人教A版 选择性必修二 4.3　4.3.1　第1课时　等比数列的概念及通项公式 同步学案

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4．3　等比数列
4．3.1　等比数列的概念
第1课时　等比数列的概念及通项公式
学习指导 核心素养
1.理解等比数列的定义，并能运用通项公式解决相关问题．2．理解等比中项的概念．3．掌握等比数列的判定与证明方法． 1.数学抽象：等比数列的概念．2．数学运算、逻辑推理：通项公式的应用，等比数列的判定．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab．
3．等比数列的通项公式
首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1．
变式思考
1．类比等差数列，将等比数列的定义用符号表示．
提示：＝q.
2．若G2＝ab，则a，G，b成等比数列，对吗？
提示：不对．等比数列的各项均不为零，G2＝ab是a，G，b成等比数列的必要不充分条件．
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，－1，1，－1，…是等比数列．(　　)
(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　)
(3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　)
(4)常数列一定为等比数列．(　　)
(5)任何两个数都有等比中项．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2．(多选)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3　　　　　　　　 B．b＝－3
C．ac＝9 D．ac＝－9
解析：选BC.因为b是－1，－9的等比中项，
所以b2＝9，b＝±3.
由等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，
而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
3．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝(　　)
A．6 B．－6
C．±6 D．±12
解析：选C.依题意知2a＝1＋2，b2＝(－1)×(－16)，
解得a＝，b＝±4，所以ab＝±6.
4．已知项数相同的等比数列{an}和{bn}，公比分别为q1，q2(q1，q2≠1)，则数列①{3an}，②，③{3an}，④{2an－3bn}，⑤{2an·3bn}中．其中是等比数列的是________．(填序号)
解析：在①中，＝q1，是等比数列；
在②中，＝，是等比数列；
在③中，令an＝2n－1，则数列{3an}为3，32，34，…，而≠，故不是等比数列；
在④中，数列的项可能为零，故不一定是等比数列；在⑤中，＝q1q2，是等比数列．
答案：①②⑤
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　等比数列的通项公式及应用
怎样推导等比数列的通项公式？
探究感悟：可用归纳法或累乘法．
归纳法：a2＝a1q，a3＝a1q2，…，an＝a1qn－1.
累乘法：当n≥2时，＝q，＝q，＝q，…，＝q，
以上式子相乘可得an＝a1qn－1且n＝1时也适合此式．
例 在等比数列{an}中，
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
【解】　(1)因为a4＝a1q3，
即8＝q3，解得q＝2.
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝＝＝5，故a1＝5.
(3)因为
由得q＝，所以a1＝32.
又an＝1，所以32×＝1，
即26－n＝20，解得n＝6.
拓展探究
若将本例(1)中的“a1＝1，a4＝8”改为“a1＝－2，a3＝－8”，如何求解？
解：因为a1＝－2，a3＝a1q2，
所以－8＝－2q2，
所以q2＝4，即q＝±2.
当q＝2时，an＝－2×2n－1＝－2n.
当q＝－2时，an＝－2×(－2)n－1＝(－2)n.
即an＝－2n或an＝(－2)n.
归纳总结
关于等比数列基本量的运算
(1)基本量：a1，q，n，an；
(2)联系：基本量之间的联系就是通项公式an＝a1qn－1，将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算．　
即时检测
1．(2021·天津高二检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3－a5＋a7＝78，则a5＝(　　)
A．12　　　　　　　　　 B．18
C．24 D．36
解析：选C.根据题意，在等比数列{an}中，设其公比为q，已知a3＝6，a3－a5＋a7＝78，
则6－6q2＋6q4＝78，
解得q2＝4或q2＝－3(舍去)，
故a5＝6q2＝24.
2．等比数列{an}满足：公比q＝－2，ap＝48，a2p－3＝192，则该数列的通项公式为an＝________．
解析：依题意，有
①2÷②，并化简，得a1＝3.
故an＝3×(－2)n－1.
答案：3×(－2)n－1
探究点2　等比中项及其应用
任意两个实数a，b是否都有等比中项？等比中项是否唯一？
探究感悟：只有当ab>0时，a，b才存在等比中项；等比中项不唯一，此时a，b的等比中项为±.
例 (1)(2021·浙江宁波高一检测)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)
A．±4 B．4
C．± D．
(2)－1，a，b，c，－25是等比数列，则b＝________，abc＝________．
【解析】　(1)由题意可得a4＝a1q3＝1，a8＝a1q7＝16.
所以a4与a8的等比中项为±＝±4.
(2)设该等比数列的公比为q.
因为b是a，c的等比中项，也是－1，－25的等比中项，
所以b2＝－1×(－25)＝25，
所以b＝±5，
又因为b＝－1×q2<0，
所以b＝－5，
所以abc＝b3＝－125.
【答案】　(1)A　(2)－5　－125
归纳总结
应用等比中项解题的两个关注点
(1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示．
(2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要关注项的关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同．　
即时检测
1．数列在各项为正数的等比数列{an}中，若a3＝1，a9＝9，则a2·a4·a6·a8·a10＝(　　)
A．27 B．81
C．243 D．729
解析：选C.由题意可知，对任意的n∈N*，an>0，由等比中项的性质可得a＝a3a9＝9，则a6＝3.因此，a2·a4·a6·a8·a10＝a＝35＝243.
2．在公差不为零的等差数列{an}中，a3是a1与a9的等比中项，则＝____________．
解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由a3是a1与a9的等比中项，得a＝a1a9，
即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，化简得a1＝d，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝9a1＋36d＝45d，a9＝9d，
所以＝＝5.
答案：5
探究点3　等比数列的判定
角度一　判定等比数列
例 (2021·浙江省余姚中学高一检测)设{an}为等比数列，给出下列四个数列：
①{2an}，②{a}，③{2an}，④{log2|an|}．
其中一定为等比数列的是(　　)
A．①③ B．②④
C．②③ D．①②
【解析】　设an＝a1qn－1，
①2an＝2a1qn－1，
所以数列{2an}是等比数列；
②a＝aq2n－2＝a(q2)n－1，
所以数列{a}是等比数列；
③当n≥2时，＝＝2a1qn－1－a1qn－2不是同一个常数，所以数列{2an}不是等比数列；
④当n≥2时，＝不是同一个常数，
所以数列{log2|an|}不是等比数列．故选D.
【答案】　D
角度二　证明等比数列
例 设数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，其中a1＝1.
求证：是等比数列．
【证明】　因为an＋1＝(n∈N*)，
所以＝
＝＝
＝2×，
所以是首项为＝＝2，公比为2的等比数列．
归纳总结
判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
说明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．　
即时检测
1．(多选)(2021·连云港高二检测)已知在等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－2，则(　　)
A．数列{2an＋an＋1}是等比数列
B．数列{an＋1－an}是等比数列
C.数列{anan＋1}是等比数列
D．数列{log2|an|}是递减数列
解析：选BC.因为在等比数列{an}中，满足a1＝1，
公比q＝－2，
所以an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1.
由此可得2an＋an＋1＝2·(－2)n－1＋(－2)n＝0，A错误；
an＋1－an＝(－2)n－(－2)n－1＝－3·(－2)n－1，故数列{an＋1－an}是等比数列，B正确；
anan＋1＝(－2)n－1(－2)n＝(－2)2n－1
＝(－2)·(－2)2(n－1)，
故数列{anan＋1}是等比数列，C正确；
log2|an|＝log22n－1＝n－1，
故数列{log2|an|}是递增数列，D错误．
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)求证：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0.
所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)解：由(1)可知an－n＝4n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
解析：选C.设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然a1q≠0.由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，
解得q＝－1或q＝2.
2．(多选)若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值可以为(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
解析：选AB.由1，a，3成等差数列，
得2a＝4，即a＝2.
由1，b，4成等比数列，得b2＝4，
即b＝±2，则＝±1.
3．在等比数列{an}中，a2＝2，a3a5＝64.则＝(　　)
A．4 B．8
C．16 D．64
解析：选C.因为在等比数列{an}中，a2＝2，a3a5＝64.
所以
解得或
所以＝＝q4＝16.
4．已知{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，则数列{an}的通项公式为________．
解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，
由已知a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，
知a4，a5＋a7，a6成等差数列，
则a4＋a6＝2(a5＋a7)，
即a4＋a6＝2q(a4＋a6).
注意到a4＋a6≠0，
所以q＝，故an＝a1qn－1＝a7qn－7＝qn－7＝.
答案：an＝
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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