2021-2022学年人教版数学九年级上册第13讲二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的图象与性质期末复习讲义

第13讲 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象与性质
【要点梳理】
要点一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目 字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
要点四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
【典型例题】
类型一、二次函数的图象与性质
1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．
举一反三：
【变式】把一般式化为顶点式．
（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；
（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.
2． 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（　　）
A． B．C．D．
类型二、二次函数的最值
求二次函数的最小值
对应练习
1．二次函数y＝﹣3x2+6x变形为y＝a（x+m）2+n形式，正确的是（　　）
A. y＝﹣3（x+1）2﹣3 B. y＝﹣3（x﹣1）2﹣3
C. y＝﹣3（x+1）2+3 D. y＝﹣3（x﹣1）2+3
2．抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是（　　）
A. x＝1 B. x＝﹣1 C. x＝2 D. x＝﹣2
3．抛物线y＝x2+2x-3的最小值是(　　)
A. 3 B. -3 C. 4 D. -4
4．点P1（-1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是（ ）
A. y3＞y2＞y1 B. y3＞y1=y2 C. y1＞y2＞y3 D. y1=y2＞y3
5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
6．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（　　）
A. （2，﹣1） B. （﹣2，1） C. （﹣2，﹣1） D. （2，1）
7点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2-2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1 y2．
8．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是 ．
8．如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝ ．
9．若二次函数 的图象与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点坐标是 ．
10．已知二次函数y＝x2﹣4x+5．
（1）将y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？
已知二次函数y＝x2﹣4x+3.
①求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
②求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
③直接写出y＞0时x的范围
已知二次函数y＝-2x2+8x-6，完成下列各题：
(1)将函数关系式用配方法化为y＝a(x+h)2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；
(2)它的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，求S△ABC．
13．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3.
（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y＜0.
14．已知抛物线y＝﹣x2+4x+5.
（1）用配方法将y＝﹣x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）若抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1＞x2＞2，试比较y1与y2的大小.
二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质
精选练习
一、单选题（共10小题)
1．（2020·蚌埠市期末）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
2．（2020·黄冈市期中）抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
3．（2020·福州市期中）已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
4．（2020·浏阳市期中）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
5．（2020·沈阳市期末）抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）
6．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A． B． C．D．
7．已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·青岛市期中）如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是　　
A． B．C． D．
9．（2018·烟台市期末）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C．D．
10．（2019·枣庄市期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
二、填空题（共5小题)
11．（2020·鸡西市期末）已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.
12．（2019·宁波市期末）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是_____（填写序号）．
13．（2018·许昌市期末）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
14．（2018·宿迁市期末）若抛物线C1：y＝x2+mx+2与抛物线C2：y＝x2﹣3x+n关于y轴对称，则m+n＝_____．
15．（2018·襄阳市期末）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________________．
三、解答题（共2小题）
16．（2020·长春市期末）已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
17．（2019·合肥市期中）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．