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5.4 三角函数的图象与性质
【学习要求】
1、了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；
2、掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象。
3、理解正弦、余弦函数在区间上的性质(单调性、周期性、最大值和最小值及与轴的交点等)．
4、能画出的图象，并能借助图象理解在上的性质；
【思维导图】
【知识梳理】
1．正、余弦函数解析式
函数 解析式 定义域
正弦函数 y＝sinx R
余弦函数 y＝cosx R
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：利用正弦线画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，是把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象．
(2)五点法：用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象的步骤是：
①列表：
x 0 π 2π
y＝sinx 0 1 0 －1 0
②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)， (，1) ，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
③用光滑的曲线顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图．
3．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
(2)图象：如图所示．
4．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sinx y＝cosx
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
【注】1）对周期函数的两点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(x∈Z)．从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．
2）对函数最小正周期的两点说明
(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin2x的最小正周期是π，因为y＝sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x．
5．正弦函数的图象与性质
正弦函数的图象与性质如下表所示：
解析式 y＝sinx
图象
定义域 R 当x＝ 2kπ＋(k∈Z) 时，y取最大值1
值域 [－1，1] 当x＝ 2kπ－(k∈Z) 时，y取最小值1
最小正周期 2π
奇偶性 奇函数
单调性 在 上是增函数；在 上是减函数(k∈Z)
6．余弦函数的图象与性质
余弦函数的图象与性质如下表所示：
解析式 y＝cosx
图象
定义域 R 当x＝ 2kπ(k∈Z) 时，y取最大值1
值域 [－1，1] 当x＝ 2kπ＋π(k∈Z) 时，y取最小值1
最小正周期 2π
奇偶性 偶函数
单调性 在[(2kπ－1)π，2kπ]上是增函数；在[2kπ，(2k＋1)π]上是减函数(k∈Z)
7.正切函数的图象与性质
(1)图象：如图所示．
正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线．
(2)性质：如下表所示.
函数性质 y＝tanx
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 增区间 (k∈Z)
减区间 无
[拓展](1)正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)直线x＝＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线．
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝．
【高频考点】
高频考点1. “五点法”作三角函数图象
【方法点拨】用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
x 0 π π 2π
sinx或cosx 0或1 1或0 0或－1 －1或0 0或1
y y1 y2 y3 y4 y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(，y2)，(π，y3)，(，y4)，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
【例1】（2021·上海高一课时练习）用五点法作下列函数的图象：
（1）； （2）．
【答案】(1)图象见解析；(2)图象见解析.
【解析】(1)列表：
x 0
y=sinx 0 -1 0 1 0
描点，连线，画图如下：
(2)列表：
x 0
y=cosx 1 0 -1 0 1
描点，连线，画图如下：
【变式1-1】（2021·全国高一课时练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1）；（2）；（3）.
【答案】答案见解析
【解析】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象.
（2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象.
（3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象.
【变式1-2】（2021·全国高一课时练习）作出函数在上的图象.
【答案】答案见解析
【解析】令，列表如下：
X 0
x
y 0 0 0
描点连线得图象如图所示.
【变式1-3】（2021·全国高一课时练习）用“五点法”作下列函数的简图.
（1）；（2）.
【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析.
【解析】（1）列表如下：
描点连线如图：
（2）列表如下：
描点连线如图：
【变式1-4】请用五点法作出函数在长度为一个周期上的大致图象．
【解析】解：令0，，π，，2π，分别解得x，，，，，
列表：
x
y 0 3 0 ﹣3 0
描点作图：
．
高频考点2 . 利用正、余弦函数的图象解三角不等式
【方法点拨】1.用三角函数的图象解sinx>a(或cosx>a)的方法：(1)作出直线y＝a，作出y＝sinx(或y＝cosx)的图象．(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．(3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集．
2．利用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法：(1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在的位置．(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
【例2】（1）（2021·全国高一课时练习）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·陕西省洛南中学高一月考）在上，满足的的取值范围（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·北京景山学校远洋分校高一期中）若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】（1）B（2）C（3）C
【解析】（1）函数图象如下所示：
，不等式的解集为：．故选：．
（2）作出和在的函数图象，
根据函数图象可得满足的的取值范围为.故选：C.
（3）在上，，因此在上，的解是，．
故选：C．
【变式2-1】（2021·全州县第二中学高一期中）使得正确的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出与的图象，如图：
由图可知，若，其中满足，故选：A
【变式2-2】（2021·全国高一课时练习）函数的定义域是________.
【答案】
【解析】由得，
作出的图象和直线，
由图象可知的解集为，
故答案为：.
【变式2-3】（2021·上海）函数的定义域为______.
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，即，所以.
故答案为：.
【变式2-4】（2021·上海高一专题练习）利用图象，不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】函数图象如下所示：
令，则，解得；
令，则，解得，
因为，所以，即原不等式的解集为，故答案为：.
高频考点3. 三角函数的周期
【方法点拨】求三角函数周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内
的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求；对形如y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求．
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
【例3】（1）（2021·济源市第五中学）下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin
（2）（2021·江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）B
【解析】（1）函数y=sinx，y=cosx的最小正周期均为，A，B都不正确；
函数y=tanx的最小正周期为，C正确；函数y=sin的最小正周期为，D不正确.故选：C
（2）①的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
但不是周期函数，排除①；
②的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期是，②正确；
③的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，③正确；
④的图象如下，据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期，
排除④.故选：B.
【变式3-1】（2021·上海市进才中学高一期中）已知函数的最小正周期为，则_____.
【答案】
【解析】因为函数的最小正周期为，所以，所以.故答案为：
【变式3-2】（2021·北京北师大实验中学高一期中）在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ）
A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【解析】∵=，∴==；
图象是将=在轴下方的图象对称翻折到轴上方得到，
所以周期为，由周期公式知，为，为，故选：C.
【变式3-3】（2021·齐河县第一中学高一期中）下列函数周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】的最小正周期为；
由的图象是由y=cos x的图象将x轴上方的部分保持不变，下方的部分向上翻转而得到，由图象可知其周期为；
的最小正周期为；的最小正周期为.故选：BCD.
【变式3-4】（2021·全国）若函数的周期不大于1，则正整数k的最小值为___________．
【答案】19
【解析】因为函数的周期不大于1，所以，解得，
所以正整数k的最小值为19，故答案为：19
高频考点4. 三角函数奇偶性的判断
【方法点拨】1.判断函数奇偶性的常用方法：
(1)定义法，即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．
(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．
(3)验证法，即验证f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0(或＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．
2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．
【例4】（1）（2021·上海浦东新·高一月考）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高一课时练习）已知函数是奇函数，当时的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）B
【解析】（1）四个函数的最小正周期都是，是奇函数，
是偶函数，
，时，，函数图象不过原点，也不关于轴对称，既不是奇函数也不是偶函数，是偶函数．故选：A．
（2）函数是奇函数，故，对照选项只有k =0时，选项B符合题意故选：B
【变式4-1】（2021·上海市实验学校高一期中）函数（ ）
A．是奇函数，也是周期函数； B．是奇函数，不是周期函数；
C．是偶函数，也是周期函数； D．是偶函数，不是周期函数.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，
因为的图象将的图象在轴左边的去掉，轴右边的关于对称后与轴右边的共同组成的图象，如图所示，不具有周期性，故选：D
【变式4-2】（2021·辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数______．
【答案】
【解析】因为函数的周期为，所以函数的周期为1.
故答案为：.（答案不唯一）
【变式4-3】（2021·陕西高一期末）下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.函数的定义域为，满足，所以函数是偶函数，故错误；
B. 函数的定义域为，满足，所以函数是偶函数，故错误；
C. 函数的定义域为，满足，所以函数是奇函数，故正确；
D. 函数的定义域为，函数既不满足，也不满足，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故错误.故选：C
【变式4-4】（2021·长宁·上海市延安中学高一期中）已知函数是偶函数，若，则_________
【答案】
【解析】因为函数是偶函数，，。
又， 故答案为：
高频考点5 . 三角函数的单调性
【方法点拨】求解与三角函数有关的函数的单调区间，主要利用换元法，将其转化为求正弦函数、余弦函数、正切函数的单调区间，然后利用这两个函数的单调区间构造不等式，通过解不等式(组)即可得到所求函数的单调区间．
【例5】（1）（2021·全国高一课时练习）函数的单调增区间是_________.
（2）（2021·长宁·上海市延安中学高一期中）函数单调减区间为_______
（3）（2021·上海杨浦·复旦附中高一期中）函数的单调递增区间为_________
（4）（2021·上海市长征中学）若在上为严格减函数，则的最大取值为_______
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】（1）函数，令，
解得.故答案为：
（2）正弦函数的单调递减区间为，
由，得，
记，则，故答案为：.
（3），所以，
解得，所以单调递增区间为
故答案为：
（4），，函数在区间上为严格减函数，
，且，，所以的最大取值为.故答案为：
【变式5-1】（2021·镇雄县第四中学高一月考）已知函数.则函数的单调递减区间是___________.
【答案】
【解析】∵的减区间是，∴，
得出，∴的递减区间是.
故答案为：
【变式5-2】（2021·六盘山高级中学）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的单调递增区间为，
所以，解得，
所以函数的单调增区间为.故选：B
【变式5-3】（2021·北京海淀·）下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A，，，由余弦函数的单调递增区间可得，
解得，当时，，故A正确；B，，，
由余弦函数的单调递增区间可得，
解得，显然在区间上不单调，故B错误；
C，，，故C错误；D，，，故D错误；故选：A
【变式5-4】（2021·上海浦东新·华师大二附中高一期中）已知函数在上不单调，则的最小值为___________.
【答案】3
【解析】函数在上不单调，
当函数为单调递增时，即，整理得：，，
由于函数在上单调递增时，，即：，
整理得：当时，；①当函数单调递减时；，
整理得：，，由于函数在上单调递减时，，即，
整理得：当时，，②由于函数在上不单调，且，
所以的取值为①②所表示的不等式的补集，，所以的最小值为3．故答案为：3．
高频考点6 . 三角函数的对称性（对称轴、对称中心）
【方法点拨】求y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) 或y＝Atan(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．
【例6】（1）（2021·山东高一课时练习）函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称
（2）（2021·北京景山学校远洋分校高一期中）设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D（2）B
【解析】（1）由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为，令，得，，
当时，，易知C错误，D正确；故选：D
（2）因为函数的最小正周期为，
所以，解得所以，
所以当时，，不是函数的对称轴，故错误；
当时，，是函数的对称轴，故正确；
当时，，不是函数的对称轴，故错误；
当时，，不是函数的对称轴，故错误；故选：B
【变式6-1】（2021·北京市昌平区实验学校高一期中）函数图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A：将代入可得，故不是函数的对称轴，故选项A不正确；
对于B：将代入可得，故不是函数的对称轴，故选项B不正确；
对于C：将代入可得，故是函数的对称轴，
故选项C正确；
对于D：将代入可得，故不是函数的对称轴，故选项D不正确；故选：C.
【变式6-2】（2021·全国）函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，可得．
所以当时，，故满足条件，
当时，，故满足条件；故选：D
【变式6-3】（2021·山东威海·高一期末）如果函数的图象关于点对称，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，则，解得，
∴当时，的最小值为.故选：B
【变式6-4】（2021·山西实验中学高一开学考试）下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线成轴对称
【答案】ACD
【解析】A项：令，即，
函数的单调递增区间为，A错误；
B项：最小正周期，B正确；C项：令，即，
函数关于点成中心对称，C错误；
D项：正切函数没有对称轴，则函数也没有对称轴，D错误，故选：ACD.
高频考点7 . 与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题
【方法点拨】
1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y．
综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sinx的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性．
【例7】（1）（2021·全国高一单元测试）在上的值域为________．
（2）（2021·全国高一课时练习）函数的最大值为________．
（3）（2021·安徽省太和中学高一月考）已知函数在上的值域为，则实数m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）（2）（3）C
【解析】（1），，即，即，故答案为：．
（2）令，则可得，函数化为，
当时，.故答案为：.
（3）因为，所以，因为函数在上的值域为，所以，解得．故选：C
【变式7-1】（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高一期中）函数在区间上的值域是___________．
【答案】
【解析】当时，，∴，故，
即的值域为.故答案为：.
【变式7-2】（2021·上海徐汇·位育中学高一期中）函数的值域为________．
【答案】
【解析】设，则，
，当时，；当时，；
因此，函数的值域是，．故答案为：，．
【变式7-3】（2021·北京四中）已知函数，若不等式在区间上有解，则的最小值为______.
【答案】
【解析】∵函数，若不等式在区间上有解，
∴≥1在区间上有解，即当时，≥1能成立
∵，∴，∴则m的最小值为.故答案为:
【变式7-4】（2021·天水市第一中学高一期中）函数的值域为____________
【答案】
【解析】因为 令，则
所以，所以，故函数的值域为故答案为：
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·北京丰台·高一期中）函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的最小正周期是，因此相邻两条对称轴之间的距离是．
故选：C．
2．（2021·河南平顶山·高一期末）函数的图象在轴右侧且距轴最近的对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，，时，即为所求．故选：C．
3．（2021·齐河县第一中学高一月考）的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由的对称中心为，令，可得.故选：D
4.（2021·河南新乡县高中高一月考）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，令，
解得：，
所以函数的单调递增区间为
即函数的单调递增区间为，故选：C.
5.（2021·江西新余·高一月考）已知的定义域是，则的定义域为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】的定义域是，故由可得，
解得，
因此，函数的定义域为.故选：A.
6．关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）
A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点
C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点
【答案】B
【分析】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像，根据交点的个数直接判断即可.
【详解】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像如图示：
根据图像，进行判断：对于A：当t=2时，有一个交点，故A错误；
对于B：当或时，有1个交点，故B正确；
对于C：当，有2个交点，当，有1个交点，故C错误；
对于D：当，有1个交点，故D错误.故选：B
7．（2021·陕西高一期末）已知函数在区间上的最小值小于零，则可取的最小正整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】A：，所以，则不存在最小值，不合题意，故A错误；B：，所以，则不存在最小值，不合题意，故B错误；C：，所以，则不存在最小值，不合题意，故C错误；D：，所以，当时， ，符合题意，故D正确；
故选：D.
8．（2021·安徽池州·高一期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以的单调减区间为，
所以，所以，解得，且，
则，则的取值范围是，故选：C.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·蚌埠田家炳中学高一月考）下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，最小正周期为；
对于B，，最小正周期为；
对于C，，最小正周期为；
对于D，，最小正周期为，故选 ：ABC
10．下列函数中最大值为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据基本初等函数的性质判断可得；
【详解】解：对于A：函数值域为，故A正确；
对于B：函数的值域为，故B正确；
对于C：函数的值域为，故C错误；
对于D：函数的值域为，故D正确；故选：ABD
11．（2021·浙江高一期末）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线成轴对称
【答案】BC
【解析】，
令，得，
∴时，，所以在上单调递减，A错误.
由上知：最小正周期为，B正确.
当时有，所以关于点成中心对称，C正确.
由正切函数的性质知：正切函数无对称轴，D错误.故选：BC
12．已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．的最小正周期为
C．的值域为 D．在上单调递减
【答案】ABC
【分析】对于选项A，利用偶函数的定义证明是正确的；对于选项B，，利用周期公式得该选项正确；对于选项C，求出的值域为，故该选项正确；对于选项D,可以利用复合函数的单调性判断该选项错误.
【详解】对于选项A，定义域为，，即为偶函数，所以该选项正确；
对于选项B，，的最小正周期为，故该选项正确；
对于选项C，，则当时，的最大值为，当时，的最小值为1，所以的值域为.故该选项正确；
对于选项D，，时，，，，令，则在，上不是单调函数，再由复合函数的单调性可得，在，上不是单调函数，故该选项错误.故选：ABC
【点睛】解答本题的关键是判断选项D的真假. 关键一：先把函数化成；关键二：能利用复合函数的单调性判断.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海）若函数是偶函数，则___________.
【答案】
【解析】因为函数为偶函数，则，
所以，
整理得，解得，经检验，m的值符合题意 故答案为: .
14．已知函数和函数的图像交于、、三点，则的面积为____．
【答案】
【分析】联立方程组，求出交点坐标，利用三角形的面积公式求出面积.
【详解】由，得或，因为，所以或或，
所以函数与函数图像的交点为，，，所以的面积故答案为：.
15．（2021·建平县实验中学）已知函数，在内的值域为，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】函数，当时，，又，
，画出图形如图所示；
所以，解得，的取值范围是．故答案为：
16．（2021·上海市奉贤中学高一期中）函数在区间上的 最小值是，则的最大值为________．
【答案】
【解析】函数
若在区间，上的最小值为，则由，解得，
又，，故答案为：．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（1）求满足的的取值范围；（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在上,当时,；当时,
在上,单调递增,当时,
正切函数的最小正周期是,
满足的的取值范围是．
（2）设,在上,当时,；
在上,单调递增,
当时, ,即，
，所以原不等式的解集为
18．已知函数（）的最小正周期为．
（1）求的值及函数的定义域；（2）若，求的值．
【答案】（1）,；（2）．
【解析】(1)因为函数的最小正周期为，
所以，解得．令，，所以，，
所以的定义域为|，；
（2）解：因为，即，，解得，．
19.已知函数f（x）＝cos（2x）．（1）求函数f（x）的单调递减区间．
（2）用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的简图．
【解析】解：（1）∵令2kπ≤2x2kπ+π，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z，
∴函数的单调递减区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，
（2）f（x）＝cos（2x）．列表：
x
2x 0 π 2π
y 0 1 0 ﹣1 0
描点、连线如图所示：
20．若 的最小值为 .（1）求 的表达式；
（2）求能使 的值，并求当 取此值时，的最大值.
【答案】（1）；（2）的最大值为
【解析】（1）
若，即，则当时，有最小值，；
若，即，则当时，有最小值，
若，即，则当时，有最小值，
所以；
（2）若，由所求的解析式知或
由或（舍）；由（舍）
此时，得，
所以时，，此时的最大值为.
21．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求与的值；（2）若，求的值.
【答案】（1），；（2）
【解析】解：（1）因的图象上相邻两个最高点的距离为，
∴的最小正周期，从而.
又因的图象关于直线对称，∴.
∵，∴，此时.
（2）由（1）得，∴，
由得，∴，
∴
.
22．已知函数(1)当时,求函数的单调递减区间；
(2)对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等实根，求实数的值；(3)在(2)的条件下,若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）1；（3）.
【解析】（1）当时，令，，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）因为对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等实根，
所以在为任意实数，有两不等实根，
所以,即.
（3）因为，所以，
故，又因为恒成立，所以恒成立，
所以，解得.
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5.4 三角函数的图象与性质
【学习要求】
1、了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；
2、掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象。
3、理解正弦、余弦函数在区间上的性质(单调性、周期性、最大值和最小值及与轴的交点等)．
4、能画出的图象，并能借助图象理解在上的性质；
【思维导图】
【知识梳理】
1．正、余弦函数解析式
函数 解析式 定义域
正弦函数 y＝sinx R
余弦函数 y＝cosx R
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：利用正弦线画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，是把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象．
(2)五点法：用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象的步骤是：
①列表：
x 0 π 2π
y＝sinx 0 1 0 －1 0
②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)， (，1) ，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
③用光滑的曲线顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图．
3．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
(2)图象：如图所示．
4．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sinx y＝cosx
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
【注】1）对周期函数的两点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(x∈Z)．从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．
2）对函数最小正周期的两点说明
(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin2x的最小正周期是π，因为y＝sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x．
5．正弦函数的图象与性质
正弦函数的图象与性质如下表所示：
解析式 y＝sinx
图象
定义域 R 当x＝ 2kπ＋(k∈Z) 时，y取最大值1
值域 [－1，1] 当x＝ 2kπ－(k∈Z) 时，y取最小值1
最小正周期 2π
奇偶性 奇函数
单调性 在 上是增函数；在 上是减函数(k∈Z)
6．余弦函数的图象与性质
余弦函数的图象与性质如下表所示：
解析式 y＝cosx
图象
定义域 R 当x＝ 2kπ(k∈Z) 时，y取最大值1
值域 [－1，1] 当x＝ 2kπ＋π(k∈Z) 时，y取最小值1
最小正周期 2π
奇偶性 偶函数
单调性 在[(2kπ－1)π，2kπ]上是增函数；在[2kπ，(2k＋1)π]上是减函数(k∈Z)
7.正切函数的图象与性质
(1)图象：如图所示．
正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线．
(2)性质：如下表所示.
函数性质 y＝tanx
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 增区间 (k∈Z)
减区间 无
[拓展](1)正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)直线x＝＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线．
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝．
【高频考点】
高频考点1. “五点法”作三角函数图象
【方法点拨】用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
x 0 π π 2π
sinx或cosx 0或1 1或0 0或－1 －1或0 0或1
y y1 y2 y3 y4 y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(，y2)，(π，y3)，(，y4)，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
【例1】（2021·上海高一课时练习）用五点法作下列函数的图象：
（1）； （2）．
【变式1-1】（2021·全国高一课时练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1）；（2）；（3）.
【变式1-2】（2021·全国高一课时练习）作出函数在上的图象.
【变式1-3】（2021·全国高一课时练习）用“五点法”作下列函数的简图.
（1）；（2）.
【变式1-4】请用五点法作出函数在长度为一个周期上的大致图象．
高频考点2 . 利用正、余弦函数的图象解三角不等式
【方法点拨】1.用三角函数的图象解sinx>a(或cosx>a)的方法：(1)作出直线y＝a，作出y＝sinx(或y＝cosx)的图象．(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．(3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集．
2．利用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法：(1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在的位置．(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
【例2】（1）（2021·全国高一课时练习）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·陕西省洛南中学高一月考）在上，满足的的取值范围（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·北京景山学校远洋分校高一期中）若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2-1】（2021·全州县第二中学高一期中）使得正确的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·全国高一课时练习）函数的定义域是________.
【变式2-3】（2021·上海）函数的定义域为______.
【变式2-4】（2021·上海高一专题练习）利用图象，不等式的解集为____________.
高频考点3. 三角函数的周期
【方法点拨】求三角函数周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内
的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求；对形如y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求．
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
【例3】（1）（2021·济源市第五中学）下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin
（2）（2021·江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021·上海市进才中学高一期中）已知函数的最小正周期为，则_____.
【变式3-2】（2021·北京北师大实验中学高一期中）在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ）
A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【变式3-3】（2021·齐河县第一中学高一期中）下列函数周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2021·全国）若函数的周期不大于1，则正整数k的最小值为___________．
高频考点4. 三角函数奇偶性的判断
【方法点拨】1.判断函数奇偶性的常用方法：
(1)定义法，即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．
(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．
(3)验证法，即验证f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0(或＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．
2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．
【例4】（1）（2021·上海浦东新·高一月考）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高一课时练习）已知函数是奇函数，当时的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2021·上海市实验学校高一期中）函数（ ）
A．是奇函数，也是周期函数； B．是奇函数，不是周期函数；
C．是偶函数，也是周期函数； D．是偶函数，不是周期函数.
【变式4-2】（2021·辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数______．
【变式4-3】（2021·陕西高一期末）下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2021·长宁·上海市延安中学高一期中）已知函数是偶函数，若，则_________
高频考点5 . 三角函数的单调性
【方法点拨】求解与三角函数有关的函数的单调区间，主要利用换元法，将其转化为求正弦函数、余弦函数、正切函数的单调区间，然后利用这两个函数的单调区间构造不等式，通过解不等式(组)即可得到所求函数的单调区间．
【例5】（1）（2021·全国高一课时练习）函数的单调增区间是_________.
（2）（2021·长宁·上海市延安中学高一期中）函数单调减区间为_______
（3）（2021·上海杨浦·复旦附中高一期中）函数的单调递增区间为_________
（4）（2021·上海市长征中学）若在上为严格减函数，则的最大取值为_______
【变式5-1】（2021·镇雄县第四中学高一月考）已知函数.则函数的单调递减区间是___________.
【变式5-2】（2021·六盘山高级中学）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2021·北京海淀·）下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2021·上海浦东新·华师大二附中高一期中）已知函数在上不单调，则的最小值为___________.
高频考点6 . 三角函数的对称性（对称轴、对称中心）
【方法点拨】求y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) 或y＝Atan(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．
【例6】（1）（2021·山东高一课时练习）函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称
（2）（2021·北京景山学校远洋分校高一期中）设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2021·北京市昌平区实验学校高一期中）函数图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2021·全国）函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2021·山东威海·高一期末）如果函数的图象关于点对称，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2021·山西实验中学高一开学考试）下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线成轴对称
高频考点7 . 与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题
【方法点拨】
1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y．
综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sinx的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性．
【例7】（1）（2021·全国高一单元测试）在上的值域为________．
（2）（2021·全国高一课时练习）函数的最大值为________．
（3）（2021·安徽省太和中学高一月考）已知函数在上的值域为，则实数m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高一期中）函数在区间上的值域是___________．
【变式7-2】（2021·上海徐汇·位育中学高一期中）函数的值域为________．
【变式7-3】（2021·北京四中）已知函数，若不等式在区间上有解，则的最小值为______.
【变式7-4】（2021·天水市第一中学高一期中）函数的值域为____________
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·北京丰台·高一期中）函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河南平顶山·高一期末）函数的图象在轴右侧且距轴最近的对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·齐河县第一中学高一月考）的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
4.（2021·河南新乡县高中高一月考）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
5.（2021·江西新余·高一月考）已知的定义域是，则的定义域为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）
A．当或，有0个交点 B．当或时，有1个交点
C．当，有2个交点 D．当时，有2个交点
7．（2021·陕西高一期末）已知函数在区间上的最小值小于零，则可取的最小正整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021·安徽池州·高一期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·蚌埠田家炳中学高一月考）下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数中最大值为1的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·浙江高一期末）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线成轴对称
12．已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．的最小正周期为
C．的值域为 D．在上单调递减
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海）若函数是偶函数，则___________.
14．已知函数和函数的图像交于、、三点，则的面积为____．
15．（2021·建平县实验中学）已知函数，在内的值域为，则的取值范围为___________.
16．（2021·上海市奉贤中学高一期中）函数在区间上的 最小值是，则的最大值为________．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（1）求满足的的取值范围；（2）求不等式的解集．
18．已知函数（）的最小正周期为．
（1）求的值及函数的定义域；（2）若，求的值．
19.已知函数f（x）＝cos（2x）．（1）求函数f（x）的单调递减区间．
（2）用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的简图．
20．若 的最小值为 .（1）求 的表达式；
（2）求能使 的值，并求当 取此值时，的最大值.
21．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求与的值；（2）若，求的值.
22．已知函数(1)当时,求函数的单调递减区间；
(2)对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等实根，求实数的值；(3)在(2)的条件下,若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.
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