，连接BE，若∠E＝∠DAC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若CE＝CF，BD＝1，求⊙O半径．
22．如图，点P为⊙O外一点，PA、PB与⊙O相切于点A、B，BE为⊙O的直径，连PE交⊙O于点F．
（1）若AF∥BE，求证：∠APB＝2∠E．
（2）BE与PA的延长线相交于点C，若∠C＝∠BPE，OC＝12，求⊙O的半径．
23．如图，已知直线MN交⊙O于A、B两点，AC为⊙O的直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线交直线MN于点E，∠EAD＝∠DAC．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若AE＝1，⊙O的半径为3，求弦AD的长．
24．如图，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，连接AB，CD，点G在BC的延长线上，使∠DAG＝2∠D．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）若，CE＝4，请求出CG的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣78°＝102°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×102°＝51°．
故选：B．
2．解：如图，连接OA、OB、OC，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵DE切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∴∠DCO＝∠ECO＝90°，
∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点是A、B、C，
∴∠AEO＝∠CEO，∠CDO＝∠BDO，
∵∠AOE＝180°﹣∠OAE﹣∠AEO，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠CEO，
∴∠AOE＝∠COE，
同理可证：∠COD＝∠BOD，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOB＝×130°＝65°．
故选：D．
3．解：∵直线a⊥b，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：
OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
∴t＝s；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：
OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴t＝s
∴⊙O与直线a相切，t为s或s，
故选：D．
4．解：依题意画出图形，连接OD，如图：
∵⊙O与BC相切于点C，与AB相切于点D，
∴∠ACB＝90°，∠ADO＝90°，
∴∠ACB＝∠ADO，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴＝，
在△ABC中，AB＝13，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝12，
设⊙O的半径为r，则有：＝，
解得：r＝．
故选：C．
5．解：∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝58°，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOB＝29°，
故选：C．
6．解：连接OD，
∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥EB，
∵CD⊥AB，
∴CD∥EB，
∴∠OCD＝∠E＝40°，
∴∠COH＝90°﹣40°＝50°，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠DOH＝∠COH＝50°，
由圆周角定理得，∠A＝∠DOH＝25°，
故选：B．
7．解：连接OD，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠OBD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD＝2，
∴BC＝BD cos∠CBD＝2×＝．
故选：B．
8．解：当边BC所在的直线与⊙O相切时，如图1所示：
连接OE，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
则EN＝NF，GN＝AD＝8，
又∵EG：EF＝：2，
∴EG：EN＝：1，
设EN＝x，则GE＝x，
在Rt△GEN中，根据勾股定理得：（x）2﹣x2＝64，
解得：x＝4，
∴GE＝4，
设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2+ON2，
得：r2＝16+（8﹣r）2，
解得：r＝5，
∴OK＝NB＝5，
∴EB＝9，
又∵AE＝AB，
∴AB＝12；
同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH，如图2所示：
∴OH＝AN＝5，
∴AE＝1．
又∵AE＝AB，
∴AB＝4；
故选：C．
9．解：∵△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵I是△ABC的内心，
∴∠BCD＝∠BAD＝∠BAC＝35°，∠BCI＝∠ACB＝30°，
∴∠BCD+∠BCI＝35°+30°＝65°，
即∠ICD＝65°，
故选：D．
10．解：∵I为△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∴∠IBC+∠ICB＝×110°＝55°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：∵PA、PB是⊙O的切线，
根据切线长定理可知：
∠APO＝∠APB＝30°，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴OP＝2OA＝4cm．
故答案为：4cm．
12．解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO＝90°，
∵OA＝OB，∠OAB＝23°，
∴∠OAB＝∠OBA＝23°，
∴∠APO＝∠CBP＝67°，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠CPB＝∠APO＝67°，
∴∠OCB＝180°﹣67°﹣67°＝46°，
故答案为：46．
13．解：设⊙M与OA相切于N，
连接MN，
∵MN⊥AO，∠AOB＝30°，3cm为半径，
∴OM＝2MN＝2×3＝6cm．
故当OM＝6cm时，⊙M与OA相切，
故答案为：6．
14．解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝2.5，
∴CP＝2.5；
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝2，PM＝4，
在Rt△PBM中，PB＝＝2，
∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2．
综上所述，CP的长为2.5或4﹣2．
故答案是：2.5或4﹣2．
15．解：如图，连接OD，OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形ODCE是正方形，
设OD＝OE＝DC＝CE＝r，
则根据切线长定理，得
AD＝AF＝AC﹣r＝3﹣r，
BE＝BF＝BC﹣r＝4﹣r，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1，
∴AF＝3﹣r＝2．
故答案为：2．
16．解：如图，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
则AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF．
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC＝∠OEC＝90°．
∵∠C＝90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形CEOF是正方形．
设⊙O的半径为rcm，则FC＝EC＝OE＝rcm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝＝5（cm）．
∵AD＝AF＝AC﹣FC＝4﹣r，BD＝BE＝BC﹣EC＝3﹣r，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
解得r＝1，
即⊙O的半径为1cm．
故答案为：1．
17．解：连接OE、OF，如图，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴∠B+∠EOF＝180°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠EPF＝∠EOF＝60°．
故答案为60°．
18．解：如图，设切点分别为E点，H点，F点，G点，
∵BC，AB，AC，MN都与△ABC内切圆相切，
∴BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，
∴BE+CF＝BG+GC＝BC＝x，ME+NF＝MH+NH＝MN＝y，
∵△ABC周长为12，
∴AB+AC+BC＝12，
∴AE+AF＝12﹣2x，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+MH+AN+NF＝AE+AF＝12﹣2x，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）＝﹣（x﹣3）2+，
即BC＝3时，MN的最大值为．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
又∵∠A+∠CDB＝90°，
∴∠ADO+∠CDB＝90°，
∴∠ODB＝180°﹣（∠ADO+∠CDB）＝90°，
∴BD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴BD是⊙O切线．
20．解：（1）∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°．
∵AD＝6，∠D＝60°，
∴AC＝AD sin60°＝6×＝3；
（2）∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°．
∵BE∥AP．
∴∠PAO+∠AOB＝180°，
∴∠PAO＝90°，
∴PA⊥OA．
∴直线PA与⊙O相切．
21．证明：（1）∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∠ACB＝∠CBE+∠E，∠E＝∠DAC，
∴∠CBE＝∠BAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠CBE＝∠ABD+∠DAB＝90°，
∴AB⊥BE，
∴BE为⊙O的切线；
（2）连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴AF＝CF，
∵CE＝CF，
∴，
∵∠E＝∠CAD，∠ABE＝∠ADC＝90°，
∴△ADC∽△EBA，
∴，
∵BD＝1，AB＝BC，
∴，
∴AB＝3，
∴⊙O的半径为．
22．（1）连接OA、BA，如下图所示：
∵PA、PB与⊙O相切于点A、B，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴∠APB+∠BOA＝180°，
∴∠APB＝∠EOA，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠APB＝2∠OBA，
∵AF∥BE，
∴∠E＝∠EFA（两直线平行，内错角相等），
∵∠EFA＝∠OBA（圆周角定理），
∴∠APB＝2∠E；
（2）连接OA，如下图所示，
∵在直角三角形OAC中，tan∠C＝，
∵在直角三角形BPE中，tan∠BPE＝，
∵∠C＝∠BPE，
∴＝，
∵EB＝2OA，
∴PB＝2AC，
∵PA、PB与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB＝2AC，
在直角三角形PBC中，sin∠C＝＝＝，
在直角三角形OAC中，sin∠C＝，
∴＝，
∵OC＝12，
∴OA＝×12＝8，
∴⊙O的半径为8．
23．解：（1）如图，连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴OD∥MN，
∴DE⊥MN；
（2）连接DC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠DEA＝90°，∠1＝∠2，
∴△DAE∽△CAD，
∴＝，
∵AE＝1，⊙O的半径为3，
∴AC＝6，
∴＝
∴AD2＝6
∴AD＝．
24．（1）证明：连接OA，
∵AD⊥BC，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE+∠OAE＝90°，
∵∠AOC＝2∠D，∠DAG＝2∠D，
∴∠AOC＝∠DAG，
∴∠DAG+∠OAE＝90°，
∴∠OAG＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：连接AC，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠BAE＝∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠EAC＝∠ABE，
又∵∠AEC＝∠AEB，
∴△AEC∽△BEA，
∴，
设AE＝2x，BE＝3x，
∴（2x）2＝3x 4，
∴x＝3，
∴AE＝6，BE＝9，
∴BC＝13，
∴OA＝，OE＝﹣4＝，
∵∠DAG＝∠AOE，∠AEO＝∠AEG＝90°，
∴△AOE∽△GAE，
∴，
∴，
∴EG＝，
∴CG＝EG﹣EC＝．