2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.3角的平分线》同步达标训练 （Word版含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.3角的平分线》同步达标训练（附答案）
1．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（　　）
A．18 B．30 C．24 D．27
4．如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝18，S△ABD＝27，则CD的长为（　　）
A．4 B．8 C．3 D．6
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，E是边AB上一点，若CD＝6，则DE的长可以是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（　　）
A．三角形ABC三条高线的交点处 B．三角形ABC三条角平分线的交点处
C．三角形ABC三条中线的交点处 D．三角形ABC三边垂直平分线的交点处
9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．7
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DC＝4，AB＝10，则△DAB的面积为　 　．
11．如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①AD＝BF； ②BF＝AF； ③AC+CD＝AB，④AB＝BF；⑤AD＝2BE．其中正确的结论有　 　．（填写序号）
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝110°，∠ACB＝40°，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD＝40°，则∠CED＝　 　．
13．如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为　 　．
14．如图，在△ABC中，∠A＝70°，点O到AB、BC、AC的距离相等，连接BO、CO，则∠BOC＝　 　°．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BD＝10厘米，BC＝8厘米，DC＝6厘米，则点D到直线AB的距离是　 　厘米．
16．如图，已知△ABC的周长是18，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，△ABC的面积是　 　．
17．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是　 　．
18．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
19．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
20．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：∠B＝∠C．
21．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB．
22．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求证：AD平分∠BAC．
24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，BD＝DF，求证：CF＝EB．
25．如图AB＝AC，BD＝CD，DE⊥BA，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：DE＝DF．
参考答案
1．解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ AB OE： BC OF： AC OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
2．解：∵BC＝10，CD＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4，
△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离＝BD＝4．
故选：A．
3．解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC，
∴ID＝IE，ID＝IE，
∴ID＝IE＝IF＝3，
∵△ABC的周长为18，
∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×3＝×18×3＝27．
故选：D．
4．解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∵AC＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3，
故选：B．
5．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×18 DE＝27，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：C．
6．解：过点D作DM⊥AB于点M，如图所示.
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DM⊥AB，
∴DM＝CD＝6．
又∵E是边AB上一点，
∴DE≥DM，
∴DE≥6．
故选：D．
7．解：（1）证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE＝∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
，
∴△PEA≌△PHA（AAS），
∴PE＝PH，
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF＝PH，
∴PE＝PF，
∴（1）正确；
（2）与（1）可知：PE＝PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴（2）正确；
（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，
又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，
∴∠O+∠EPF＝180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，
由（1）知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA＝∠HPA，
同理：∠FPB＝∠HPB，
∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，
即∠O+2∠APB＝180°，
∴∠APB＝90°﹣，
∴（3）错误；
故选：C．
8．解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴度假村应该在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：B．
9．解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝5．
故选：B．
10．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，
又∵DE⊥AB，DC⊥BC
∴DE＝DC＝4
∴△ABD的面积＝ AB DE＝×10×4＝20
故答案为20．
11．解：∵∠ACB＝90°，BF⊥AE，
∴∠ACB＝∠BED＝∠BCF＝90°，
∴∠F+∠FBC＝90°，∠BDE+∠FBC＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠F＝∠ADC，
∵AC＝BC，
∴△BCF≌△ACD，
∴AD＝BF，∴①正确；
∵AF＞AD，
∴BF≠AF②错误；
∵△BCF≌△ACD，
∴CD＝CF，
∴AC+CD＝AF，
∵△BCF≌△ACD，
∴CD＝CF，
∴AC+CD＝AF，
又∵AB＝AF，
∴AC+CD＝AB．
∴③正确；
∵BF＝AC，AC＜AF＝AB，
∴AB＞BF，
∴④错误；
由△BCF≌△ACD，
∴AD＝BF，
∵AE平分∠BAF，AE⊥BF，
∴∠BEA＝∠FEA＝90°，∠BAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，∴△BEA≌△FEA，
∴BE＝EF，
∴⑤正确；
故答案为：①③⑤．
12．解：∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∵作EN⊥BD，EM⊥BC，EH⊥AC，垂足分别是N、M、H，∠ABC＝110°，∠CBD＝40°，
∴∠ABD＝70°，
∴∠ABC的外角是∠ABM＝180°﹣110°＝70°；
∴BE是∠DBM的角平分线，
∴EM＝EN，
∵CE是∠ACB的平分线，EM⊥CB，EH⊥AC，
∴EM＝EH，
∴EH＝EN，
∴DE是∠ADB的平分线，
∵∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠ADE＝∠ADB＝40°＝∠ACB，
∴DE∥CB，
∴∠CED＝∠ECB＝20°
故答案为：20°．
13．解：过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EP，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，
∵CE平分外角∠ACD，
∴EH＝EP，
∴EF＝EH，
∴AE平分∠FAC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠FAC＝180°﹣80°＝100°，
∴∠FAE＝∠FAC＝50°，
∵∠FAC＝∠ABE+∠AEB，
∴∠AEB＝50°﹣20°＝30°．
故答案为30°．
14．解：∵点O到AB、BC、AC的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OBC+∠OCB＝110°＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°．
故答案为：125．
15．解：过D作DE⊥AB，交AB于点E，
∵BD平分∠ABC，DC⊥CB，DE⊥BA，
∴DE＝DC＝6厘米，
则点D到直线AB的距离是6厘米，
故答案为：6
16．解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC与F，连接OA，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝1，
同理可知，OF＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△OAB的面积+△OAC的面积+△OBC的面积
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×18×1
＝9，
故答案为：9．
17．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×4×2+AC 2＝7，
解得AC＝3．
故答案为：3．
18．证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
19．证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），
∴OD＝OE，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF，
在△ODF和△OEF中，，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF＝EF．
20．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD（3分）
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∵DE＝DF，
DB＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）（6分）
∴∠B＝∠C（8分）
21．证明：如图：
过M作ME⊥AD于E，
∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，
∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，
在△MCD和△MED中
∴△MCD≌△MED（AAS），
∴CD＝DE，
同理：AE＝AB，
∴AD＝AE+DE＝CD+AB．
22．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．
∴CF＝EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE．
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．
23．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵AD＝AD，
Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC．
24．证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在△CDF与△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
25．证明：在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥BA，DF⊥AC，
∴DE＝DF．