2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1 等比数列的概念 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念
教学目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，
了解等比中项的概念;
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决 难点
相应的实际问题;
3.体会等比数列与指数函数的关系;
4.通过等比数列的概念、通项公式认识等比数列的性质。
情景导入
前面我们讲解了等差数列的概念和通项公式，下面我们将类比等差数列的研究方法，来探究等比数列概念和通项公式。
1、两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
你发现上述数列有什么规律？
第2项起,每一项是前一项的9倍
第2项起,每一项是前一项的100倍
第2项起,每一项是前一项的5倍
情景导入
2、《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：
你发现上述数列有什么规律？
第2项起,每一项是前一项的
情景导入
3、在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
你发现上述数列有什么规律？
第2项起,每一项是前一项的2倍
情景导入
4、某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是：
你发现上述数列有什么规律？
第2项起，每一项是前一项的倍
复习导入
你能类比等差数列，得到等比数列的概念吗？
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
课程新授
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 等于同一个常数，那么这个数列叫做 。这个常数叫做等比数列的 ，用 表示（显然）。
比
等比数列
公比
2.等差中项：
如果三个数 组成等比数列，那么 叫做a和b的 。
1.等比数列：
等比中项
即：
课程新授
3.等比数列的通项公式
设一个等比数列的公比为，根据等比数列的定义，可得
所以
由此可得
又,这就是说当时上式也成立
不完全归纳法
课程新授
3.等比数列的通项公式
设一个等比数列的公比为，根据等比数列的定义，可得
所以
由此可得
又,这就是说当时上式也成立
累乘法
课程新授
4.等比数列与指数函数的关系
当时，等比数列的第项时函数
当时的函数值,即=
反之，任给函数
则，，，
，构成一个等比数列,其首项为，
公比为
例题精讲
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项。
解法一：
由，得
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
解得
把代入①，得
此时==384=24
把代入②，得
此时==-384=24
因此，的第5项是24或-24
两个，需对其分类讨论
例题精讲
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项。
解法二：
因为是和的等比中项，所以
==
因此，的第5项是24或-24
所以
例题精讲
例2 已知等比数列的公比为，试用的第项表示.
解：
由题意，得
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
,
所以
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示
例题精讲
例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
解：
设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为
，，80，80+，80+2，于是得
解方程组得
所以这个数列是20,40,80,96,112或180,120,80,16，-48
注意设法
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念第二课时
复习导入
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 等于同一个常数，那么这个数列叫做 。这个常数叫做等比数列的 ，用 表示（显然）。
比
等比数列
公比
2.等差中项：
如果三个数a,G,b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项。
1.等比数列：
3.等比数列的通项公式
即：
课程新授
例4 用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获利多少利息(精确到1元)？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为元，每期的利率为,则从第1期开始，各期的本利和构成等比数列,构成等比数列。
课程新授
例4 用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获利多少利息(精确到1元)？
分析：利息=本利和-本金
月初本金 月末本利和
1个月
2个月
3个月
12个月
课程新授
例4 用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获利多少利息(精确到1元)？
解：
（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列则，是等比数列，
首项
公比
所以，
所以，12个月后的利息为10490.97-10000491（元）
课程新授
例4 用10 000元购买某个理财产品一年.
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）
设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列,则也是一个等比数列，
解：
首项
公比
所以，
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元
解不等式，得
所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息。
课程新授
例5 已知数列的首项
(1)若数列为等差数列，公差=2，证明数列为等比数列；
(2)若数列为等比数列，公比=，证明数列为等差数列。
分析：如何证明一个数列为等差数列或者等比数列
等差数列：
等比数列：
利用定义
先求
通项公式
课程新授
例5 已知数列的首项
(1)若数列为等差数列，公差=2，证明数列为等比数列；
证明：
（1）由，=2，得的通项公式为
设,则
9
又
所以是以27为首项，9为公比的等比数列
课程新授
例5 已知数列的首项
(2)若数列为等比数列，公比=，证明数列为等差数列。
证明：
（2）由，=，得的通项公式为
所以是首项为1，公差为-2的等差数列
两边取以3为底的对数，得
所以
又
区分两问的求法有何不同
课程新授
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%。从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
产量
不合格率
数列
数列
等比数列
等差数列
分析：
通项公式
课程新授
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%。从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解：
设从今年1月起，每个月的产量和不合格率分别构成数列，
由题意，知
，
，其中=1,2，，24，
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
课程新授
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%。从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）
课程新授
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%。从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可。
由
得
所以，当时，递减
又
所以，当时，
所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内。
课程新授
作业：小本+课后题1、2、5