2021—2022学年青岛版数学九年级下册5.6 二次函数的图像与一元二次方程 同步练习 （Word版含答案）

二次函数的图像与一元二次方程（有答案）
抛物线的对称轴为直线若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围是
A. B. C. D.
若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的值是
A. B. C. D.
如图，在二次函数的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：；；；；关于的一元二次方程无实数很，共中信息错误的个数为
A.
B.
C.
D.
如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线关于下列结论：；；；；方程的两个根为，，其中正确的结论有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是
A.
B.
C.
D. 或
如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点在点与点之间包含端点，顶点的坐标为则下列结论：其中结论正确的个数为
；
；
对于任意实数，总成立；
关于的方程没有实数根．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知二次函数的图象如图，其对称轴为，则下列结论中正确的是
A.
B.
C.
D.
E.
如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是
A.
B.
C. 关于的一元二次方程的两根分别为和
D. 若点，在抛物线上，则
抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论中正确的是
A.
B. 当时，随增大而减小
C.
D. 若方程没有实数根，则
E.
在直角坐标系中，若三点，，中恰有两点在抛物线且，均为常数的图象上，则下列结论正确是 ．
A. 抛物线的对称轴是直线
B. 抛物线与轴的交点坐标是和
C. 当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
D. 若，和，都是抛物线上的点且，则．
已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，则下列结论正确的是
A. 对称轴为直线
B.
C.
D. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数解
已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，若关于的一元二次方程有整数根，则的值有______个．
抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为．
求抛物线的解析式；
计算的面积．
已知二次函数为常数．
求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；
当取什么值时，该函数的图象与轴的交点在轴的下方？
如图，已知抛物线交轴于点，，交轴于点，直线交抛物线于点，在的左侧，抛物线顶点为．
求该抛物线的解析式；
求的面积；
若，则此时横坐标的取值范围是______直接写出结果
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解．
【解答】
解：的对称轴为直线，
，
，
一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，
方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
函数在时有最小值；
．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；也考查了根的判别式，决定抛物线与轴的交点个数．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【解答】
解：根据题意，得，
解得，
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】
解：根据图象可知：，
，故正确；
由图象可知：，，
由对称轴可知：，
，
，故错误；
由图象可知：，
，
当时，，
，
，故正确；
由图象可知：当时，，
，
，
，故正确；
由于二次函数的最大值为，
关于的一元二次方程无实数很，故正确；
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】
解：抛物线开口向下，
，
，
，，
，
错误，正确，
抛物线与轴交于，处两点，
，方程的两个根为，，
正确，
当时，即，
正确，
故正确的有．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
观察函数图象在上和上方部分的的取值范围便可．
【解答】
解：由函数图象可知，当时，二次函数不在下方部分的自变量满足：，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：顶点的坐标为．
对称轴为，即，也就是；
抛物线与轴的一个交点为，
，将代入得；，即；因此正确；
由得，；
抛物线与轴的交点在点与点之间，
，即：，
，因此正确；
当时，，
当时，，为任意实数，
为顶点坐标，
，即：，因此正确，
，顶点为，
当时，关于的方程有两个相等的实数根，即：，
当时，关于的方程有两个不相等的实数根，
因此不正确；
综上所述，正确的结论有个，
故选：．
根据抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴的交点坐标，逐个进行判断，最后得出结论．
考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与、、的关系是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，准确分析判断是解题的关键．根据二次函数开口方向、对称轴和图象性质判断逐一即可．
【解答】
解：根据函数图像可知，二次函数与轴有两个交点，
，
则，故正确；
抛物线开口向上，
，
又抛物线与轴交于负半轴，
，
又，
，
，，故、错误；
由图象可知：当时，，即，故正确；
当时，，故正确；
故选．

8.【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的对称性等相关知识点，牢记相关知识点并能灵活应用是解题的关键．
A.由图象可知抛物线与轴的交点个数，从而确定相应的一元二次方程根的情况即可；
B.抛物线开口方向向上，即函数有最小值，从而知道选项是否正确；
C.根据图象分析出函数的对称轴，然后分析出关于对称轴的对称点，即可知道对应的一元二次方程的两个根；
D.根据抛物线开口方向和对称轴，分析判断两点离对称轴的距离，即可得出结论．
【解答】
解：、根据函数对称性，二次函数图象与轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，此时，即，选项正确；
B、抛物线开口方向向上，即函数有最小值，所以，选项正确；
C、由函数图象知，对称轴为，所以点与关于对称轴对称，即关于的一元二次方程的两根分别是和，选项正确；
D、因为抛物线开口向上，对称轴为，离对称轴的距离大于离对称轴的距离，所以，所以选项错误．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
利用图象信息，以及二次函数的性质等知识即可一一判断．
【解答】
解：二次函数与轴有两个交点，
，故A错误，
观察图象可知：当时，随增大而减小，故B正确，
抛物线与轴的另一个交点为在和之间，
时，，故C正确，
当时，抛物线与直线没有交点，
方程没有实数根，故D正确，
对称轴，
，
，
，故E正确，
故答案为．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线与轴的交点根的判别式二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的解答方法．
利用待定系数法将各点坐标两两组合代入，求得抛物线解析式为，再根据对称轴为直线求解即可得到选项是正确答案，由抛物线解析式为，即可得到抛物线与轴的交点坐标和，从而判断出选项不正确，令关于的一元二次方程的根的判别式，解得，从而得到选项正确，根据抛物线图象的性质由，推出，从而推出，得到选项正确．
【解答】
解：当抛物线图象经过点和点时，将和分别代入，
得，解得，不符合题意，
当抛物线图象经过点和点时，将和分别代入，
得，此时无解，
当抛物线图象经过点和点时，将和分别代入，
得，解得
因此，抛物线经过点和点，
其解析式为，
抛物线的对称轴为直线，故选项正确，
因为，
所以抛物线与轴的交点坐标是和，故选项不正确，
由得，
方程根的判别式
当，时，，
当时，即，解得，
此时关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故选项正确，
因为抛物线与轴交于点和，且其图象开口向上，
若和都是抛物线上的点，且，
得，又得，
所以，故选项正确．
故选．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质正确计算是解题关键．
利用待定系数法求得二次函数解析式，然后利用二次函数的性质逐个进行判断即可．
【解答】
解：由题意可得，将，，代入中，
，解得，
二次函数的解析式为，
对称轴为直线，故选项符合题意；
，故选项不符合题意；
，故选项符合题意；
关于的一元二次方程为，即
，
方程有两个相等的实数根，故选项不符合题意
故选：．

12.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为
，解得．
又抛物线与轴的一个交点为．
把代入得，
解得，．
对称轴，最大值
如图所示，
顶点坐标为
令
即
解得或
当时，抛物线始终与轴交于与
即常函数直线，由
由图象得当时，，其中为整数时，，，，，
一元二次方程的整数解有个．
又与，与关于直线轴对称
当时，直线恰好过抛物线顶点．
所以值可以有个．
故答案为．
根据题意可知一元二次方程的根应为整数，通过抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为可以画出大致图象判断出直线，观察图象当时，抛物线始终与轴相交于于故自变量的取值范围为所以可以取得整数，，，，，共个．由于与，与关于对称轴直线对称，所以于与对应一条平行于轴的直线，与对应一条平行于轴的直线，时对应一条平行于轴且过抛物线顶点的直线，从而确定时，的值应有个．
本题考查了二次函数图象抛物线与轴及常函数直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．
13.【答案】解：把，代入，解得，
所以抛物线解析式为；
当时，，则，
所以的面积．
【解析】利用待定系数法求抛物线解析式；
先利用抛物线解析式求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
14.【答案】证明：方法一：
当时，，
解得，，
当，即时，方程有两个相等的实数根，
当，即时，方程有两个不相等的实数根，
所以，不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；
方法二：，
当时，，
，
所以，不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；
，
当时，，
即该函数的图象与轴交点的纵坐标是，
当，得，
即时，该函数的图象与轴的交点在轴的下方．
【解析】方法一：根据题意中的函数解析式，可以求得与轴的交点，从而可以证明结论成立；方法二：令，计算出方程时的的值，即可证明结论成立；
令得到的值，然后令此时的值小于零，即可求得的取值范围．
本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15.【答案】根据题意得，
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
解方程组，得
，，
，，
，
，
过作垂直轴于，与交于点，
，
，
；
【解析】
解：见答案；
见答案；
当时，，
解得，，
直线与轴的交点为，
由图象可知，当时，．
故答案为：．
【分析】
用待定系数法进行解答；
联立两个函数解析，求出、点的坐标，由抛物线顶点坐标公式求点坐标，过作垂直轴于，与交于点，根据求的面积；
根据观察函数图象，直接写答案便可．
本题考查了二次函数与不等式组：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 第2页，共2页
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