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5.3 诱导公式
【学习要求】
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
【思维导图】
【知识梳理】
1．诱导公式二
终边关系 图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式 sin(π＋α)＝－sinα cos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα
2．诱导公式三
终边关系 图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式 sin(－α)＝－sinα cos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα
3．诱导公式四
终边关系 图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式 sin(π－α)＝sinα cos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα
【注】1.公式一～四中的角α是任意角．2．公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：
(1)记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin(π＋α)＝－sinα．
3．诱导公式的作用
(1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题．(2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数．(3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
4．诱导公式五、六如下表：
公式五 sin(－α)＝cosα cos(－α)＝sinα
公式六 sin(＋α)＝cosα cos(＋α)＝－sinα
公式五和公式六可以概括为：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
【注】1.对诱导公式五、六的两点说明
(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
2．对诱导公式一～六的两点说明
(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．
(2)公式一～六的记忆口决和说明
①口诀：奇变偶不变，符号看象限．②说明：
【高频考点】
高频考点1. 利用诱导公式解决给角求值问题
【方法点拨】利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
【例1】（2021·贺州市桂东高级中学高一月考）计算：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
（2）
【变式1-1】（2021·陕西）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A.
【变式1-2】 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用诱导公式化简求解即可
【详解】．故选：C．
【变式1-3】（2021·银川三沙源上游学校高一期中）求下列各式的值．
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
；
（2）.
【变式1-4】（2021·全国高一课时练习）化简求值：（1）；
（2）．
【答案】（1）0；（2）答案见解析.
【解析】（1）
．
（2）①当n为奇数时，原式
；
②当n为偶数时，原式
．
高频考点2 . 给值求值或给值求角问题
【方法点拨】解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．
【例2】（1）（2021·上海市长征中学）已知，且是第二象限角，则的值等于_______
（2）．（2021·海原县第一中学高一月考）已知，则___________.
【答案】（1）（2）
【解析】（1），且是第二象限角，，
．故答案为：．
（2）因为，所以，
则故答案为：
【变式2-1】（2021·上海市建青实验学校高一期中）已知，且是第四象限的角，则_________
【答案】.
【解析】且是第四象限角，，故.
故答案为：.
【变式2-2】（2021·江西新余四中高一月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故选：D.
【变式2-3】（2021·成都市高一月考）若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于（ ）
A． B．± C． D．－
【答案】D
【分析】先用诱导公式求出cos α，再求出sin α即可.
【详解】由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，故sin(2π＋α)＝sin α＝－＝－ (α为第四象限角)．故选：D
【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)根据条件选择合适的公式进行化简计算．
【变式2-4】（2021·淮北市树人高级中学高一期中）若，且α是第三象限角，则（ ）
A．1 B．7 C．-7 D．-1
【答案】B
【解析】由，则.又α是第三象限角，所以，
所以.故选：B.
高频考点3 . 三角函数式的化简问题
【方法点拨】三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．
【例3】（2021·绥德中学高一月考）(1)计算：；
(2)化简：.
【答案】(1)2；(2)1.
【解析】(1)由诱导公式以及特殊角的三角函数值可得，
(2) 由诱导公式可得，
【变式3-1】（2021·全国高一课时练习）化简：=（ ）
A．-sinθ B．sinθ C．cosθ D．-cosθ
【答案】A
【解析】原式=，=，=-sinθ.故选：A
【变式3-2】1．（2021·陕西咸阳市实验中学高一月考（理））（1）化简：
（2）求值：
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）
，
（2）
.
【变式3-3】（2021·陕西省洛南中学高一月考）（1）化简：
（2）求值：
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式；
（2）原式
.
【变式3-4】（2021·陕西高一期末）化简求值：
（1）；（2）．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
高频考点4. 证明三角恒等式的方法
【方法点拨】
(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．
(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．
【例4】（2021·全国·高一课时练习）证明：，．
【答案】证明见解析
【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证．
【详解】证明：当n为偶数时，令，，
左边．
右边，∴左边=右边．
当n为奇数时，令，，
左边
．右边，∴左边=右边．
综上所述，，成立．
【变式4-1】（2021·全国·高一课时练习）求证：.
【答案】证明见解析
【分析】利用诱导公式化简计算即可证得等式成立.
【详解】左边
右边.因此，原等式成立.
【点睛】本题考查利用诱导公式证明三角等式，考查计算能力，属于基础题.
【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用诱导公式化简即可证明；
【详解】证明：左边
=右边，所以原式成立．
【变式4-3】（2021·全国·高一课时练习）求证：=.
【答案】证明见解析
【分析】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证．
【详解】左边===，
右边===，所以等式成立.
【变式4-4】（2021·全国·高一课时练习）求证：.
【答案】证明见解析
【分析】直接利用诱导公式化简即可.
【详解】证明：左边==右边所以原等式成立
高频考点5 . 分类讨论思想在三角函数化简中的应用
【方法点拨】
1.本题型化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．
2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．
【例5】（2021·全国·高二课时练习）若，求的值.
【答案】答案见解析
【分析】通过诱导公式将式子化简，进而结合同角三角函数的平方关系求出答案.
【详解】原式.
当为第一象限角时，原式；
当为第四象限角时，原式.
【变式5-1】（2021·全国·高一课时练习）已知是方程的根．求的值．
【答案】．
【分析】由题意解一元二次方程可求，利用诱导公式化简所求，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．
【详解】由是方程的根，可得或（舍），
原式
．由，可知是第三象限或者第四象限角，
当是第三象限时，，；当是第四象限时，，；
所以或，即所求式子的值为．
【变式5-2】（2021·全国·高二课时练习）化简：.
【答案】
【分析】先利用诱导公式和同角三角函数的关系化简原式，再分析的正负，即得解
【详解】根据诱导公式，原式
又由于, 故原式
由于
当时，；
当时，；
故原式
【变式5-3】已知，f（α）．
（1）化简f（α）；（2）若，求tanα．
【解析】解：（1）f（α）sinα．
（2）∵，∴sin（α），可得cosα，∴α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sinα，tan，
当α是第三象限角时，sinα，tan．
【变式5-4】已知α是第四象限角，f（α）．
（1）化简f（α）．
（2）若cos，求f（α）的值．
【解析】解：（1）f（α）
＝﹣cosα．
（2）因为cos（）＝cos（）＝﹣sinα，所以sinα．
因为α是第四象限角，所以cosα，所以f（α）＝﹣cosα．
高频考点6 . 角的拼凑
【方法点拨】利用角的拼凑，找到两角之间的差值（必为的整数倍），再利用诱导公式诱导即可。
【例6】（1）（2021·江西九江市·九江一中高一期中）已知，则( )
A． B． C． D．
（2）（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））当时，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）∵，，
∴由诱导公式可得，，故选：B.
（2）∵∴，∴，
∴．故选：B
【变式6-1】（2021·江西上饶·高一月考（理））若，则___________.
【答案】
【解析】依题意.故答案为：
【变式6-2】（2021·全国高一课时练习）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，故选：D
【变式6-3】已知cos＝，≤α≤，求sin的值．
解 ∵α＋＝＋，
∴sin＝sin＝cos＝.
反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
【变式6-4】（2021·全国高一课时练习）已知，求的值．
【答案】0
【解析】因为，，
所以，
．所以
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用诱导公式进行化简,再运用特殊角的三角函数值求出结果.
【详解】运用诱导公式可得:
由特殊角的三角函数值可得原式,所以.故选
【点睛】本题考查了利用三角函数的诱导公式进行化简和特殊角的三角函数值求解结果,解答题目时的思路是将负角化为正角,大角化为小角,转化到锐角,然后再计算结果.
2．下列等式中，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合诱导公式一一判断即可.
【详解】对于选项A，根据诱导公式知，，故A错；
对于选项B，根据诱导公式知，，故B错；
对于选项C，根据诱导公式知，，故C正确；
对于选项D，根据诱导公式知，，故D错.
故选：C.
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用诱导公式化简得到，再利用平方关系求出的值得解.
【详解】，
因为，所以.故选：C
【点睛】诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限
用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是纵轴（即轴）上的角，就是 “纵”，是横轴（即轴）上的角，就是“横”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）.
4．若，，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.
【详解】由可得：，
平方得：所以，解得或，
又，所以，故，故选：C
5．（2021·北京市第四十三中学）已知，则（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，，故选：B
6．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由诱导公式求得，然后再由平方关系和诱导公式计算．
【详解】由已知，
，，
所以．故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出，然后再用诱导公式得出，用平方关系得出，这样求解比较方便．
7．已知为第一象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由式子两边平方可算得，又由，即可得到本题答案.
【详解】因为，，，，
所以.故选：B
【点睛】本题主要考查利用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值.
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式计算得到，故，解得答案.
【详解】解：由诱导公式可知，
又得：，所以，
.故选：C.
【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力，是中档题.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2021·建平县实验中学高一期末）（多选）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由，可得，，
，
．故选：BD
10．（2021·重庆市杨家坪中学高一月考）已知，则下列式子恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据三角函数的诱导公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，所以A正确；
由，所以B不正确；
由，所以C正确；
由，所以D不正确.故选：AC.
11．下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】本题可通过诱导公式将转化为，A正确，然后通过诱导公式将转化为，B正确，最后根据以及同角三角函数关系判断出C错误以及D正确.
【详解】A项：，A正确；
B项：因为，
所以，B正确；C项：因为，
所以，C错误；
D项：，D正确，故选：ABD.
【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查的公式有、、、等，考查化归与转化思想，是中档题.
12．给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．成立的条件是角是锐角 B．若（），则
C．若（），则 D．若，则
【答案】CD
【分析】由诱导公式判断选项A错误；对分类讨论得到选项B错误；利用同角商数关系和诱导公式证明选项C正确；由得或．再证明选项D正确.
【详解】由诱导公式二，知时，，所以A错误．
当（）时，，此时，
当（）时，，此时，所以B错误．若（），则，所以C正确．
将等式两边平方，得，所以或．
若，则，此时；
若，则，此时，
故，所以D正确．故选CD
【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值和同角三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知角终边与单位圆的交点为，则________；________．
【答案】
【分析】根据三角函数定义直接求解，利用诱导公式求.
【详解】由终边与单位圆的交点可知，，，
所以.故答案为：；
14．（2021·全国高一课时练习）已知，且，则________．
【答案】
【解析】因为，所以，
又，， 所以，，
所以．故答案为：．
15．（2021·河南新乡县高中高一月考）已知α为第二象限角，且则的值为______.
【答案】
【解析】由，得，得或.
α为第二象限角，，.答案：.
16．若等式对于任意恒成立，则__________．
【答案】
【分析】首选根据为偶数或奇数进行分类讨论，然后再奇数的情况中再分和两种情况进行讨论，在化简得过程中结合诱导公式即可求出结果.
【详解】（1）当为偶数时，或，故，所以不成立；
（2）当为奇数时，或，
①当时，
，符合题意；
②当时，
，不符合题意；
综上：，故答案为：
所以与的终边相同即，故，答案：.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．化简：（1）；（2）cos20°+cos160°+sin1866°sin(606°).
【答案】（1）1；（2）0.
【分析】分别利用诱导公式即可得出结果．
【详解】（1）原式1；
（2）原式＝cos20°﹣cos20°+sin（5×360°+66°）﹣sin（﹣2×360°+114°）
＝sin66°﹣sin114°＝sin66°﹣sin（180°﹣66°）＝sin66°﹣sin66°＝0．
18．（2021·上海·高一课时练习）已知A、B、C是的三个内角，求证；
（1）； （2）.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【分析】(1)根据，结合诱导公式即可证明；
(2)根据，结合诱导公式即可证明.
【详解】(1).
(2)
.
19．（2021·福建·三明市第二中学高三月考）已知.
（1）若，求的值；（2）若，求的值.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）利用诱导公式化简得出，分角为第一象限角和第四象限角两种情况讨论，结合同角三角函数基本关系可求得结果；
（2）利用诱导公式可求得结果.
【详解】（1），，
当为第一象限角时，，；
当为第四象限角时，，；
（2），且，
所以，.
20．已知关于x的方程的两根为和，.求；
（1）m的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值.
【答案】（1）；（2）；（3）或，或.
【分析】（1）由根与系数关系可得的值，利用平方关系，即可求出的值；（2）将所求的式子利用诱导公式化简后，化切为弦，转化为关系，利用（1）的结论即可求解；
（3）将的值代入方程，可求出方程两根，得到的值，即可求出结论.
【详解】(1)由根与系数的关系可知，，① .②
将①式平方得，所以，代入②得.，经检验满足.
（2）
（3）由可解方程：，得两根和.
∴或∵，∴或.
21．（2021·上海·高一）若，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】分为偶数和为奇数讨论，利用诱导公式化简即可证明；
【详解】证明：若为偶数，则左边；
若为奇数，则左边；
左边=右边，所以原式成立.
【点睛】本题考查利用诱导公式化简证明，注意对的奇偶的讨论，是中档题.
22．（2021·河南高一期中）已知，且，为方程的两根．
（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，则，，
，得．
（2）
，
，且，，则，，
，则，故原式
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5.3 诱导公式
【学习要求】
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
【思维导图】
【知识梳理】
1．诱导公式二
终边关系 图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式 sin(π＋α)＝－sinα cos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα
2．诱导公式三
终边关系 图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式 sin(－α)＝－sinα cos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα
3．诱导公式四
终边关系 图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式 sin(π－α)＝sinα cos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα
【注】1.公式一～四中的角α是任意角．2．公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：
(1)记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin(π＋α)＝－sinα．
3．诱导公式的作用
(1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题．(2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数．(3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
4．诱导公式五、六如下表：
公式五 sin(－α)＝cosα cos(－α)＝sinα
公式六 sin(＋α)＝cosα cos(＋α)＝－sinα
公式五和公式六可以概括为：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
【注】1.对诱导公式五、六的两点说明
(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
2．对诱导公式一～六的两点说明
(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．
(2)公式一～六的记忆口决和说明
①口诀：奇变偶不变，符号看象限．②说明：
【高频考点】
高频考点1. 利用诱导公式解决给角求值问题
【方法点拨】利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
【例1】（2021·贺州市桂东高级中学高一月考）计算：
（1）；（2）.
【变式1-1】（2021·陕西）的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021·银川三沙源上游学校高一期中）求下列各式的值．
（1）；（2）.
【变式1-4】（2021·全国高一课时练习）化简求值：（1）；
（2）．
高频考点2 . 给值求值或给值求角问题
【方法点拨】解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．
【例2】（1）（2021·上海市长征中学）已知，且是第二象限角，则的值等于_______
（2）（2021·海原县第一中学高一月考）已知，则_______.
【变式2-1】（2021·上海市建青实验学校高一期中）已知，且是第四象限的角，则_________
【变式2-2】（2021·江西新余四中高一月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2021·成都市高一月考）若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于（ ）
A． B．± C． D．－
【变式2-4】（2021·淮北市树人高级中学高一期中）若，且α是第三象限角，则（ ）
A．1 B．7 C．-7 D．-1
高频考点3 . 三角函数式的化简问题
【方法点拨】三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．
【例3】（2021·绥德中学高一月考）(1)计算：；
(2)化简：.
【变式3-1】（2021·全国高一课时练习）化简：=（ ）
A．-sinθ B．sinθ C．cosθ D．-cosθ
【变式3-2】1．（2021·陕西咸阳市实验中学高一月考（理））（1）化简：
（2）求值：
【变式3-3】（2021·陕西省洛南中学高一月考）（1）化简：
（2）求值：
【变式3-4】（2021·陕西高一期末）化简求值：
（1）；（2）．
．
高频考点4. 证明三角恒等式的方法
【方法点拨】
(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．
(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．
【例4】（2021·全国·高一课时练习）证明：，．
【变式4-1】（2021·全国·高一课时练习）求证：.
【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）求证：．
【变式4-3】（2021·全国·高一课时练习）求证：=.
【变式4-4】（2021·全国·高一课时练习）求证：.
高频考点5 . 分类讨论思想在三角函数化简中的应用
【方法点拨】
1.本题型化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．
2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．
【例5】（2021·全国·高二课时练习）若，求的值.
【变式5-1】（2021·全国·高一课时练习）已知是方程的根．求的值．
【变式5-2】（2021·全国·高二课时练习）化简：.
【变式5-3】已知，f（α）．（1）化简f（α）；（2）若，求tanα．
【变式5-4】已知α是第四象限角，f（α）．
（1）化简f（α）．（2）若cos，求f（α）的值．
高频考点6 . 角的拼凑
【方法点拨】利用角的拼凑，找到两角之间的差值（必为的整数倍），再利用诱导公式诱导即可。
【例6】（1）（2021·江西九江市·九江一中高一期中）已知，则( )
A． B． C． D．
（2）（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））当时，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2021·江西上饶·高一月考（理））若，则___________.
【变式6-2】（2021·全国高一课时练习）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知cos＝，≤α≤，求sin的值．
【变式6-4】（2021·全国高一课时练习）已知，求的值．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．的值是（ ）
A． B． C． D．
2．下列等式中，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
5．（2021·北京市第四十三中学）已知，则（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．
6．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知为第一象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2021·建平县实验中学高一期末）（多选）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·重庆市杨家坪中学高一月考）已知，则下列式子恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
12．给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．成立的条件是角是锐角 B．若（），则
C．若（），则 D．若，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知角终边与单位圆的交点为，则________；________．
14．（2021·全国高一课时练习）已知，且，则________．
15．（2021·河南新乡县高中高一月考）已知α为第二象限角，且则的值为______.
16．若等式对于任意恒成立，则__________．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．化简：（1）；（2）cos20°+cos160°+sin1866°sin(606°).
18．（2021·上海·高一课时练习）已知A、B、C是的三个内角，求证；
（1）； （2）.
19．（2021·福建·三明市第二中学高三月考）已知.
（1）若，求的值；（2）若，求的值.
20．已知关于x的方程的两根为和，.求；
（1）m的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值.
21．（2021·上海·高一）若，求证：.
22．（2021·河南高一期中）已知，且，为方程的两根．
（1）求的值；（2）求的值．
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