2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《5.3三角形的中位线》优生辅导训练（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《5.3三角形的中位线》优生辅导训练（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 306.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-15 15:40:12 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《5.3三角形的中位线》优生辅导训练（附答案）
1．如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定
2．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后分别步测出AC，BC的中点D，E，并测出DE的长为20m，则AB的长为（ ）
A．10m B．20m C．30m D．40m
4．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（ ）
A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关
C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关．
5．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
6．如图，△ABO中，AO＝AB，点B（10，0），点A在第一象限，C，D分别为OB、OA的中点，且CD＝6.5，则A点坐标为 ．
7．如图，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．当BC＝4，DE＝5，∠FMN＝45°时，则BE的长为 ．
8．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是 ．
9．已知等边三角形ABC的边长为a分别以这个三角形的三边中点为顶点作一个三角形，记为△A1B1C1，再以△A1B1C1各边中点为顶点做三角形记为△A2B2C2，…依次做下去，则△A5B5C5的周长为 ．
10．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则线段DE的长为 ．
11．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为 ．
12．如图，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D，CE平分∠ACB的外角，AE⊥CE于E，AC＝6，BC＝9，AB＝7，则DE的长是 ．
13．“数缺形时少直观，形少数时难入微”．小明学习上爱动脑，在计算的值时构造了这样一个图形：如图，正△ABC面积为，分别取AC、BC两边的中点D、E，再分别取CD、CE的中点，依次取下去…，能直观地求出它的值．也请你根据这个图形计算：＝ ．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，DE＝2，求FC的长度．
15．如图已知，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB＝10，BC＝15，MN＝3，求△ABC的周长．
16．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？
17．在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．
已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．
求证：
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，
……
（1）补全求证；
（2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程；
（3）若CE＝3，DF＝8，求边AB的取值范围．
18．如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：CD＝EF；
（2）猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．
19．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P为对角线BD的中点，M为AB的中点，N为DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
20．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF＝∠CQF．
参考答案
1．解：连接AR．
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF＝AR，
∵AR的长为定值，
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
2．解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝16，
∴DE＝BC＝8．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，
∴DF＝AB＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3．
故选：B．
3．解：∵点D，E是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝40m，
故选：D．
4．解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，
∴四边形EGFH的周长＝FG+GE+EH+FH＝，
故选：B．
5．解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
6．解：如图，连接AC，
∵AO＝AB，点C是OB的中点，
∴AC⊥BC，OC＝OB＝×10＝5，
∵点D是AO的中点，
∴AO＝2CD＝2×6.5＝13，
由勾股定理得，AC＝＝＝12，
所以，点A（5，12）．
故答案为：（5，12）．
7．解：∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，
∴MF，MN都是△ABE的中位线，
∴MF∥AE，MN∥BE，
∴四边形EFMN是平行四边形，
∴∠AEB＝∠NMF＝45°，
又∵AB⊥AE，
∴∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，
∵BC⊥CD，DE⊥CD，
又∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EAD+∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠EAD，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ABC≌△EAD（AAS），
∴BC＝AD＝4，CA＝DE＝5，
∴Rt△ABC中，AB＝＝，
∴等腰Rt△ABE中，BE＝＝，
故答案为：．
8．解：∵第一次操作后，三角形共有4个；
第二次操作后，三角形共有4+3＝7个；
第三次操作后，三角形共有4+3+3＝10个；
…
∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）＝3n+1个；
当3n+1＝100时，解得：n＝33，
故答案为：33．
9．解：等边△ABC的边长为a，
∴等边△ABC的周长为3a．
∵A2、B2分别是边A1B1、B1C1的中点，
∴A2B2是△A1B1C1的中位线，
∴A2B2＝A1B1．
同理，A2C2＝A1C1，C2B2＝C1B1．
∴△A2B2C2的周长＝等边△A1B1C1的周长＝．
同理，△A3B3C3的周长＝△A2B2C2的周长＝等边△A1B1C1的周长．
…，
∴△AnBn n的周长＝△A1B1C1的周长＝．
∴△A5B5C5的周长＝＝＝．
故答案为：．
10．解：由勾股定理可知：BC＝＝．
∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE＝BC＝．
故答案为：．
11．解：∵△ABC的周长是26，BC＝10，
∴AB+AC＝26﹣10＝16，
∵∠ABC的平分线垂直于AE，
∴在△ABQ和△EBQ中，
，
∴△ABQ≌△EBQ，
∴AQ＝EQ，AB＝BE，
同理，AP＝DP，AC＝CD，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝AB+AC﹣BC＝16﹣10＝6，
∵AQ＝DP，AP＝DP，
∴PQ是△ADE的中位线，
∴PQ＝DE＝3．
故答案是：3．
12．解：如图，延长AD、AE分别角BC与BC的延长线于M、N，
∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于D，
∴AD＝MD，AB＝MB＝7，
∵CE平分∠ACB的外角，AE⊥CE于E，
∴AE＝EN，AC＝CN＝6，
∴DE是△AMN的中位线，
∵BC＝9，
∴MN＝CN+BC﹣BM＝6+9﹣7＝8，
∴DE＝MN＝×8＝4．
故答案为：4．
13．解：设第n个小三角形的面积为sn，则sn＝
根据中位线定理，得出小三角形的面积是对应梯形面积的
即sn＝ ＝
那么，s1+s2+s3+…+sn＝（1﹣4﹣1+4﹣1﹣4﹣2+…+4﹣n﹣2﹣4﹣n﹣1+4﹣n﹣1﹣4﹣n）＝
同时，s1+s2+s3+…+sn＝
以上两式联立解得：＝
14．解：∵AF⊥BC，点D是边AB的中点，DF＝3，
∴AB＝2DF＝6．
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴AF＝AB＝3，
由勾股定理得，BF＝＝＝3，
∴FC＝BC﹣BF＝．
15．解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝10，BN＝ND，
∵BM＝MC，
∴DC＝2MN＝6，
∴AC＝AD+DC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10+15+16＝41，
即△ABC的周长是41．
16．解：相等．理由如下：
取AD的中点G，连接MG，NG，
∵G、N分别为AD、CD的中点，
∴GN是△ACD的中位线，
∴GN＝AC，
同理可得，GM＝BD，
∵AC＝BD，
∴GN＝GM＝AC＝BD．
∴∠GMN＝∠GNM，
又∵MG∥OE，NG∥OF，
∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，
∴OE＝OF．
17．解：（1）DE∥BC，且；
（2）∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
又∵EF＝ED，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AD∥CF，
∴AB∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DE∥BC，DF＝BC，
∵DE＝FE，
∴；
（3）∵DF＝8，
∴BC＝8，
∵CE＝3，
∴AC＝6，
∴BC﹣AC＜AB＜BC+AC，
即2＜AB＜14．
18．解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝FC，
∵DE∥FC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴CD＝EF；
（2）猜想：△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，理由如下：
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC
∴△ADE的面积＝△DEC的面积，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴△DEC的面积＝△ECF的面积，
∴△ADE的面积＝△ECF的面积，
∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
19．解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，M，N分别是AB，CD的中点，
∴NP，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PN＝BC，PM＝AD，PN∥BC，PM∥AD，
∴∠NPD＝∠DBC，∠MPB＝∠ADB，
∵AD＝BC，
∴PN＝PM，
故△NMP是等腰三角形．
∴∠PMN＝∠PNM．
20．证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM＝AB，
∴∠MEF＝∠P
同理可证：FM∥CD，FM＝CD．
∴∠MFQ＝∠CQF，
又∵AB＝CD，
∴EM＝FM，
∴∠MEF＝∠MFE，
∴∠P＝∠CQF．
1．如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定
2．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后分别步测出AC，BC的中点D，E，并测出DE的长为20m，则AB的长为（ ）
A．10m B．20m C．30m D．40m
4．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（ ）
A．只与AB、CD的长有关 B．只与AD、BC的长有关
C．只与AC、BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关．
5．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
6．如图，△ABO中，AO＝AB，点B（10，0），点A在第一象限，C，D分别为OB、OA的中点，且CD＝6.5，则A点坐标为 ．
7．如图，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．当BC＝4，DE＝5，∠FMN＝45°时，则BE的长为 ．
8．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是 ．
9．已知等边三角形ABC的边长为a分别以这个三角形的三边中点为顶点作一个三角形，记为△A1B1C1，再以△A1B1C1各边中点为顶点做三角形记为△A2B2C2，…依次做下去，则△A5B5C5的周长为 ．
10．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则线段DE的长为 ．
11．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为 ．
12．如图，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D，CE平分∠ACB的外角，AE⊥CE于E，AC＝6，BC＝9，AB＝7，则DE的长是 ．
13．“数缺形时少直观，形少数时难入微”．小明学习上爱动脑，在计算的值时构造了这样一个图形：如图，正△ABC面积为，分别取AC、BC两边的中点D、E，再分别取CD、CE的中点，依次取下去…，能直观地求出它的值．也请你根据这个图形计算：＝ ．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，DE＝2，求FC的长度．
15．如图已知，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB＝10，BC＝15，MN＝3，求△ABC的周长．
16．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？
17．在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．
已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．
求证：
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，
……
（1）补全求证；
（2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程；
（3）若CE＝3，DF＝8，求边AB的取值范围．
18．如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：CD＝EF；
（2）猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．
19．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P为对角线BD的中点，M为AB的中点，N为DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
20．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF＝∠CQF．
参考答案
1．解：连接AR．
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF＝AR，
∵AR的长为定值，
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
2．解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝16，
∴DE＝BC＝8．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，
∴DF＝AB＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3．
故选：B．
3．解：∵点D，E是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝40m，
故选：D．
4．解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，
∴四边形EGFH的周长＝FG+GE+EH+FH＝，
故选：B．
5．解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD＝＝＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
6．解：如图，连接AC，
∵AO＝AB，点C是OB的中点，
∴AC⊥BC，OC＝OB＝×10＝5，
∵点D是AO的中点，
∴AO＝2CD＝2×6.5＝13，
由勾股定理得，AC＝＝＝12，
所以，点A（5，12）．
故答案为：（5，12）．
7．解：∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，
∴MF，MN都是△ABE的中位线，
∴MF∥AE，MN∥BE，
∴四边形EFMN是平行四边形，
∴∠AEB＝∠NMF＝45°，
又∵AB⊥AE，
∴∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，
∵BC⊥CD，DE⊥CD，
又∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EAD+∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠EAD，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ABC≌△EAD（AAS），
∴BC＝AD＝4，CA＝DE＝5，
∴Rt△ABC中，AB＝＝，
∴等腰Rt△ABE中，BE＝＝，
故答案为：．
8．解：∵第一次操作后，三角形共有4个；
第二次操作后，三角形共有4+3＝7个；
第三次操作后，三角形共有4+3+3＝10个；
…
∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）＝3n+1个；
当3n+1＝100时，解得：n＝33，
故答案为：33．
9．解：等边△ABC的边长为a，
∴等边△ABC的周长为3a．
∵A2、B2分别是边A1B1、B1C1的中点，
∴A2B2是△A1B1C1的中位线，
∴A2B2＝A1B1．
同理，A2C2＝A1C1，C2B2＝C1B1．
∴△A2B2C2的周长＝等边△A1B1C1的周长＝．
同理，△A3B3C3的周长＝△A2B2C2的周长＝等边△A1B1C1的周长．
…，
∴△AnBn n的周长＝△A1B1C1的周长＝．
∴△A5B5C5的周长＝＝＝．
故答案为：．
10．解：由勾股定理可知：BC＝＝．
∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE＝BC＝．
故答案为：．
11．解：∵△ABC的周长是26，BC＝10，
∴AB+AC＝26﹣10＝16，
∵∠ABC的平分线垂直于AE，
∴在△ABQ和△EBQ中，
，
∴△ABQ≌△EBQ，
∴AQ＝EQ，AB＝BE，
同理，AP＝DP，AC＝CD，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝AB+AC﹣BC＝16﹣10＝6，
∵AQ＝DP，AP＝DP，
∴PQ是△ADE的中位线，
∴PQ＝DE＝3．
故答案是：3．
12．解：如图，延长AD、AE分别角BC与BC的延长线于M、N，
∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于D，
∴AD＝MD，AB＝MB＝7，
∵CE平分∠ACB的外角，AE⊥CE于E，
∴AE＝EN，AC＝CN＝6，
∴DE是△AMN的中位线，
∵BC＝9，
∴MN＝CN+BC﹣BM＝6+9﹣7＝8，
∴DE＝MN＝×8＝4．
故答案为：4．
13．解：设第n个小三角形的面积为sn，则sn＝
根据中位线定理，得出小三角形的面积是对应梯形面积的
即sn＝ ＝
那么，s1+s2+s3+…+sn＝（1﹣4﹣1+4﹣1﹣4﹣2+…+4﹣n﹣2﹣4﹣n﹣1+4﹣n﹣1﹣4﹣n）＝
同时，s1+s2+s3+…+sn＝
以上两式联立解得：＝
14．解：∵AF⊥BC，点D是边AB的中点，DF＝3，
∴AB＝2DF＝6．
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴AF＝AB＝3，
由勾股定理得，BF＝＝＝3，
∴FC＝BC﹣BF＝．
15．解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝10，BN＝ND，
∵BM＝MC，
∴DC＝2MN＝6，
∴AC＝AD+DC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10+15+16＝41，
即△ABC的周长是41．
16．解：相等．理由如下：
取AD的中点G，连接MG，NG，
∵G、N分别为AD、CD的中点，
∴GN是△ACD的中位线，
∴GN＝AC，
同理可得，GM＝BD，
∵AC＝BD，
∴GN＝GM＝AC＝BD．
∴∠GMN＝∠GNM，
又∵MG∥OE，NG∥OF，
∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，
∴OE＝OF．
17．解：（1）DE∥BC，且；
（2）∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
又∵EF＝ED，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AD∥CF，
∴AB∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DE∥BC，DF＝BC，
∵DE＝FE，
∴；
（3）∵DF＝8，
∴BC＝8，
∵CE＝3，
∴AC＝6，
∴BC﹣AC＜AB＜BC+AC，
即2＜AB＜14．
18．解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝FC，
∵DE∥FC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴CD＝EF；
（2）猜想：△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，理由如下：
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC
∴△ADE的面积＝△DEC的面积，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴△DEC的面积＝△ECF的面积，
∴△ADE的面积＝△ECF的面积，
∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
19．解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，M，N分别是AB，CD的中点，
∴NP，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PN＝BC，PM＝AD，PN∥BC，PM∥AD，
∴∠NPD＝∠DBC，∠MPB＝∠ADB，
∵AD＝BC，
∴PN＝PM，
故△NMP是等腰三角形．
∴∠PMN＝∠PNM．
20．证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM＝AB，
∴∠MEF＝∠P
同理可证：FM∥CD，FM＝CD．
∴∠MFQ＝∠CQF，
又∵AB＝CD，
∴EM＝FM，
∴∠MEF＝∠MFE，
∴∠P＝∠CQF．