2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理 同步达标测试（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理 同步达标测试（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 459.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-15 23:38:30 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
2．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝45°，则CD的长为（ ）
A． B．6 C．2 D．12
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y＝kx﹣k+2与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（
A． B．2 C．5 D．4
7．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
8．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．32
9．正方形ABCD、正方形BEFG，点A、B、E在半圆O的直径上，点D、C、F在半圆O上，若EF＝4，则该半圆的半径为（ ）
A． B．8 C． D．
10．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
12．下列说法中正确的个数有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径一定垂直于弦；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；
④直径是弦；
⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共3小题，满分12分）
13．已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB＝40cm，CD＝48cm，求弦AB与CD之间的距离为 ．
14．⊙O的半径为5，弦AB＝8，弦CD＝6，AB∥CD，则AC＝ ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
17．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
18．在半径为10dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．
①若油面宽AB＝12dm，求油的最大深度．
②在①的条件下，若油面宽变为CD＝16dm，求油的最大深度上升了多少dm？
19．如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．
20．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD，经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．
（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；
（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．
21．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
23．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得，r＝4，
故选：C．
2．解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．
∵AB是直径，且CD⊥AB，
∴CP＝CD＝3cm．
根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．
故选：B．
3．解：连接AB．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，
∴AB＝＝＝，
∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴AC＝CP，PD＝DB，
∴CD＝AB＝，
故选：B．
4．解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC＝OB＝1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE＝＝＝5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×5×（﹣1）＝2，
故选：D．
5．解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，
∵AB＝AP+BP＝4+8＝12，
∴OD＝OA＝6，
∴OP＝OA﹣AP＝6﹣4＝2，
∵∠OPE＝∠APC＝45°，
∴△OPE是等腰直角三角形，
∴PE＝OE＝，
在Rt△OED中，DE＝＝＝，
∵OE⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2DE＝2，
故选：C．
6．解：∵y＝kx﹣k+2，
∴（x﹣1）k＝y﹣2，
∴k为任意数，
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，解得x＝1，y＝2，
∴直线y＝kx﹣k+2经过定点P（1，2），
连接OP，过P点作弦BC⊥OP，连接OB，如图，
则此时弦BC的长最小，
∵以原点O为圆心的圆过点A（5，0），
∴⊙O的半径为5，
∵OP＝＝，
∴BP＝＝2，
∵BC⊥OP，
∴PB＝PC，
∴BC＝2BP＝4，
即弦BC的长的最小值为4．
故选：D．
7．解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，
∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，
∴H、I是AC、BC的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，
∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，
∴PH+QI＝13﹣7＝6，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，
故选：C．
8．解：过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，
连接OA，OB，OD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH＝OA，
∴∠HAO＝30°，
∴∠AOH＝60°，
同理∠DOG＝60°，
∴∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOD+∠AOB＝180°，
∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝AO＝4，AB＝AD＝4，
∴四边形ABCD的面积是16，
故选：B．
9．解：如图，连接OD、OC、OF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝AD，
而OD＝OC，OA＝，OB＝，
∴OA＝OB，
设OB＝x，则OE＝x+4，AD＝AB＝2x，
在Rt△AOD中，OD2＝OA2+AD2＝x2+（2x）2＝5x2，
在Rt△OEF中有OF2＝OE2+EF2＝（x+4）2+42，
而OD＝OF，
∴（x+4）2+42＝5x2，
整理得x2﹣2x﹣8＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2（舍去），
∴OD＝x＝4，
即该圆的半径为4．
故选：A．
10．解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
11．解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝8，
设OF＝xcm，则OM＝OF，
∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，
在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2
即：（8﹣x）2+42＝x2
解得：x＝5，
故选：B．
12．解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中；
②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴；
④直径是弦；正确；
⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧；
故选：A．
二．填空题（共3小题，满分12分）
13．解：如图，①当AB与CD在直径的一侧时，
在Rt△AOF中，
∵OA＝25cm，AF＝20cm，
∴OF＝15cm．
同理OE＝7cm，
∴平行线AB与CD的距离为15﹣7＝8cm；
②当AB与CD不在直径的同一侧时，则其距离为15+7＝22cm．
综上所述，弦AB与CD之间的距离为8cm或22cm．
故答案为：8cm或22cm．
14．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝3，OF＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1，
过点C作CH⊥AB于H，连接AC，则CH＝EF＝1，AH＝（AB﹣CD）＝1，
∴AC＝＝，
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴EO＝3，OF＝4，
∴EF＝OF+OE＝7，
同法可得AC＝5，
③当C，D位置交换时，可得AC＝5或7
故答案为：或5或7．
15．解：∵△ABC中∠A＝62°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣62°）＝59°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣59°＝121°．
故答案是：121°．
三．解答题（共8小题，满分72分）
16．解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴BH＝＝＝4，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴CA＝＝5，
当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，
∵CP＝CE，
∴四边形APCE是菱形，
∴PA＝CP，
设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，
在Rt△APH中，
由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即⊙C的半径为，
作CM⊥EF于M，如图2所示：则CM＝AH＝3，ME＝MF＝EF，
在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴EF＝2ME＝．
17．解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
18．解：①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，
∴AF＝AB＝6，
由勾股定理得，OF＝＝8，
则GF＝OG﹣OF＝2dm；
②连接OC，
∵OE⊥CD，
∴CE＝EF＝8，
OE＝＝6，
则EF＝OG﹣OE﹣FG＝2dm，
当最大深度在AB的异侧，在上方时，最大深度为8+6＝14dm，
答：油的最大深度上升了2或14dm．
19．解：（1）∵，DC⊥AB，
∴AC＝BC，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，
∵AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解之得R＝5．
答：桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）设OD与EF相交于点G，联结OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠EGD＝∠EGO＝90°，
在Rt△EGD中，，
∴EG＝3DG，
设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，
∴EG＝6﹣3x，
在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2，
∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52，
化简得 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝2（舍去），x2＝1，
答：水面上升的高度为1米．
20．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CEF＝∠BFO＝90°
∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，
根据勾股定理可得：，
解得（舍弃）或，
∴BF＝4，AB＝2BF＝8．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵OB⊥OC，
∴∠A＝∠BOC＝45°，
∵AH⊥CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝CH，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，
∴四边形EFHC是矩形，
∴CH＝EF，
在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，
OE＝＝＝2，
∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，
∴∠FOB＝∠ECO，
∵OB＝OC，
∴△OFB≌△CEO（AAS），
∴OF＝EC＝，
∴CH＝EF＝3，
∴AC＝EF＝6．
21．解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，
∴AB＝＝，
∵ AB AC＝ BC AH，
∴AH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．
（2）作DM⊥AC于M．
∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，
∴××2＝×2×2+×2×DM，
∴DM＝，
∴sin∠DAC＝＝＝．
22．（1）证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON，
∵OE＝OD＝OC，
∴RT△OME≌RT△OND（HL），
∴ME＝ND，
∵EF＝2ME，CD＝2ND，
∴CD＝EF；
（2）解：由（1）可知CD＝EF＝CG，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON＝OH，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ONCH是正方形，
∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，
∵OC＝4，
∴OH＝OC＝4，
∴EF＝CD＝CG＝8，
易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，
∴AC＝10，
设BM＝BH＝x，则BC＝x+4，AB＝x+6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即（6+x）2＝102+（4+x）2，
解得x＝20，
∴BM＝20，
∴AB＝AM+BM＝20+6＝26．
23．解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
2．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝45°，则CD的长为（ ）
A． B．6 C．2 D．12
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y＝kx﹣k+2与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（
A． B．2 C．5 D．4
7．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
8．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．32
9．正方形ABCD、正方形BEFG，点A、B、E在半圆O的直径上，点D、C、F在半圆O上，若EF＝4，则该半圆的半径为（ ）
A． B．8 C． D．
10．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
12．下列说法中正确的个数有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径一定垂直于弦；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；
④直径是弦；
⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共3小题，满分12分）
13．已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB＝40cm，CD＝48cm，求弦AB与CD之间的距离为 ．
14．⊙O的半径为5，弦AB＝8，弦CD＝6，AB∥CD，则AC＝ ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
17．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
18．在半径为10dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．
①若油面宽AB＝12dm，求油的最大深度．
②在①的条件下，若油面宽变为CD＝16dm，求油的最大深度上升了多少dm？
19．如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．
20．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD，经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．
（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；
（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．
21．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
23．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得，r＝4，
故选：C．
2．解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．
∵AB是直径，且CD⊥AB，
∴CP＝CD＝3cm．
根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．
故选：B．
3．解：连接AB．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，
∴AB＝＝＝，
∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴AC＝CP，PD＝DB，
∴CD＝AB＝，
故选：B．
4．解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC＝OB＝1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE＝＝＝5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×5×（﹣1）＝2，
故选：D．
5．解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，
∵AB＝AP+BP＝4+8＝12，
∴OD＝OA＝6，
∴OP＝OA﹣AP＝6﹣4＝2，
∵∠OPE＝∠APC＝45°，
∴△OPE是等腰直角三角形，
∴PE＝OE＝，
在Rt△OED中，DE＝＝＝，
∵OE⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2DE＝2，
故选：C．
6．解：∵y＝kx﹣k+2，
∴（x﹣1）k＝y﹣2，
∴k为任意数，
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，解得x＝1，y＝2，
∴直线y＝kx﹣k+2经过定点P（1，2），
连接OP，过P点作弦BC⊥OP，连接OB，如图，
则此时弦BC的长最小，
∵以原点O为圆心的圆过点A（5，0），
∴⊙O的半径为5，
∵OP＝＝，
∴BP＝＝2，
∵BC⊥OP，
∴PB＝PC，
∴BC＝2BP＝4，
即弦BC的长的最小值为4．
故选：D．
7．解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，
∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，
∴H、I是AC、BC的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，
∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，
∴PH+QI＝13﹣7＝6，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，
故选：C．
8．解：过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，
连接OA，OB，OD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH＝OA，
∴∠HAO＝30°，
∴∠AOH＝60°，
同理∠DOG＝60°，
∴∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOD+∠AOB＝180°，
∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝AO＝4，AB＝AD＝4，
∴四边形ABCD的面积是16，
故选：B．
9．解：如图，连接OD、OC、OF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝AD，
而OD＝OC，OA＝，OB＝，
∴OA＝OB，
设OB＝x，则OE＝x+4，AD＝AB＝2x，
在Rt△AOD中，OD2＝OA2+AD2＝x2+（2x）2＝5x2，
在Rt△OEF中有OF2＝OE2+EF2＝（x+4）2+42，
而OD＝OF，
∴（x+4）2+42＝5x2，
整理得x2﹣2x﹣8＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2（舍去），
∴OD＝x＝4，
即该圆的半径为4．
故选：A．
10．解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
11．解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝8，
设OF＝xcm，则OM＝OF，
∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，
在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2
即：（8﹣x）2+42＝x2
解得：x＝5，
故选：B．
12．解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中；
②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴；
④直径是弦；正确；
⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧；
故选：A．
二．填空题（共3小题，满分12分）
13．解：如图，①当AB与CD在直径的一侧时，
在Rt△AOF中，
∵OA＝25cm，AF＝20cm，
∴OF＝15cm．
同理OE＝7cm，
∴平行线AB与CD的距离为15﹣7＝8cm；
②当AB与CD不在直径的同一侧时，则其距离为15+7＝22cm．
综上所述，弦AB与CD之间的距离为8cm或22cm．
故答案为：8cm或22cm．
14．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝3，OF＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1，
过点C作CH⊥AB于H，连接AC，则CH＝EF＝1，AH＝（AB﹣CD）＝1，
∴AC＝＝，
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴EO＝3，OF＝4，
∴EF＝OF+OE＝7，
同法可得AC＝5，
③当C，D位置交换时，可得AC＝5或7
故答案为：或5或7．
15．解：∵△ABC中∠A＝62°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣62°）＝59°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣59°＝121°．
故答案是：121°．
三．解答题（共8小题，满分72分）
16．解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴BH＝＝＝4，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴CA＝＝5，
当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，
∵CP＝CE，
∴四边形APCE是菱形，
∴PA＝CP，
设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，
在Rt△APH中，
由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即⊙C的半径为，
作CM⊥EF于M，如图2所示：则CM＝AH＝3，ME＝MF＝EF，
在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴EF＝2ME＝．
17．解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
18．解：①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，
∴AF＝AB＝6，
由勾股定理得，OF＝＝8，
则GF＝OG﹣OF＝2dm；
②连接OC，
∵OE⊥CD，
∴CE＝EF＝8，
OE＝＝6，
则EF＝OG﹣OE﹣FG＝2dm，
当最大深度在AB的异侧，在上方时，最大深度为8+6＝14dm，
答：油的最大深度上升了2或14dm．
19．解：（1）∵，DC⊥AB，
∴AC＝BC，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，
∵AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解之得R＝5．
答：桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）设OD与EF相交于点G，联结OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠EGD＝∠EGO＝90°，
在Rt△EGD中，，
∴EG＝3DG，
设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，
∴EG＝6﹣3x，
在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2，
∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52，
化简得 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝2（舍去），x2＝1，
答：水面上升的高度为1米．
20．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CEF＝∠BFO＝90°
∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，
根据勾股定理可得：，
解得（舍弃）或，
∴BF＝4，AB＝2BF＝8．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵OB⊥OC，
∴∠A＝∠BOC＝45°，
∵AH⊥CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝CH，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，
∴四边形EFHC是矩形，
∴CH＝EF，
在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，
OE＝＝＝2，
∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，
∴∠FOB＝∠ECO，
∵OB＝OC，
∴△OFB≌△CEO（AAS），
∴OF＝EC＝，
∴CH＝EF＝3，
∴AC＝EF＝6．
21．解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，
∴AB＝＝，
∵ AB AC＝ BC AH，
∴AH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．
（2）作DM⊥AC于M．
∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，
∴××2＝×2×2+×2×DM，
∴DM＝，
∴sin∠DAC＝＝＝．
22．（1）证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON，
∵OE＝OD＝OC，
∴RT△OME≌RT△OND（HL），
∴ME＝ND，
∵EF＝2ME，CD＝2ND，
∴CD＝EF；
（2）解：由（1）可知CD＝EF＝CG，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON＝OH，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ONCH是正方形，
∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，
∵OC＝4，
∴OH＝OC＝4，
∴EF＝CD＝CG＝8，
易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，
∴AC＝10，
设BM＝BH＝x，则BC＝x+4，AB＝x+6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即（6+x）2＝102+（4+x）2，
解得x＝20，
∴BM＝20，
∴AB＝AM+BM＝20+6＝26．
23．解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．