2021-2022学年北师大版八年级数学上册《7.5三角形的内角和》同步练习 （Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《7.5三角形的内角和》同步练习（附答案）
1．△ABC中，∠A＝∠B+∠C，则对△ABC的形状判断正确的是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．△ABC的两内角平分线OB、OC相交于点O，若∠A＝110°，则∠BOC＝（　　）
A．135° B．140° C．145° D．150°
3．如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝54°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（　　）
A．8° B．10° C．12° D．14°
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，若∠A＝60°，∠ACD＝40°，∠ABE＝30°，则∠CFE的度数为（　　）
A．50° B．60° C．120° D．130°
5．如图，已知直线a∥b，直角三角形ABC中，∠C＝90°，若∠B＝58°，那么∠1﹣∠2＝（　　）
A．28° B．30° C．32° D．58°
6．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么这个“特征角”α的度数为（　　）
A．48° B．96°
C．88°或48° D．48°或96°或88°
7．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A＝68°，则∠BPD的度数是（　　）
A．58° B．66° C．68° D．78°
8．如图，已知AF平分∠BAC，交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D．若∠B比∠C大20°，则∠F的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．不能确定
9．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　）
A．87° B．84° C．75° D．72°
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF中有两个内角相等，则∠A的度数为（　　）
A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，点D在AB边上，将△ABC沿CD折叠，使得B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
12．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
13．如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A′BD，此时A′D∥BC，则∠ABC＝　 　度．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，∠1＝∠2．若P为△ABC的角平分线BP、CP的交点，则∠BPC＝　 　°．
15．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝　 　度．
16．如图，将△ABC沿DE、DF翻折，使顶点B、C都落于点G处，且线段BD、CD翻折后重合于DG，若∠AEG+∠AFG＝54°，则∠A＝　 　度．
17．如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠EDF的度数为 　 　．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝82°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
19．点D为△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝40°，求∠ACD的度数．
20．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
解决问题：
（1）若∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，则∠ACG＝　 　；（直接写出答案）
（2）若∠MON＝100°，求出∠ACG的度数．
21．如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．
（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；
（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝　 　；（用α、β表示）
（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
22．（1）如图1，在△ABC纸片中，点D在边AC上，点E在边AB上，沿DE折叠，当点A落在CD上时，∠DAE与∠1之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；
（2）若折成图2时，即点A落在△ABC内时，请找出∠DAE与∠1，∠2之间的关系式并说明理由．
23．动手操作：
（1）如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝　 　度；
（2）如图2，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：如图3，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC的度数．
24．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．
（1）求∠AFC的度数； （2）求∠EDF的度数．
25．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．解：在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
解得∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
2．解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝110°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝35°，
∴∠BOC＝180° （∠OBC+∠OCB）
＝180° 35°
＝145°．
故选：C．
3．解：在△ABC中，∵∠B＝38°，∠C＝54°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC＝44°，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEC＝90°，
在△AEC中，∠AEC＝90°，∠C＝54°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝36°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝8°．
故选：A．
4．解：∵∠A＝60°，∠ABE＝30°，∠BEC为△ABE的外角，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝90°，
∵∠ACD＝40°，
根据三角形内角和定理可得，
∠CFE＝180°﹣∠ACD﹣∠BEC＝50°．
故选：A．
5．解：∵∠C＝90°，∠B＝58°，
∴∠A＝32°．
∵∠3＝∠4+∠A，∠4＝∠2，
∴∠3﹣∠2＝∠A＝32°．
∵a∥b，
∴∠1＝∠3．
∴∠1﹣∠2＝32°．
故选：C．
6．解：设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α且α＝2∠1．
当α＝48°，则∠1＝24°．
当∠1＝48°，则α＝2∠1＝96°．
当∠2＝48°，则∠1+α＝180°﹣∠2＝132°．
∴3∠1＝132°．
∴∠1＝44°．
∴α＝2∠1＝88°．
综上：“特征角”α可能为48°或96°或88°．
故选：D．
7．解：∵CD，BE分别是AB、AC边上的高，
∴∠AEB＝∠BDC＝90°，
∵∠A+∠ABE+∠AEB＝180°，∠BPD+∠ABE+∠BDC＝180°，
∴∠BPD＝∠A＝68°．
故选：C．
8．解：由题意知：∠B＝∠C+20°．
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE．
又∵∠BAE+∠B+∠BEA＝∠CAE+∠C+∠AEC，
∴∠B+∠AEB＝∠C+∠AEC．
∴∠AEC＝∠AEB+20°．
又∵∠AEB+∠AEC＝180°，
∴∠AEB+∠AEB+20°＝180°．
∴∠AEB＝80°．
∵∠AEC＝100°．
∵FD⊥BC，
∴∠EDF＝90°．
∵∠AEC＝∠EDF+∠F，
∴∠F＝∠AEC﹣∠EDF＝100°﹣90°＝10°．
故选：A．
9．解：如图，
由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
10．解：①当AE＝AF时，则∠AFE＝∠AEF＝（180°﹣∠A），
∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，
∴∠AFD＝120°，
∴（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝40°．
②当AF＝EF时，∠AFE＝180°﹣2∠A，
同法可得180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝50°．
③当AE＝EF时，点F与C重合，不符合题意．
综上所述，∠A＝40°或50°，
故选：B．
11．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
∵△CDB′是由△CDB翻折而来，
∴∠DB′C＝∠B＝65°，
∵∠DB′C是△AB′D的外角，
∴∠ADB′＝∠DB′C﹣∠A＝65°﹣25°＝40°．
故选：D．
12．解：连接AC并延长交EF于点G．
∵AB∥CF，
∴∠BAC＝∠FCG，
∵AD∥CE，
∴∠DAC＝∠ECG，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCG+∠ECG＝∠ECF，
在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣55°＝45°，
∴∠BAD＝∠ECF＝45°．
故选：A．
13．解：设∠A＝∠ABD＝x，
∵△ABC沿BD翻折得△A′BD，
∴∠A＝∠DBA′＝∠A′＝∠ABD＝x，
∵A′D∥BC，
∴∠A′＝∠CBA′＝x，
∴∠CBA＝∠CBA′+∠A′BD+∠ABD＝3x，
由三角形内角和定理得，
∠A+∠ABC+∠C＝180°，
x+3x+80°＝180°，
x＝25°，
∴3x＝3×25°＝75°，
故答案为：75．
14．解：∵∠ACB＝68°，
∴∠1+∠PCB＝68°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠PCB＝68°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠2+∠PCB）＝112°．
故答案为：112．
15．解：∵BA1平方∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠，．
∵∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC，
∴＝．
同理可证：．
∴．
以此类推，．
当n＝2021，＝．＝．
故答案为：．
16．解：连接BG、CG，如图所示：
由折叠的性质得：BD＝CD＝GD，
∴∠BGC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，
又由折叠的性质得：EG＝EB，FG＝FC，
∴∠EBG＝∠EGB，∠FGC＝∠FCG，
∵∠AEG＝2∠EBG，∠AFG＝2∠FCG，∠AEG+∠AFG＝54°，
∴2∠EBG+2∠FCG＝54°，
∴∠EBG+∠FCG＝27°，
∴∠ABC+∠ACB＝∠EBG+∠FCG+∠GBC+∠GCB＝27°+90°＝117°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣117°＝63°，
另一种解法：由题意得：∠EGF＝∠B+∠C＝180°﹣∠A＝∠A+∠AEG+∠AFG，
∴∠A＝．
故答案为：63．
17．解：∵AD，AE为△ABC的高线，角平分线，
∴∠EAB＝∠BAC，∠ADC＝90°．
∵∠DAC＝21°，∠B＝25°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC
＝69°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣25°﹣69°
＝86°．
∴∠BAE＝43°．
∴∠AED＝∠BAE+∠B
＝43°+25°
＝68°．
∵DF⊥AE，
∴∠EFD＝90°．
∴∠EDF＝90°﹣∠DEA
＝90°﹣68°
＝22°．
故答案为：22°．
18．解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣82°﹣40°＝58°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝29°；
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝8°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝29°﹣8°＝21°．
19．解：∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°．
∵∠AFD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠AFD﹣∠D＝90°﹣40°＝50°．
∴∠ACD＝∠B+∠A＝50°+35°＝85°．
20．解：（1）∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA＝∠ABO，∠CAB＝∠BAO，
∵∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，
∴∠CBA＝40°，∠CAB＝20°，
∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝60°．
故答案为：60°．
（2）∵∠MON＝100°，
∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣100°＝80°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA＝∠ABO，∠CAB＝∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB＝（∠ABO+∠BAO）＝×80°＝40°，
∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝40°．
21．解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°
∴∠BAE＝60°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠CFE＝∠DAE＝20°；
（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠ACB），
∵CF∥AD，
∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）＝（∠ACB﹣∠B）＝β﹣α，
故答案为：β﹣α；
（3）（2）中的结论成立．
∵∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝90°﹣α﹣β，
∵CF∥AD，
∴∠ACF＝∠DAC＝90°﹣α﹣β，
∴∠BCF＝β+90°﹣α﹣β＝90°﹣α+β，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°+α﹣β，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ECF＝β﹣α．
22．解：（1）结论：∠1＝2∠DAE．
理由：如图1中，延长BE交CD于R．
由翻折可知，∠EAD＝∠R，
∵∠1＝∠EAD+∠R，
∴∠1＝2∠EAD．
（2）结论：∠1+∠2＝2∠EAD．
理由：如图2中，延长BE交CD的延长线于T，连接AT．
由翻折可知，∠EAD＝∠ETD，
∵∠1＝∠EAT+∠ETA，∠2＝∠DAT+∠DTA，
∴∠1+∠2＝∠EAT+∠ETA+∠DAT+∠DTA＝∠EAD+∠ETD＝2∠EAD．
23．解：（1）∵BC∥EF，
∴∠DBC＝∠E＝∠F＝∠DCB＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∠ACD＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ABD+∠ACD＝60°；
（2）猜想：∠A+∠B+∠C＝∠BDC．
证明：如图2，连接BC，
在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC；
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A＝180°，
而∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC，
∴∠A+∠ABD+∠ACD＝180°﹣（180°﹣∠BDC）＝∠BDC，
即：∠A+∠B+∠C＝∠BDC．
（3）灵活应用：
由（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD＝∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE＝∠BEC，
∵∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣40°＝80°
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，
∴∠ABE+∠ACE＝40°，
∴∠BEC＝40°+40°＝80°．
24．解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠BAD＝∠DAF，
∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°；
（2）∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∠ADC＝50°+30°＝80°，
∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝100°，
∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC
＝100°﹣80°＝20°．
25．（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，
∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴∠A+∠C＝2∠E，
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°；
（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．
理由：∵∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，
即∠A+2∠C＝3∠E．