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5.7 三角函数的应用
【学习要求】
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要模型；
2．会用三角函数模型解决简单的实际问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义
物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关：
(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；
(2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期(period)；
(3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率(frequency)；
(4)ωx＋φ：称为相位(phase)；
(5)φ：x＝0时的相位，称为初相(initial phase)．
知识延伸：当A<0或ω<0时，应先用诱导公式将三角函数符号前的数或x的系数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin(2x－)的初相不是φ＝－，∵A＝－1<0，y＝－sin(2x－)＝sin[π＋(2x－)]＝sin(2x＋)，∴初相φ＝．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
名称 性质
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称性 对称中心(，0)(k∈Z)
对称轴 x＝＋(k∈Z)
奇偶性 当φ＝kπ (k∈Z)时是奇函数当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间由2kπ＋≤2ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
【高频考点】
高频考点1. 圆周运动
【方法点拨】解决函数图象与解析式对应问题的策略
利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ．
【例1】（2021·河北沧州市一中高一开学考试）如图，某公园摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻时点距离地面的高度，求时点距离地面的高度；（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？
【变式1-1】（2021·江苏国高一课时练习）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，函数单调递增.
C．当时，函数最小值为. D．当9时，
【变式1-2】（2021·佛山市南海区罗村高级中学高一月考）如图，某摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处，则（米）关于（分钟）的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2021·山东高一月考）（多选）如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始（图中点）开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．不论为何值，是定值
【变式1-4】（2021·广东高一期末）一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
高频考点2 . 几何问题
【方法点拨】解决与三角函数模型相关问题，关键是将实际问题转化为三角函数模型．
几何问题主要考查长度、面积类的最值，该题型需要引入合理的变量（长度或角度），一般若选择角度为变量就转化三角函数解决，若选择长度为变量转化为其他函数解决。
【例2】（2021·江苏高一期中）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进后到达D处，休息后继续行驶到达山顶B．
（1）求山的高度；（2）现山顶处有一塔从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为若点P处高度，则x为何值时，视角最大？
【变式2-1】（2021·安徽芜湖一中高一月考）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.
【变式2-2】（2021·全国）达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2021·江苏高一专题练习）圣·索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL)是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如左图．某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，测得建筑物的高度为h，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处可以测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别为和，在楼顶A处可测得塔顶C的仰角为，且与都垂直地面，如右图，那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？（结果用h，，，表示）
【变式2-4】（2021·江苏高一期中）如图，在扇形POQ中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记．
（1）当时，求矩形ABCD的面积；
（2）求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
高频考点3 . 其他问题
【方法点拨】三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)来表示运动的位置y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
【例3】（2021·全国高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：
（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象.
（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
【变式3-1】（2021·全国高一课时练习）在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如表所示：
日期 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日
日期位置序号
存活时间小时
（1）试选用一个形如的函数来近似描述一年（按天计）中该细菌一天内存活的时间与日期位置序号之间的函数解析式.（2）用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于小时.
【变式3-2】（2021·广东铁一中学高一月考）“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造．如图，在道路北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段是函数的图象，且图象的最高点为．中间部分是长为1千米的直线段，且．新步道的最后一部分是以原点O为圆心的一段圆弧．
（1）试确定的值；（2）若计划在扇形区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边紧靠道路，顶点Q落在半径上，另一顶点P落在圆弧上．记，请问矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？
【变式3-3】（2021·山东潍坊·高一期中）潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同．
下表给出了某沿海港口在一天（24小时）中海水深度的部分统计数据：
时间（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
水深（米） 13.4 14 13.4 12 10 8 6.6 6 6.6 8 10 12 13
（1）请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度与时间的函数图像，并根据你所学知识，请从，，（，，），（，，）这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深与时间的函数关系，求出其解析式；（2）现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．（参考数据：，）
【变式3-4】（2021·全国高一课时练习）春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数(，，)，且在每天凌晨时达到最低温度℃，在下午时达到最高温度℃，从2时到14时为半个周期.（1）求这段时间气温随时间变化的函数解析式；（2）这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为℃？
注：一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含).
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·江苏南京二十七中高一期中）如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ）
A．18m B．20m C．24m D．30m
2．（2021·山东高一单元测试）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
3．风力发电不需要燃料 不占耕地 没有污染，运行成本低，所以产业发展前景非常广阔，在某风速时，传感器显示的电压按正弦规律变化，下表是时间和电压的相关数据，则风力发电的风叶转一圈的时间为（ ）
时间t(单位：) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
电压U(单位：) 0 22 0 0 22 0
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
4．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移与时间的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为（ ）
A．200 B．400 C． D．
5．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间（单位：时）的变化近似满足函数关系，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ）
A．1万 B．9千 C．8千 D．7千
6．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中个月的月均温（单位：）与月份（单位：月）的关系可近似地用函数（）来表示，已知月份的月均温为，月份的月均温为，则月份的月均温为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140和60～90.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80为标准值.记某人的血压满足函数式，其中为血压（），t为时间（），其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．收缩压为120
C．舒张压为70 D．每分钟心跳80次
10．如图，一半径为3的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系（），则有（ ）
A． B．A=3 C． D．A=5
11．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论正确的是（ ）
A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为
B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米
C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等
D．1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米
12．（2021·重庆北碚·西南大学附中高一月考）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．水斗作周期运动的初相为
B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·北京市第一六一中学）海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记录表．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间的函数关系，则这个函数关系式是________．
14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的简车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为_______米.
15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周大约用时15，其轴心O(即圆心)距水面2.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：)(在水面下d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：)之间的关系为.
（1）当盛水筒P第一次到达筒车的最高点时，t= ___________；
（2）盛水筒P到水面的距离d关于旋转时间t的函数解析式为___________.
16．如图，学校有一块矩形绿地，且，现准备在矩形空地中规划一个三角形区域开挖池塘，其中分别在边上，若则面积的最小值为_______.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.（1）根据图中数据，试求
的表达式.（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
18．如图所示，莱蒙都会小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数的图像的一部分，后一段DBC是函数，（，，，）的图像，图像的最高点为，且，垂足为点.（1）求函数，（，，，）的解析式；
（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园 (阴影部分)，点P在曲线OD上，其横坐标为，点在上，求儿童乐园的面积．
19．（2021·辽宁葫芦岛·）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表．
时刻（t） 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深值（s） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数来描述．（1）根据表中数据，做出函数简图：（2）结合数据、图像等因素，选用你认为恰当的三角函数，求出解析式；并估计11:00时的水深值；（3）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能停多久？
20．如图（1）所示，用两块宽分别为和1cm的矩形钢板(，)，剪裁后在平面内焊成60°的“角型”.（1）设，请问下料时应取多少度？
（2）如图（2）所示，在以为圆心，为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌，其中在扇形的弧上，求矩形面积的最大值.
21．为落实《中共中央、国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，加快构建德智体美劳全面培养的教育体系，开齐、开足、开好德育、体育、美育、劳动教育课程，某校成立了劳技兴趣小组．为了迎接“五一”晚会，该小组制作了一个半径为R的圆形灯箱，其发光部分为该圆内的一个关于圆心对称的“H”型，“H”型由竖、横、竖三个等宽的矩形组成，两个竖直矩形全等且它们的长边是横向矩形的长边的倍，设O为圆心，，“H”型的面积记为S．（1）将S表示为的函数；（2）为了使得灯箱亮度最大，设计时应使S尽可能大，则当为何值时，S最大？
22．如图，在直角中，，，，它的内接正方形的一边在斜边上，D，G分别在，上．（1）试用a，表示的面积S与正方形的面积T；（2）设，求的最大值p，并判断此时的形状；（3）由问题（2）得出如下结论：若要从一块直角三角形的材料上裁剪一整块正方形（不得拼接），则此材料的最大利用率是p．此结论是否正确？说明你的理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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5.7 三角函数的应用
【学习要求】
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要模型；
2．会用三角函数模型解决简单的实际问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义
物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关：
(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；
(2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期(period)；
(3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率(frequency)；
(4)ωx＋φ：称为相位(phase)；
(5)φ：x＝0时的相位，称为初相(initial phase)．
知识延伸：当A<0或ω<0时，应先用诱导公式将三角函数符号前的数或x的系数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin(2x－)的初相不是φ＝－，∵A＝－1<0，y＝－sin(2x－)＝sin[π＋(2x－)]＝sin(2x＋)，∴初相φ＝．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
名称 性质
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称性 对称中心(，0)(k∈Z)
对称轴 x＝＋(k∈Z)
奇偶性 当φ＝kπ (k∈Z)时是奇函数当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间由2kπ＋≤2ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
【高频考点】
高频考点1. 圆周运动
【方法点拨】解决函数图象与解析式对应问题的策略
利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ．
【例1】（2021·河北沧州市一中高一开学考试）如图，某公园摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻时点距离地面的高度，求时点距离地面的高度；（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依题意，，，，∴；
又，∴；∴；
∴，
即第时点所在位置的高度为；
（2）由（1）知，；
依题意：，∴，∴，
解得，，即，；
∵，∴转一圈中有时间可以看到公园全貌.
【变式1-1】（2021·江苏国高一课时练习）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，函数单调递增.
C．当时，函数最小值为. D．当9时，
【答案】BD
【解析】由题，，，，故，
又当时，，且，，所以，故A错误：
当时，，所以函数在是单调递增的，故B正确：
当时，，所以函数在是单减的，
故最小值为，故C错误：当时，，的横坐标为，
又，此时点，为水车直径，故，故D正确．故选：BD
【变式1-2】（2021·佛山市南海区罗村高级中学高一月考）如图，某摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处，则（米）关于（分钟）的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】摩天轮每分钟转一圈，即，故；又摩天轮最高点是米，最低点是米，即，解得，；
此时，由题意得，时刻，摩天轮处于最低点，即，故
，则，又，解得.故选：C.
【变式1-3】（2021·山东高一月考）（多选）如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始（图中点）开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．不论为何值，是定值
【答案】BD
【解析】设，则，，则，
由题意可知，可得，，可得，
由图可知，函数在附近单调递增，可得，
所以，.对于A选项，，A错；
对于B选项，，，，B对；
对于C选项，由，可得，
所以，，解得，C错；
对于D选项，
，D对.故选：BD.
【变式1-4】（2021·广东高一期末）一个半径为2米的水轮如图所示，其圆心O距离水面1米，已知水轮按逆时针匀速转动，每4秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．（1）以过点O且与水面垂直的直线为y轴，过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
【答案】（1）；（2）秒．
【解析】（1）如图所示，标出点M与点N，设，
根据题意可知，，所以，
根据函数的物理意义可知：，
又因为函数的最小正周期为，所以，
所以可得：．
（2）根据题意可知，，即，
当水轮转动一圈时，，可得：，所以此时，解得：，
又因为（秒），即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点P距水面的高度超过2米．
高频考点2 . 几何问题
【方法点拨】解决与三角函数模型相关问题，关键是将实际问题转化为三角函数模型．
几何问题主要考查长度、面积类的最值，该题型需要引入合理的变量（长度或角度），一般若选择角度为变量就转化三角函数解决，若选择长度为变量转化为其他函数解决。
【例2】（2021·江苏高一期中）如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进后到达D处，休息后继续行驶到达山顶B．
（1）求山的高度；（2）现山顶处有一塔从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为若点P处高度，则x为何值时，视角最大？
【答案】（1）4km，（2）km
【解析】因为，为锐角，所以，
所以，
在中，过作于，
因为，所以，
在中，，所以山的高度为4km，
（2）过作于，因为，所以，因为在上，，所以，
所以，
所以
，。 令（），则，
所以
当且仅当，即，时，取得最大值，所以当km时，视角最大
【变式2-1】（2021·安徽芜湖一中高一月考）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.
【答案】15米
【解析】如图所示，由题得，，，
，由正弦定理可知，米，
在中，米，即旗杆的高度为15米. 故答案为：15米.
【变式2-2】（2021·全国）达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，设．则．，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：C
【变式2-3】（2021·江苏高一专题练习）圣·索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL)是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如左图．某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，测得建筑物的高度为h，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处可以测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别为和，在楼顶A处可测得塔顶C的仰角为，且与都垂直地面，如右图，那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？（结果用h，，，表示）
【答案】高度为.
【解析】解：由题可知，在中，，设，则，
在中，，则．
在中，∴
由正弦定理可知，
即．∴ 答：索菲亚教堂的高度为．
【变式2-4】（2021·江苏高一期中）如图，在扇形POQ中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记．
（1）当时，求矩形ABCD的面积；
（2）求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
【答案】（1）；（2）当时，矩形ABCD的面积，最大面积为．
【解析】（1）在中，，，
在中，，所以，
所以，
设矩形ABCD的面积为S，则.
（2）在中，，．
在中，，所以，
所以，设矩形ABCD的面积为S，
则，
，
由，得，所以当，即时．
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
高频考点3 . 其他问题
【方法点拨】三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)来表示运动的位置y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
【例3】（2021·全国高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：
（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象.
（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
【答案】（1），，；（2）上午10：00至下午3：00.
【解析】（1）由表中数据知，所以.
由，，得.由，，得.故，，
所以函数解析式为：.
（2）由题意知，当时才可对冲浪者开放，所以，
所以，所以，，即，.
又因为，故可令得或或.
所以在规定时间10：00至20：00之间，有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00.
【变式3-1】（2021·全国高一课时练习）在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如表所示：
日期 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日
日期位置序号
存活时间小时
（1）试选用一个形如的函数来近似描述一年（按天计）中该细菌一天内存活的时间与日期位置序号之间的函数解析式.
（2）用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于小时.
【答案】（1）；（2）这种细菌一年中大约有天（或天）的存活时间大于小时..
【解析】（1）由表格可知函数的最大值为，最小值为，，
，又，，
当时，，解得：，
.
（2）由得：，即，解得：，
这种细菌一年中大约有天（或天）的存活时间大于小时.
【变式3-2】（2021·广东铁一中学高一月考）“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造．如图，在道路北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段是函数的图象，且图象的最高点为．中间部分是长为1千米的直线段，且．新步道的最后一部分是以原点O为圆心的一段圆弧．
（1）试确定的值；（2）若计划在扇形区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边紧靠道路，顶点Q落在半径上，另一顶点P落在圆弧上．记，请问矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？
【答案】（1），；（2）当时，面积最大为.
【解析】（1）∵，∴，∴．
图象过，∴，又，∴．
（2）由（1）知，交y轴于，又，
∴．
又，∴，，
∴
又，∴时，此时矩形面积最大为．
【变式3-3】（2021·山东潍坊·高一期中）潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同．
下表给出了某沿海港口在一天（24小时）中海水深度的部分统计数据：
时间（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
水深（米） 13.4 14 13.4 12 10 8 6.6 6 6.6 8 10 12 13
（1）请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度与时间的函数图像，并根据你所学知识，请从，，（，，），（，，）这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深与时间的函数关系，求出其解析式；
（2）现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．（参考数据：，）
【答案】（1）作图见解析；答案不唯一，具体见解析；（2）应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17个小时．
【解析】（1）可选择以下6个点：，，，，，，其图像如下：
选法一：设选取的函数解析式为：（，，），
由题意得：，所以，，
又因为，解得，，所以，
由，得，所以，，
又，所以当时，，所以，；
选法二：设选取的函数解析式为：（，，），求解过程同上，可得，．
（2）根据题意可知：货轮安全进港的水深至少达到12.8米，
由，解得：，即
所以，，故，
又因为，所以，所以可安排货轮在0时到5时之间进港．
货轮安全离港的水深要求至少达到12米，根据表中数据可知最早在晚上22时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港时间最短为17个小时．综上规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17个小时．
【变式3-4】（2021·全国高一课时练习）春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数(，，)，且在每天凌晨时达到最低温度℃，在下午时达到最高温度℃，从2时到14时为半个周期.（1）求这段时间气温随时间变化的函数解析式；（2）这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为℃？
注：一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含).
【答案】（1）；（2）每天的6时或22时的气温为.
【解析】（1）依题意，， 解得根据题意，
又时，且，解得，
所以；
（2）由得，
所以或
由，解得或，即在每天的6时或22时的气温为.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·江苏南京二十七中高一期中）如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ）
A．18m B．20m C．24m D．30m
【答案】C
【解析】如图，过A作于，设，
∵，记，则，
在中，, ∴,在中，, ∴,
∴，∴，解得：或（舍去），
所以建筑物，的底部B，D之间的距离是24m.故选：C.
2．（2021·山东高一单元测试）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
【答案】A
【解析】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2 A＝3．，则．故选:A
3．风力发电不需要燃料 不占耕地 没有污染，运行成本低，所以产业发展前景非常广阔，在某风速时，传感器显示的电压按正弦规律变化，下表是时间和电压的相关数据，则风力发电的风叶转一圈的时间为（ ）
时间t(单位：) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
电压U(单位：) 0 22 0 0 22 0
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】B
【分析】结合表格信息及正弦型函数的周期特点确定周期即可.
【详解】观察表格信息可知：电压从0到、从到0、从0到22、从22到0，四个过程是一个周期，所以风力发电的风叶转一圈的时间为0.4，故选：B
4．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移与时间的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为（ ）
A．200 B．400 C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图像，确定函数周期，从而可得的值.
【详解】由图像可得，，，即，则.故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查正弦型函数的周期性，属于基础题型.
5．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间（单位：时）的变化近似满足函数关系，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ）
A．1万 B．9千 C．8千 D．7千
【答案】B
【分析】利用当时，，求出，由，利用正弦函数的性质即可求解.
【详解】下午两点整即，当时，.即，∴，
∵当时，，
∴当时，取得最大值，且最大值为.故选：B
【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
6．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合题意化简函数的解析式，然后根据解析式作出函数的图象，进而数形结合即可求出结果.
【详解】因为时，，则，
因为时，，则，
故，作出函数图象：
数形结合即可得到，故选：B.
7．月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中个月的月均温（单位：）与月份（单位：月）的关系可近似地用函数（）来表示，已知月份的月均温为，月份的月均温为，则月份的月均温为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得出关于、的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令可得结果.
【详解】由题意可得，解得，
所以，函数解析式为，
在函数解析式中，令，可得.
因此，月份的月均温为.故选：A.
8．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据建立的模型利用三角函数的性质求最值.
【详解】
如图，记，在中，，，
在中，，所以，
设矩形的面积为，
由，所以当，即时，取最大值，为,故选：A.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140和60～90.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80为标准值.记某人的血压满足函数式，其中为血压（），t为时间（），其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．收缩压为120
C．舒张压为70 D．每分钟心跳80次
【答案】BCD
【分析】由图象的周期可求出的值，可判断A，分别求最大值、最小值可判断选项B、C，计算频率可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】由图知：，所以，可得，故选项A不正确；
所以，由图知在一个周期内最大值为，最小值为，所以收缩压为120，舒张压为70，故选项B、C正确；
每分钟心跳数为频率，故选项D正确，故选：BCD.
10．如图，一半径为3的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系（），则有（ ）
A． B．A=3 C． D．A=5
【答案】BC
【分析】根据的性质结合正弦函数的性质判断．
【详解】由已知水轮上的点P到水面最大距离为，
因为的最大值为， 所以，
又因为水轮每分钟逆时针旋转4圈，．故选：BC
11．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论正确的是（ ）
A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为
B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米
C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等
D．1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米
【答案】ACD
【分析】由题意写出点离水面的距离函数，再计算对应的函数值即可．
【详解】解：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
依题意，设函数解析式为，因为半径为，所以，距水面的距离为，所以，每6分钟转一圈，所以，所以，所以，当时，，所以，即，所以，所以
所以分钟时，以射线为始边，为终边的角为，故A正确，B错误；
当时，；当时，；故C正确；
令，即，在一个周期内，解得，有分钟，
1个小时，有10个周期，所以有分钟，故D正确；故选：ACD
12．（2021·重庆北碚·西南大学附中高一月考）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
A．水斗作周期运动的初相为
B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
【答案】AD
【解析】对于A，由，知，，所以；
当时，点P在点A位置，有，解得，又，所以，故A正确；
对于B，可知，当，，所以函数先增后减，故B错误；对于C，当，，，所以点到轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确．故选：AD．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·北京市第一六一中学）海水受日月的引カ，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记录表．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y与时间的函数关系，则这个函数关系式是________．
【答案】
【解析】设与之间的函数关系式为，
则由表中数据可得，且，故且，所以
因为当时，，所以，
解得，故，其中.故答案为：.
14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的简车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为_______米.
【答案】0.25
【分析】根据时，盛水筒到水面的距离，由函数关系式，求出，再将代入函数关系式，即可得出结果.
【详解】因为筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，
所以，则，又，所以，则，
因此当时，，
即当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为米.故答案为：
15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周大约用时15，其轴心O(即圆心)距水面2.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：)(在水面下d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：)之间的关系为.
（1）当盛水筒P第一次到达筒车的最高点时，t= ___________；
（2）盛水筒P到水面的距离d关于旋转时间t的函数解析式为___________.
【答案】5
【分析】（1）求出盛水筒P第一次到达筒车的最高点时的旋转角度，根据题意求出点绕点逆时针旋转的角速度，用旋转角度除以角速度即可得时间；（2）根据图形可得的最大、最小值，由此可得和，根据周期可得，根据当时，可求得，从而可得函数解析式；
【详解】（1）因为轴心O(即圆心)距水面2，圆的半径为，所以当盛水筒P第一次到达筒车的最高点时，点绕点逆时针旋转了，因为点绕点逆时针旋转一周大约用时15，所以点绕点逆时针旋转速度为每秒，所以当盛水筒P第一次到达筒车的最高点时，t=秒.
（2）由图可知的最大值为，最小值为，所以，所以，
因为筒车旋转一周大约用时15，所以函数的周期，所以，
当时，，即，即，
因为，所以，所以.
故答案为：5；
【点睛】关键点点睛：根据题意求出是解题关键.
16．如图，学校有一块矩形绿地，且，现准备在矩形空地中规划一个三角形区域开挖池塘，其中分别在边上，若则面积的最小值为_______.
【答案】
【分析】设，分别求得，再根据，转化为，利用三角函数的性质求解.
【详解】设，由题意得：，
则，
，
当即时取得最小值，最小值为故答案为：
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
【答案】（1）；（2）老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
【分析】（1）首先求出、，再根据函数的周期求出，最后根据函数过点求出，即可得到函数解析式；（2）依题意令，再根据正弦函数的性质解不等式，即可得解；
【详解】解：（1）依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以
（2）依题意令，即
所以解得
因为所以，又
即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
18．如图所示，莱蒙都会小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数的图像的一部分，后一段DBC是函数，（，，，）的图像，图像的最高点为，且，垂足为点.（1）求函数，（，，，）的解析式；
（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园 (阴影部分)，点P在曲线OD上，其横坐标为，点在上，求儿童乐园的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据图象，结合三角函数的性质，得到和的值，再由最大值点，得出结果；
（2）根据题意，得到曲线的方程，求出的坐标，进而可求出四边形的面积.
【详解】（1）由图象，可知，，
将代入中，得，即.
∵，∴，故；
（2）在中，令，得，
从而得曲线的方程为，则，
∴矩形的面积为，即儿童乐园的面积为.
19．（2021·辽宁葫芦岛·）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表．
时刻（t） 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深值（s） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数来描述．
（1）根据表中数据，做出函数简图：
（2）结合数据、图像等因素，选用你认为恰当的三角函数，求出解析式；并估计11:00时的水深值；
（3）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能停多久？
【答案】（1）作图见解析；（2），3.75米；（3）货船可以在1时进港，5时出港或中午13时进港，17时出港，每次可以在港口停留4小时.
【解析】（1）
（2）根据图象可考虑用函数
刻画水深与时间的关系，从数据和图象可得：∴
易知，所以，∴． ∴
当时，（米）
（3）货船的安全水深为（米）
当时可以进港，于是有，整理得解得：
又∵∴当时，；当时，
所以，货船可以在1时进港，5时出港或中午13时进港，17时出港，每次可以在港口停留4小时；
20．如图（1）所示，用两块宽分别为和1cm的矩形钢板(，)，剪裁后在平面内焊成60°的“角型”.（1）设，请问下料时应取多少度？
（2）如图（2）所示，在以为圆心，为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌，其中在扇形的弧上，求矩形面积的最大值.
【答案】（1）45°；（2）.
【分析】（1）过作，分别垂直，于 ，在，中，由求解；（2）由（1）得到，设，进而得到，，然后由求解.
【详解】（1）过作，分别垂直，于 ，
则在，中，，即，
即，即，所以.
（2）由（1）知：，设，，
，
，
，
，
所以矩形面积的最大值为.
21．为落实《中共中央、国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，加快构建德智体美劳全面培养的教育体系，开齐、开足、开好德育、体育、美育、劳动教育课程，某校成立了劳技兴趣小组．为了迎接“五一”晚会，该小组制作了一个半径为R的圆形灯箱，其发光部分为该圆内的一个关于圆心对称的“H”型，“H”型由竖、横、竖三个等宽的矩形组成，两个竖直矩形全等且它们的长边是横向矩形的长边的倍，设O为圆心，，“H”型的面积记为S．（1）将S表示为的函数；（2）为了使得灯箱亮度最大，设计时应使S尽可能大，则当为何值时，S最大？
【答案】（1），；（2）时，取得最大值．
【分析】（1）取的中点，连接，交于，由解直角三角形可得，，，再由矩形的面积公式可得，即可得到所求；（2）运用二倍角的正弦公式和余弦公式、以及两角和的正弦公式，将函数化为正弦型，然后运用正弦函数的值域，可得到所求最大值．
【详解】（1）取的中点，连接，交于，
由，可得，，
且，，由题意可得，
，由，可得，
则，；
（2）
由，可得，即有，即时，取得最大值．
22．如图，在直角中，，，，它的内接正方形的一边在斜边上，D，G分别在，上．
（1）试用a，表示的面积S与正方形的面积T；（2）设，求的最大值p，并判断此时的形状；（3）由问题（2）得出如下结论：若要从一块直角三角形的材料上裁剪一整块正方形（不得拼接），则此材料的最大利用率是p．此结论是否正确？说明你的理由．
【答案】（1），；（2）等腰直角三角形，；（3）不正确，理由见解析．
【分析】（1）在中有，设，结合正方形边长相等列方程求边长，即可写出的面积S与正方形的面积T；
（2）由（1）得，结合即可确定最大值、的形状.
（3）要使等腰三角形裁剪下来的正方形最大，沿中位线剪掉两个等腰三角形，即可判断结论的正误.
【详解】（1）由题设知：在中，有，∴，
设，则，有，又，
∴，得，所以正方形的边长为，
∴；
（2）由（1）知：，而，
∴，显然当时，，此时.
∴此时，为等腰直角三角形.
（3）由题设，要使裁剪一整块正方形（不得拼接）最大，则取各边中点，沿中位线剪掉两个三角形即可，此时正方形面积为的，即利用率可以达到．如下图示：
∴此材料的最大利用率大于，故结论不正确.
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