2021-2022学年人教版数学九年级上册第15讲 二次函数与一元二次方程的关系期末复习讲义

第15讲 二次函数与一元二次方程的关系
【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式 二次函数 一元二次方程
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根）
　要点诠释：
　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
要点二、抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
判别式
抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集
△＞0 或
△＝0 （或） 无解
△＜0 全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点诠释：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
对应练习
1．抛物线y＝2x2-4x+m的图象的部分如图所示，则关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0的解是 ．
2．若抛物线y＝x2与直线y＝x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2﹣x﹣2＝0的解为 .
3．若二次函数y=(k-1)x2+4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
4．已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标 ．
（2）对称轴为 ．
（3）当 时，y随着x得增大而增大
（4）当 时，y＞0．
5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，对称轴为直线x=，抛物线与x轴的交点分别为A、B，则A、B两点间的距离是 ．
课后作业
1．抛物线y＝-x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+bx+c＝0的解为 ．
2．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0，B（2，﹣3）两点，则关于x的方程kx+n＝ax2+bx+c的解为 .
3．抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1，0)、B(5，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x-1)2=b-bx的解是 ．
4．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
5．抛物线的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是 ．
6．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的方程ax2+bx＝m有实根，则m的取值范围是 ．
7．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数为 个．
8．直线y1＝x+m与抛物线y2＝ax2+bx+c交于P、Q（2，3）两点，其中P在x轴上，Q（2，3）是抛物线y2的顶点.
（1）求y1与y2的函数解析式；
（2）求函数值y1＜y2时x的取值范围.
如图，二次函数y1＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），
一次函数y2＝mx+n的图象过点A、C.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围.
二次函数与一元二次方程
1．（2019·莆田市期中）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
2．（2020·无锡市期末）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·恩施市期末）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
4．（2018·新乡市期中）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点； ②4a+b+c=0；
③a﹣b+c＜0； ④抛物线的顶点坐标为（2，b）；
⑤当x＜2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
5．（2020·长沙市期末）对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
6．（2018·济宁市期末）关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＞ B．m＜﹣ C．m＜﹣2 或 m＞2 D．m＞
7．（2019·宜昌市期末）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·杭州市期末）关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（　　）
A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜β C．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5
9．（2019·赣州市期中）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为(　　)
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n； ②c＝a+3； ③a+b+c＜0；
④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2020·临沂市期末）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，
则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
11．已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是_____．
12．（2018·三门峡市期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是_____（只填序号）
13．（2020·武威市期末）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为______．
14．（2019·宁波市期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为________．
15．（2019·信阳市期末）若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
16．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
17．（2018·临沂市期中）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．
（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况。