2021-2022学年北师大版九年级数学下册第3章圆 单元综合达标测试题 （Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册第3章圆 单元综合达标测试题 （Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 652.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-14 22:27:30 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
2．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图所示，在⊙O中，线段AB是直径，点D是弧AB上一点，延长AB至点C，使得AB＝2BC，连接AD，OD，CD．若∠C＝30°，则∠ADO的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（ ）
A．2 B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是 ．
10．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，3），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ．
11．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在圆O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
12．已知直线l：y＝﹣x+2，若⊙P的半径为1，圆心P在y轴上，当⊙P与直线l相切时，则点P的坐标是 ．
13．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为 ，CD的长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，若点E的坐标是（﹣3，﹣1），则点F的坐标是 ．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF，AF＝10，BC＝4．则下列结论：
①∠BAC＝2∠DAC；
②CA垂直平分BF；
③DE＝；
④tan∠BAD＝．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
16．如图，四边形ABCD和ECGF均为正方形，且点A，D，F在半圆的弧上，点B，C，G在半圆的直径上，点D，E，C在一条直线上，若半圆的半径为，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图，在半径为5的⊙中，AB为⊙O的直径，OD⊥弦AC交⊙O于D，垂足是H，BD交AC于E，过点E作EF⊥EB交⊙O于F，且EF＝EB，连接OF，AF，BF．
（1）求证：∠OFE＝∠ODE；
（2）若EH＝1，求AF的长．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，CD的延长线交于点F，连接CG，DG．
（1）求证：∠DGF＝∠AGC．
（2）当ED＝DF，GF＝6，tanF＝时，求AC的长．
19．如图，△ABC内接于⊙O，BA＝BC，直径AD交BC于E，延长CD交切线BF于F．
（1）求证：∠BFC＝90°
（2）若tan∠BAD＝，CD＝2，求CE的长．
20．如图，O为平行四边形ABCD的边AD上一点，AO＝AB，以OD为半径的⊙O交AD于点E，交CD于点F，OG⊥EF交BC于点G，⊙O和AG相切于点P．
（1）求证：四边形ABGO为菱形；
（2）若AB＝6，cos∠ADC＝，求⊙O的半径R．
21．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
（4）在（3）的条件下，求的长度．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，
∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，
∴∠COH＝60°，
∵OB＝2，OC＝4，
∴OH＝2
∴CH＝2，
∴△OBC的面积＝OB CH＝2×2＝2．
故选：B．
2．解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°+∠AOB，
∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
∵∠AIB＝125°，
∴∠AOB＝140°．
故选：D．
3．解：如图1，设折叠后的所在圆的圆心为O′，连接O′A，O′D，
∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°，
连接OA，OB，
同理，∠AOB＝120°，
∴∠AOB＝∠AO′D，
∵⊙O与⊙O′是等圆，
∴AB＝AD，
设⊙O的半径为R，
过O作OG⊥AB于G，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG，
∴OG＝，
∴，
∴，
如图2，过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AD，
∴可设BM＝DM＝x，则BD＝2x，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD＝2x，
∴MC＝DM+CD＝3x，
∵AM⊥BC，∠ACB＝60°，
∴∠MAC＝30°，
在Rt△AMC中，MC＝，
∴3x＝3，
∴x＝1，
∴AM＝，BM＝x＝1，
在Rt△ABM中，AB＝，
∵，
∴，
故选：D．
4．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
5．解：过点O作OD′⊥CD于D′．
∵∠OD′C＝90°，∠C＝30°，
∴OC＝2OD′，
∵AB＝2BC，OA＝OB，
∴OC＝2OA＝2OD，
∴D与D′重合，
∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴cos∠ADO＝，
故选：C．
6．解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
7．解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，
∵EF∥AB，
∴CM⊥EF．
根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG＝AB＝2；
∵△CGD是等边三角形，CM⊥DG，
∴DM＝MG；
∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM＝MF，
∴DE＝GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD DC＝DE DF，即DE×（DE+2）＝4；
解得DE＝﹣1（负值舍去）．
故选：B．
8．解：如图，过点O作OF⊥BE于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，DC＝AB＝6，
在Rt△ADB中，∠C＝90°，
∴BD＝＝10，
∴tan∠DBC＝＝＝，
设OF＝3x，BF＝4x，
则BO＝5x，
∵OB＝OE，
∴BF＝EF＝4x，
∴CE＝CB﹣BE＝8﹣8x，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∴∠OEF+∠DEC＝90°，
∵∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠OEF＝∠EDC，
∵∠OFE＝∠DCE，
∴△OEF∽△EDC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝0（舍去），x＝，
∴OB＝5x＝．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：如图，连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BD＝4，CD＝1，
∴BC＝4+1＝5，
∴OB＝OC＝，
∴OA＝，OF＝BF＝，
∴DF＝BD﹣BF＝，
∴OG＝，GD＝，
在Rt△AGO中，AG＝＝，
∴AD＝AG+GD＝．
故答案为：．
10．解：过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，
当点P在点D是上方时，如图，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形，
∴AC＝OD，OC＝AD，
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径，
∵点A坐标为（5，3），
∴AC＝OD＝3，OC＝AD＝5，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝6，
在Rt△PAD中，根据勾股定理得，
PD＝＝＝，
∴OP＝PD+DO＝3+，
∵点P在y轴的正半轴上，
∴点P坐标为（0，3+），
故答案为：（0，3+）．
11．解：作GM⊥AC于M，连接AG．
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
在Rt△AGO中，AG＝2，OG＝1，
∴AG＝2OG，OA＝＝＝，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4．
∴A（0，2），B（4，0）．
∴OA＝2，OB＝4，
∴AB＝＝2，
当⊙P在y轴上从下向上运动时⊙P与直线AB有两种相切情况．
第一种情况：如图，当⊙P在直线l：y＝﹣x+2与y轴交点下方与直线l相切时，过P1作P1D1⊥l于D1，
在Rt△D1P1A中，D1P1＝1．
∵Rt△D1P1A∽Rt△OBA，
∴＝，
∴＝，
∴AP1＝，
∴OP1＝OA﹣AP1＝2﹣，
∴P1坐标为（0，2﹣）；
第二种情况：如图，当⊙P在直线l：y＝﹣x+2与y轴交点上方与直线AB相切时，过P2作P2D2⊥l轴于D2，
同上可得OP2＝OA+AP2＝2+，
∴P2点的坐标为（0，2+）．
∴P点的坐标为（0，2﹣）或（0，2+）．
故答案为：（0，2﹣）或（0，2+）．
13．解：连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，
∵AE为直径，
∴∠ACE＝∠ABE＝90°，
∵点D是△ABC高线的交点，
∴BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，
∴∠CFB＝∠CGA＝90°，
∴∠FDG＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠ADB＝∠FDG＝120°，
∵∠ACE＝∠CFB＝90°，CD⊥AB，EB⊥AB，
∴CE∥DB，CD∥EB，
∴四边形CDBE为平行四边形，
∴CD＝BE，
∵＝，
∴∠ACB＝∠AEB＝60°，
∴∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ABE中，
BE＝AB×tan30°＝8×＝，
∴CD＝BE＝．
故答案为：120°；．
14．解：过点P作AP⊥EF交EF于点A，连接PE，设OP＝x，
∵⊙P与x轴相切于原点O，
∴OP⊥OB，
∵平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，
∴四边形APOB是矩形，
∴AB＝OP＝x，
∵点E的坐标是（﹣3，﹣1），
∴AP＝OB＝3，AE＝AB﹣BE＝x﹣1，
在Rt△ABE中，32+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝4，
∵AF＝AE，
∴EF＝8，
∴BF＝EF+BE＝9，
∴点F的坐标是（﹣3，﹣9）．
故答案为（﹣3，﹣9）．
15．解：∵AB＝AC，
∴＝，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD，故①正确，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BDC＝2∠DFC，
∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，
∴CB＝CF，
又BD⊥AC，
∴AC是线段BF的中垂线，故②正确，
AB＝AF＝10，AC＝10．
又BC＝4，
设AE＝x，CE＝10﹣x，
由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，
解得x＝6，
∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，
∴DE＝＝＝3，故③错误，
过点D作DH⊥AB于H．
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠AEB＝90°，
∴△DBH∽△ABE，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝，DH＝，
∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，
∴tan∠BAD＝＝＝，故④正确．
故答案为：①②④．
16．解：连接OA，OF，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGD的边长为b，⊙O的半径为R．
则OB＝，OG＝，
而OC＝BC﹣OB＝OG﹣CG，
∴有：a﹣＝﹣b得到：+＝a+b，
两边平方得：R2﹣a2+2 +R2﹣b2＝a2+2ab+b2
整理得： ＝a2+b2+ab﹣R2
两边再次平方得：R4﹣（a2+b2）R2+a2b2＝（a2+b2+ab）2﹣2（a2+b2+ab）R2+R4，
整理得：a2+b2＝R2＝5，
∴阴影部分的面积＝×π×5﹣5＝π﹣5．
故答案为：π﹣5．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．（1）证明：连接OE．
在△OEF和△OEB中，
，
∴△OEF≌△OEB（SSS），
∴∠OFE＝∠OBE，
∵OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODE，
∴∠OFE＝∠ODE．
（2）∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EFA＝45°，
∵△OEF≌△OEB，
∴∠OEF＝∠OEB＝45°，
∴∠AFE＝∠OEF＝45°，
∴AF∥OE，
∵∠OFE＝∠ODE，
∴∠FOH＝∠DEF＝90°，
∵OD⊥AC，
∴∠AOF＝∠AHD＝90°，
∴AO∥AE，
∴四边形AEOF是平行四边形，
∴OF＝AE＝5，AF＝OE，
∵EH＝1，
∴AH＝AE﹣EH＝4，
∴OH＝＝＝3，
∴OE＝＝＝，
∴AF＝．
18．（1）证明：∵四边形ACDG是⊙O的内接四边形，
∴∠ACD+∠AGD＝180°，
∵∠AGD+∠DGF＝180°，
∴∠ACD＝∠DGF，
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴＝，
∴∠AGC＝∠ACD，
∴∠DGF＝∠AGC．
（2）∵∠DGF＝∠ACD，∠F＝∠F，
∴△FDG∽△FAC，
∴＝，
∴FD FC＝FG FA，
∵CD⊥AB，
∴tanF＝＝，
∵ED＝DF，
∴EF＝2DE，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴∠ACD＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴AC＝2CE，
设CE＝DE＝DF＝x，则AE＝x，AC＝2x，FC＝3x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝＝x，
∵FD FC＝FA FG，
∴x 3x＝6x，
解得x＝0（舍）或x＝2，
∴AC＝2x＝4．
19．（1）证明：延长BO交AC于H，连接OC，如图，
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵BA＝BC，OA＝OC，
∴BH垂直平分AC，
∵BF为⊙O的切线，
∴BH⊥BF，
∴BF∥AC，
∴∠ACD+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝90°；
（2）解：∵BH⊥AC，∠ACD＝90°，
∴BH∥CF，
∴∠BCD＝∠HBC，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠HBC＝∠BAD，
∴tan∠HBC＝tan∠BAD＝，
∵OA＝OD，AH＝CH，
∴OH＝CD＝1，
在Rt△BCH中，设⊙O的半径为r，
∵tan∠HBC＝＝，
∴CH＝（r+1），
在Rt△OCH中，12+（r+1）2＝r2，解得r1＝，r2＝﹣1（舍去），
∴BO＝，BH＝，CH＝，
在Rt△BCH中，BC＝＝＝，
∵OB∥CD，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴CE＝CB＝×＝．
20．解：（1）∵DE为⊙O的直径，
∴∠EFD＝90°，
∴DF⊥EF，
∵OG⊥EF，
∴OG∥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AB∥OG，
∴四边形ABGO为平行四边形，
∵AO＝AB，
∴四边形ABGO为菱形；
（2）如图，连接OB，过点O作OH⊥BC于点H，
∵四边形ABGO为菱形，
∴OB⊥AG，
∵⊙O和AG相切于点P．
∴OP⊥AG，
∴O，P，B三点共线，OP＝OB，
∵∠D＝∠OGH，AB＝6，
∴BG＝OG＝6，
∴GH＝OG cos∠OGH＝6×＝2，
由勾股定理，得OH＝＝4，
∴OB＝＝4．
∴⊙O的半径R为2．
21．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵，，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M＝180°，
∠PCM＝∠BPC，
∵∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠PCM＝∠BPC＝60°，
∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，
∴∠M＝∠BPC＝60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PCB＝180°，
∵∠MAC+∠PAC＝180°
∴∠MAC＝∠PBC
∵AC＝BC，
在△ACM和△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）∵CM∥BP，
∴四边形PBCM为梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM＝CP，AM＝BP，
又∠M＝60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+AMB＝1+2＝3，
在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，
∴PH＝，
∴S四边形PBCM＝（PB+CM）×PH＝（2+3）×＝；
（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，
∵∠APC＝∠BPC＝60°，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴PQ＝PB＝1，
在Rt△BPQ中，BQ＝，
在Rt△AQB中，AB＝，
∵△ABC为等边三角形，
∴AN经过圆心O，
∴BN＝AB＝，
∴AN＝，
在Rt△BON中，设BO＝x，则ON＝，
∴，
解得：x＝，
∵∠BOA＝∠BCA＝120°，
∴的长度为．
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
2．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）
A．120° B．125° C．135° D．140°
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图所示，在⊙O中，线段AB是直径，点D是弧AB上一点，延长AB至点C，使得AB＝2BC，连接AD，OD，CD．若∠C＝30°，则∠ADO的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（ ）
A．2 B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是 ．
10．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，3），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ．
11．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在圆O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
12．已知直线l：y＝﹣x+2，若⊙P的半径为1，圆心P在y轴上，当⊙P与直线l相切时，则点P的坐标是 ．
13．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为 ，CD的长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，若点E的坐标是（﹣3，﹣1），则点F的坐标是 ．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF，AF＝10，BC＝4．则下列结论：
①∠BAC＝2∠DAC；
②CA垂直平分BF；
③DE＝；
④tan∠BAD＝．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
16．如图，四边形ABCD和ECGF均为正方形，且点A，D，F在半圆的弧上，点B，C，G在半圆的直径上，点D，E，C在一条直线上，若半圆的半径为，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图，在半径为5的⊙中，AB为⊙O的直径，OD⊥弦AC交⊙O于D，垂足是H，BD交AC于E，过点E作EF⊥EB交⊙O于F，且EF＝EB，连接OF，AF，BF．
（1）求证：∠OFE＝∠ODE；
（2）若EH＝1，求AF的长．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，CD的延长线交于点F，连接CG，DG．
（1）求证：∠DGF＝∠AGC．
（2）当ED＝DF，GF＝6，tanF＝时，求AC的长．
19．如图，△ABC内接于⊙O，BA＝BC，直径AD交BC于E，延长CD交切线BF于F．
（1）求证：∠BFC＝90°
（2）若tan∠BAD＝，CD＝2，求CE的长．
20．如图，O为平行四边形ABCD的边AD上一点，AO＝AB，以OD为半径的⊙O交AD于点E，交CD于点F，OG⊥EF交BC于点G，⊙O和AG相切于点P．
（1）求证：四边形ABGO为菱形；
（2）若AB＝6，cos∠ADC＝，求⊙O的半径R．
21．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
（4）在（3）的条件下，求的长度．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，
∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，
∴∠COH＝60°，
∵OB＝2，OC＝4，
∴OH＝2
∴CH＝2，
∴△OBC的面积＝OB CH＝2×2＝2．
故选：B．
2．解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°+∠AOB，
∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
∵∠AIB＝125°，
∴∠AOB＝140°．
故选：D．
3．解：如图1，设折叠后的所在圆的圆心为O′，连接O′A，O′D，
∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°，
连接OA，OB，
同理，∠AOB＝120°，
∴∠AOB＝∠AO′D，
∵⊙O与⊙O′是等圆，
∴AB＝AD，
设⊙O的半径为R，
过O作OG⊥AB于G，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG，
∴OG＝，
∴，
∴，
如图2，过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AD，
∴可设BM＝DM＝x，则BD＝2x，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD＝2x，
∴MC＝DM+CD＝3x，
∵AM⊥BC，∠ACB＝60°，
∴∠MAC＝30°，
在Rt△AMC中，MC＝，
∴3x＝3，
∴x＝1，
∴AM＝，BM＝x＝1，
在Rt△ABM中，AB＝，
∵，
∴，
故选：D．
4．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
5．解：过点O作OD′⊥CD于D′．
∵∠OD′C＝90°，∠C＝30°，
∴OC＝2OD′，
∵AB＝2BC，OA＝OB，
∴OC＝2OA＝2OD，
∴D与D′重合，
∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴cos∠ADO＝，
故选：C．
6．解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
7．解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，
∵EF∥AB，
∴CM⊥EF．
根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG＝AB＝2；
∵△CGD是等边三角形，CM⊥DG，
∴DM＝MG；
∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM＝MF，
∴DE＝GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD DC＝DE DF，即DE×（DE+2）＝4；
解得DE＝﹣1（负值舍去）．
故选：B．
8．解：如图，过点O作OF⊥BE于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，DC＝AB＝6，
在Rt△ADB中，∠C＝90°，
∴BD＝＝10，
∴tan∠DBC＝＝＝，
设OF＝3x，BF＝4x，
则BO＝5x，
∵OB＝OE，
∴BF＝EF＝4x，
∴CE＝CB﹣BE＝8﹣8x，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∴∠OEF+∠DEC＝90°，
∵∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠OEF＝∠EDC，
∵∠OFE＝∠DCE，
∴△OEF∽△EDC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝0（舍去），x＝，
∴OB＝5x＝．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：如图，连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BD＝4，CD＝1，
∴BC＝4+1＝5，
∴OB＝OC＝，
∴OA＝，OF＝BF＝，
∴DF＝BD﹣BF＝，
∴OG＝，GD＝，
在Rt△AGO中，AG＝＝，
∴AD＝AG+GD＝．
故答案为：．
10．解：过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，
当点P在点D是上方时，如图，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形，
∴AC＝OD，OC＝AD，
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径，
∵点A坐标为（5，3），
∴AC＝OD＝3，OC＝AD＝5，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝6，
在Rt△PAD中，根据勾股定理得，
PD＝＝＝，
∴OP＝PD+DO＝3+，
∵点P在y轴的正半轴上，
∴点P坐标为（0，3+），
故答案为：（0，3+）．
11．解：作GM⊥AC于M，连接AG．
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
在Rt△AGO中，AG＝2，OG＝1，
∴AG＝2OG，OA＝＝＝，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4．
∴A（0，2），B（4，0）．
∴OA＝2，OB＝4，
∴AB＝＝2，
当⊙P在y轴上从下向上运动时⊙P与直线AB有两种相切情况．
第一种情况：如图，当⊙P在直线l：y＝﹣x+2与y轴交点下方与直线l相切时，过P1作P1D1⊥l于D1，
在Rt△D1P1A中，D1P1＝1．
∵Rt△D1P1A∽Rt△OBA，
∴＝，
∴＝，
∴AP1＝，
∴OP1＝OA﹣AP1＝2﹣，
∴P1坐标为（0，2﹣）；
第二种情况：如图，当⊙P在直线l：y＝﹣x+2与y轴交点上方与直线AB相切时，过P2作P2D2⊥l轴于D2，
同上可得OP2＝OA+AP2＝2+，
∴P2点的坐标为（0，2+）．
∴P点的坐标为（0，2﹣）或（0，2+）．
故答案为：（0，2﹣）或（0，2+）．
13．解：连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，
∵AE为直径，
∴∠ACE＝∠ABE＝90°，
∵点D是△ABC高线的交点，
∴BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，
∴∠CFB＝∠CGA＝90°，
∴∠FDG＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠ADB＝∠FDG＝120°，
∵∠ACE＝∠CFB＝90°，CD⊥AB，EB⊥AB，
∴CE∥DB，CD∥EB，
∴四边形CDBE为平行四边形，
∴CD＝BE，
∵＝，
∴∠ACB＝∠AEB＝60°，
∴∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ABE中，
BE＝AB×tan30°＝8×＝，
∴CD＝BE＝．
故答案为：120°；．
14．解：过点P作AP⊥EF交EF于点A，连接PE，设OP＝x，
∵⊙P与x轴相切于原点O，
∴OP⊥OB，
∵平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，
∴四边形APOB是矩形，
∴AB＝OP＝x，
∵点E的坐标是（﹣3，﹣1），
∴AP＝OB＝3，AE＝AB﹣BE＝x﹣1，
在Rt△ABE中，32+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝4，
∵AF＝AE，
∴EF＝8，
∴BF＝EF+BE＝9，
∴点F的坐标是（﹣3，﹣9）．
故答案为（﹣3，﹣9）．
15．解：∵AB＝AC，
∴＝，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD，故①正确，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BDC＝2∠DFC，
∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，
∴CB＝CF，
又BD⊥AC，
∴AC是线段BF的中垂线，故②正确，
AB＝AF＝10，AC＝10．
又BC＝4，
设AE＝x，CE＝10﹣x，
由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，
解得x＝6，
∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，
∴DE＝＝＝3，故③错误，
过点D作DH⊥AB于H．
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠AEB＝90°，
∴△DBH∽△ABE，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝，DH＝，
∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，
∴tan∠BAD＝＝＝，故④正确．
故答案为：①②④．
16．解：连接OA，OF，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGD的边长为b，⊙O的半径为R．
则OB＝，OG＝，
而OC＝BC﹣OB＝OG﹣CG，
∴有：a﹣＝﹣b得到：+＝a+b，
两边平方得：R2﹣a2+2 +R2﹣b2＝a2+2ab+b2
整理得： ＝a2+b2+ab﹣R2
两边再次平方得：R4﹣（a2+b2）R2+a2b2＝（a2+b2+ab）2﹣2（a2+b2+ab）R2+R4，
整理得：a2+b2＝R2＝5，
∴阴影部分的面积＝×π×5﹣5＝π﹣5．
故答案为：π﹣5．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．（1）证明：连接OE．
在△OEF和△OEB中，
，
∴△OEF≌△OEB（SSS），
∴∠OFE＝∠OBE，
∵OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODE，
∴∠OFE＝∠ODE．
（2）∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EFA＝45°，
∵△OEF≌△OEB，
∴∠OEF＝∠OEB＝45°，
∴∠AFE＝∠OEF＝45°，
∴AF∥OE，
∵∠OFE＝∠ODE，
∴∠FOH＝∠DEF＝90°，
∵OD⊥AC，
∴∠AOF＝∠AHD＝90°，
∴AO∥AE，
∴四边形AEOF是平行四边形，
∴OF＝AE＝5，AF＝OE，
∵EH＝1，
∴AH＝AE﹣EH＝4，
∴OH＝＝＝3，
∴OE＝＝＝，
∴AF＝．
18．（1）证明：∵四边形ACDG是⊙O的内接四边形，
∴∠ACD+∠AGD＝180°，
∵∠AGD+∠DGF＝180°，
∴∠ACD＝∠DGF，
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴＝，
∴∠AGC＝∠ACD，
∴∠DGF＝∠AGC．
（2）∵∠DGF＝∠ACD，∠F＝∠F，
∴△FDG∽△FAC，
∴＝，
∴FD FC＝FG FA，
∵CD⊥AB，
∴tanF＝＝，
∵ED＝DF，
∴EF＝2DE，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴∠ACD＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴AC＝2CE，
设CE＝DE＝DF＝x，则AE＝x，AC＝2x，FC＝3x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝＝x，
∵FD FC＝FA FG，
∴x 3x＝6x，
解得x＝0（舍）或x＝2，
∴AC＝2x＝4．
19．（1）证明：延长BO交AC于H，连接OC，如图，
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵BA＝BC，OA＝OC，
∴BH垂直平分AC，
∵BF为⊙O的切线，
∴BH⊥BF，
∴BF∥AC，
∴∠ACD+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝90°；
（2）解：∵BH⊥AC，∠ACD＝90°，
∴BH∥CF，
∴∠BCD＝∠HBC，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠HBC＝∠BAD，
∴tan∠HBC＝tan∠BAD＝，
∵OA＝OD，AH＝CH，
∴OH＝CD＝1，
在Rt△BCH中，设⊙O的半径为r，
∵tan∠HBC＝＝，
∴CH＝（r+1），
在Rt△OCH中，12+（r+1）2＝r2，解得r1＝，r2＝﹣1（舍去），
∴BO＝，BH＝，CH＝，
在Rt△BCH中，BC＝＝＝，
∵OB∥CD，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴CE＝CB＝×＝．
20．解：（1）∵DE为⊙O的直径，
∴∠EFD＝90°，
∴DF⊥EF，
∵OG⊥EF，
∴OG∥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AB∥OG，
∴四边形ABGO为平行四边形，
∵AO＝AB，
∴四边形ABGO为菱形；
（2）如图，连接OB，过点O作OH⊥BC于点H，
∵四边形ABGO为菱形，
∴OB⊥AG，
∵⊙O和AG相切于点P．
∴OP⊥AG，
∴O，P，B三点共线，OP＝OB，
∵∠D＝∠OGH，AB＝6，
∴BG＝OG＝6，
∴GH＝OG cos∠OGH＝6×＝2，
由勾股定理，得OH＝＝4，
∴OB＝＝4．
∴⊙O的半径R为2．
21．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵，，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M＝180°，
∠PCM＝∠BPC，
∵∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠PCM＝∠BPC＝60°，
∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，
∴∠M＝∠BPC＝60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PCB＝180°，
∵∠MAC+∠PAC＝180°
∴∠MAC＝∠PBC
∵AC＝BC，
在△ACM和△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）∵CM∥BP，
∴四边形PBCM为梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM＝CP，AM＝BP，
又∠M＝60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+AMB＝1+2＝3，
在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，
∴PH＝，
∴S四边形PBCM＝（PB+CM）×PH＝（2+3）×＝；
（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，
∵∠APC＝∠BPC＝60°，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴PQ＝PB＝1，
在Rt△BPQ中，BQ＝，
在Rt△AQB中，AB＝，
∵△ABC为等边三角形，
∴AN经过圆心O，
∴BN＝AB＝，
∴AN＝，
在Rt△BON中，设BO＝x，则ON＝，
∴，
解得：x＝，
∵∠BOA＝∠BCA＝120°，
∴的长度为．