人教A版 选择性必修二 4.4　数学归纳法 同步学案

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4．4*　数学归纳法
学习指导 核心素养
1.理解数学归纳法的定义，了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 1.数学抽象：数学归纳法的原理．2．逻辑推理：数学归纳法的应用．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
数学归纳法的概念及步骤
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
变式思考
1．在推导等差(比)数列的通项公式时，我们从a1，a2，a3，a4，…的规律归纳得到an，是否严谨？
提示：这是从个别情况推出一般结论，是不完全归纳法，从逻辑上来说是不严谨的．
2．数学归纳法的归纳奠基中的n0一定是1吗？
提示：n0是我们要证明的命题对象的最小正整数，并不一定是1.
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　)
(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　　)
(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)
(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证的不等式是(　　)
A．1＋<2　　　　　　
B．1＋＋<2
C．1＋＋<3
D．1＋＋＋<4
答案：B
3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n＝________．
答案：3
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　用数学归纳法证明等式
证明和正整数n有关的等式时，从n＝k到n＝k＋1时，是否等式两边都增加一项即可？
探究感悟：从n＝k到n＝k＋1等式两边的差异要明确，并不一定增加一项，要观察等式的特征和规律，确定证明目标．
例 用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*).
【证明】　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
那么，当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)可知，命题对一切正整数均成立．
归纳总结
用数学归纳法证明等式的方法
即时检测
设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*).求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).
证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2×＝1，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，
即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)·－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
所以当n＝k＋1时等式仍然成立．
由(1)(2)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).
探究点2　用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式的第二步中，没有用到归纳假设，直接利用放缩法证出n＝k＋1时的情况是否可以？
探究感悟：在第二步证明n＝k＋1命题成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1时命题也成立”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k) 中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
例 (2021·湖南长沙市一中高二检测)证明：对任意的n∈N*，不等式(1＋1)··…·>恒成立．
【证明】　(1)当n＝1时，不等式左边＝2，右边＝，因为2>，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，
即(1＋1)··…·>.
那么，当n＝k＋1时，
不等式左边＝(1＋1)··…··>·＝·＝.
要证>成立，
只需证>3k＋4成立．
因为(3k＋1)2>0，所以只需证(3k＋2)3>(3k＋4)(3k＋1)2成立，
即证27k3＋54k2＋36k＋8>27k3＋54k2＋27k＋4成立，只需证9k＋4>0成立．
因为k∈N*，
所以9k＋4>0成立．
即(1＋1)··…··>成立，
所以当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)和(2)可得不等式对任意的n∈N*恒成立．
归纳总结
用数学归纳法证明不等式的思路方法
(1)在应用归纳假设证明的过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．
(2)在推证“n＝k＋1时的不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．　
即时检测
已知函数f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N*，求证：an＜.
证明：(1)当n＝1时，0因为当x∈时，0所以0故n＝2时，原不等式也成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0因为f(x)＝x－x2的对称轴为直线x＝，
所以当x∈时，f(x)为增函数．
所以由0于是0所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．
根据(1)(2)知，对任何n∈N*，不等式an<成立．
探究点3　归纳—猜想—证明
例 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明通项公式的正确性．
(1)【解】　当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，即a＋2a1－2＝0，所以a1＝－1(a1＞0).
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
所以a2＝－(a2＞0).同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N*).
(2)【证明】　①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，
即ak＝－.
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式，整理得
a＋2ak＋1－2＝0，
所以ak＋1＝－
＝－，
即当n＝k＋1时通项公式成立．
由①②可知，对所有n∈N*，an＝－都成立．
归纳总结
“归纳—猜想—证明”的一般环节
即时检测
设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都满足(Sn－1)2＝anSn.
(1)求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；
(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的Sn的表达式的正确性．
解：(1)当n＝1时，(S1－1)2＝S，
所以S1＝，
当n≥2时，(Sn－1)2＝(Sn－Sn－1)Sn，
所以Sn＝，
所以S2＝，S3＝，
猜想Sn＝，n∈N*.
(2)下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，S1＝，＝，猜想正确；
②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想正确，
即Sk＝，
那么当n＝k＋1时，
可得Sk＋1＝＝＝.
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
综上可知，对任意的正整数n，
Sn＝都成立．
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)
A．7　　 　 B．8　　 　　
C．9　　 　 D．10
解析：选B.左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8，故选B.
2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
答案：D
3．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N*)的过程中，当n从k到k＋1时，等式左边应增乘的式子是________．
答案：
4．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*).
证明：①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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