2021-2022学年人教版数学九年级上册第12讲 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质期末复习讲义

第12讲 二次函数y=a(x-h) +k(a≠0)的图象与性质
【要点梳理】
要点一、函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.函数的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
要点诠释：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
要点二、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【典型例题】
类型一、二次函数图象及性质
1． 二次函数y=﹣（x﹣3）2+2的顶点的坐标是　 　，对称轴是　 　．
举一反三：
【变式】（2014 荆州）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.
把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b，c的值.
【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．
类型二、二次函数性质的综合应用
3. 二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线y2交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．
（1）确定二次函数与直线AB的解析式．
（2）如图，分别确定当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时，自变量x的取值范围．
对应练习
二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质
精选练习
一、单选题（共10小题)
1．（2019·宣武区期末）抛物线顶点坐标是
A． B． C． D．
2．（2018·临沂市期末）关于抛物线y=﹣2（x﹣1）2说法正确的是（　　）
A．顶点坐标为（﹣2，1）
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．当x=0时，y有最大值1
D．抛物线的对称轴为直线x=﹣2
3．（2019·琼中县期中）在一次函数y=kx+b（k≠0）中，y随x的增大而减小，则二次函数y=k（x﹣1）2的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
4．（2019·广州市期中）已知抛物线y＝（x﹣2）2上任意两点A（x1，y1）与B（x2，y2），若x2＞x1＞2，则y1和y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
5．（2019·扬州市期末）函数的图象可以由函数的图象( )得到
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
6．抛物线y= （x 5）2不经过的象限是（ ）
A.第一、二象限 B.第一、四象限 C.第二、三象限 D.第三、四象限
7．关于抛物线①y=x2；②y=–x2+1；③y=（x–2）2，下列结论正确的是（ ）
A.顶点相同 B.对称轴相同
C.形状相同 D.都有最高点
8．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．最低点坐标(-3, 0) B．最高点坐标(-3, 0) C．最低点坐标(3, 0) D．最高点坐标(3, 0)
9．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是( )
A． B． C． D．
10．已知函数y＝（x﹣1）2，下列结论正确的是（　　）
A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
二、填空题（共5小题)
11.（2018·洛阳市期末）已知函数y＝﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1_____y2（填“＜”、“＞”或“＝”）
12．（2019·肇庆市期中）二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图象开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有_____．
13．（2018·厦门市期末）抛物线经过点（-2，1），则______。
14．（2018·鼓楼区期末）已知A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为___.
15．（2019·中山市期中）点A（﹣1，﹣2）在抛物线y＝﹣（x﹣1）2上，点A、B关于该抛物线的对称轴对称，则B点坐标为_____．
三、解答题（共2小题）
16．（2018·揭阳市期末）已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．
17（2019·阳江市期中）抛物线的顶点为，它的形状与相同，但开口方向与之相反．
（1）直接写出抛物线的解析式 ；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质
一、单选题（共10小题)
1．（2020·黄冈市期中）抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
2．（2019·临海市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（　　）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）
3．（2019·腾冲市期末）关于二次函数y＝(x+1)2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下 B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(﹣1，0)
4．（2019·呼和浩特市期中）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
5．（2019·十堰市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，-1） B．（-1，-1） C．（1，1） D．（1，-1）
6．（2019·中山市期中）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（　　）
A．开口向上 B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线x＝﹣2
7．（2019·海门市期中）当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．x为任意实数
8．（2020·义乌市期末）关于y=2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　）
A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为直线y=3
C．当x≥3时，y随x增大而增大 D．当x≥3时，y随x增大而减小
9．（2019·天津市期末）若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　)
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
10．（2019·南开区期中）若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
二、填空题（共5小题)
11．（2018·泰安市期末）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_____．
12．（2020·普陀区期末）将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．
13．（2019·济南市期末）抛物线y=x2+4x+3的对称轴是直线______．
14．（2020·中山市期中）若点A（－3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=－2（x－1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是________（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．
15．（2018·房山区期末）把二次函数化为的形式，那么=_____.
三、解答题（共2小题）
16．（2018·平度市期末）已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．
17．（2018·徽县期中）把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=(x+1)2-1的图象.
（1）试确定a，h，k的值；
（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标。