2021-2022学年冀教版九年级数学下册29.3切线的性质与判定 解答题专题训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年冀教版九年级数学下册29.3切线的性质与判定 解答题专题训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 405.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-15 23:44:34 | ||
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文档简介
2021-2022学年冀教版九年级数学下册《29.3切线的性质与判定》解答题专题训练（附答案）
1．如图，A，B，C，D四点在⊙O上，AD，BC的延长线相交于点E，直径AD＝10，OE＝13，且∠EDC＝∠ABC．
（1）求证：；
（2）计算CE BE的值；
（3）探究：BE的取值范围．
2．如图，已知：AB是⊙O的直径，AC是切线，A为切点，BC交⊙O于点D，切线DE交AC于点E．求证：AE＝EC．
3．如图，P是⊙O外一点，割线POB与⊙O相交于A、B，切线PC与⊙O相切于C，若PA＝2，PC＝3，求⊙O的半径．
4．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，过A、C两点的圆⊙O切AB于A，BC的延长线交⊙O于D，∠ABD的角平分线交AC于E，交AD于F．
（1）求证：AE＝AF；（2）若AC＝CD＝2，求AD．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．
（Ⅰ）若AB＝4，求的长；
（Ⅱ）若＝，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．
6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝．
（1）求∠BED的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．
7．已知：AB是⊙O的直径，C是AB上一点，PC⊥AB，交⊙O于F，PDE是割线，交⊙O于D、E．求证：PC2＝PD PE+AC CB．
8．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
9．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA＝5cm，C是上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？
10．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．
求证：（1）AD＝AE；（2）AB AE＝AC DB．
11．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．
12．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连接CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．
13．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A、B），AD⊥CD．
（1）若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
14．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
15．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
16．如图，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点C作CB⊥AC交AD的延长线于点B，点E为BC的中点，连接DE、DC．
（1）求证：ED＝EC．
（2）求证：DE是⊙O的切线．
（3）若OA＝DB，求tanB的值．
17．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，若AB＝5，BC＝3，求线段AE的长．
18．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC；
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF＝2，AF＝5，求BD长．
19．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
20．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD．
（1）若AB＝3，BC＝4，求边BD的长；
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．
21．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数．
22．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD2＝CA CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E，若BC＝12，CA＝4，求BE的长．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠A；
∴△CDE∽△ABE；
∴．
（2）解：根据题意得DE＝13﹣5＝8，AE＝10+8＝18；
根据割线定理得CE BE＝AE DE＝144．
（3）解：若点B和点C重合，即BE和圆相切，则根据勾股定理得BE＝12；
∴12≤BE＜18．
2．解：如图，连接AD，
∵AB是圆的直径．
∴∠ADB＝90°，则∠ADC＝90°
∴∠DAC+∠C＝90°
∵AE，DE是圆的切线．
∴AE＝DE
∴∠DAE＝∠ADE
又∵∠DAE+∠C＝∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠EDC＝∠C
∴DE＝EC
∴AE＝EC
3．解：设圆半径为r 由切割线定理，
得 PC2＝PA PB，
∴32＝2（2+2r），
解得 ，
∴⊙O 的半径为．
4．（1）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠AEF＝∠BAC+∠ABC，∠AFE＝∠ADB+∠ABC，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴AE＝AF；
（2）解：∵AB是⊙O切线，AC＝CD＝2，
∴AB2＝BC BD
∴4＝BC×（BC+2）
∴BC＝﹣1，BC＝﹣﹣1（舍去），
∵AC＝CD＝2，
∴∠CAD＝∠D，
∵AB是⊙O切线，
∴∠BAC＝∠D，
∴AC是∠BAD的平分线，
∴＝，
∴＝
∴AD＝．
答；AD的长为．
5．解：（Ⅰ）连接OC，OD，
∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，
∴∠COD＝90°，
∵AB＝4，
∴OC＝AB＝2，
∴的长＝×π×2＝π；
（Ⅱ）∵＝，
∴∠BOC＝∠AOD，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，
∴∠ODA＝67.5°，
∵AD＝AP，
∴∠ADP＝∠APD，
∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，
∴∠ADP＝CAD＝22.5°，
∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
6．解：（1）连接OB，如图1，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，
∴∠BED＝∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，OB，如图2，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵BF＝3，OB＝3，
∴，
∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．
7．证明：延长PC交⊙O于G，
由割线定理，得PD PE＝PF PG．
由相交弦定理，得AC BC＝CF CG．
∵直径AB⊥FG，
∴CF＝CG，
∴AB BC＝CF2，
∴PD PE＝PF PG＝（PC﹣CF）（PC+CG）＝（PC﹣CF）（PC+CF）＝PC2﹣CF2，
∴PD PE+AC CB＝PC2﹣CF2+CF2＝PC2，
即 PC2＝PD PE+AC CB．
8．（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是直角三角形；
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，
∴BC＝＝10；
（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF＝＝＝4.8．
9．解：∵PA、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，
∴AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，
∴△PED的周长是：PD+DE+PE
＝PD+DC+CE+PE
＝PD+DA+PE+BE
＝PA+PB
＝2PA＝10cm．
答：△PED的周长是10cm．
10．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，
又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．
∴∠ADE＝∠AED．
∴AD＝AE．
（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，
∴△APB∽△CPA，得．
∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得．
∴．
∴AB AE＝AC DB．
11．（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴＝，
∴BD＝2；
（3）解：结论CE＝AB﹣BE，
理由：过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE+∠BCD＝∠A+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A，
∵∠DHA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．
12．解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵O为∠MBN角平分线上一点，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，
∵AD⊥BO于点D，
∴∠D＝90°，
∴∠BCO＝∠D＝90°，
在△BOC和△BOE中，
∵，
∴△BOC≌△BOE（AAS），
∴OE＝OC，
∵OE⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，
∴∠EOA＝∠ABC，
∵tan∠ABC＝、BC＝6，
∴AC＝BC tan∠ABC＝8，
则AB＝10，
由（1）知BE＝BC＝6，
∴AE＝4，
∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，
∴，
∴OE＝3，OB＝＝3，
∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABD∽△OBC，
∴，即＝，
∴AD＝2．
13．解：（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得AC＝4；
（2）证明：连接OC
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC＝90°，
∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，
∴DC是⊙O的切线．
14．证明：（1）连接AD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
又∵DC＝BD，
∴AD是BC的中垂线．
∴AB＝AC．
（2）连接OD；
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC．
∴∠ODE＝∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°．
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
15．证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF＝CF＝3，
∴OF＝＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE＝OF＝4．
16．（1）证明：连接OD，如图，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴△BDC为直角三角形，
∵E为BC边上的中点，
∴ED＝EC；
（2）证明：∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD，
即∠ODE＝∠OCE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ABC中，CD⊥AB，
∴AC2＝AD×AB，
∵OA＝DB，
∴AC＝2DB，
∴20DB2＝AD（AD+DB），
整理得，AD2+DB DB﹣20DB2＝0，
∴（AD+5DB）（AD﹣4DB）＝0，
∴AD＝4DB，AD＝﹣5DB（舍去），
∵DC2＝AC2﹣AD2
∴DC＝2DB，
∴tanB＝＝2．
17．（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵点C是的中点，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴AC＝＝4，
∵∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴＝，
∴AE＝＝．
18．（1）证明：如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，
∴∠BDM＝∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
又∵OD为⊙O半径，
∴直线DM是⊙O的切线；
（2）∵＝，
∴∠DBF＝∠DAB，
又∵∠BDF＝∠ADB（公共角），
∴△DBF∽△DAB，
∴，即DB2＝DF DA，
∵DF＝2，AF＝5∴DA＝DF+AF＝7
∴DB2＝DF DA＝14
∴DB＝．
19．证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD；
（2）连接半径OD，
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
20．解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，
∵ AB BC＝ AC BD，
∴BD＝．
（2）证明：连接OD．
∵OD＝OB（⊙O的半径），
∴∠OBD＝∠BDO
∵AB是直径（已知），
∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ADB＝∠BDC＝90°；
在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴BE＝CE＝DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠DBE＝∠BDE
又∵∠ABC＝∠OBD+∠DBE＝90°，
∴∠ODE＝∠BDO+∠BDE＝90°（等量代换）；
∵点D在⊙O上，
∴ED与⊙O相切；
21．解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°．
22．（1）证明：∵∠CDA＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴，∴CD2＝CA CB
（2）证明：连接OD，如图所示：
则∠ADO＝∠BAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠CBD+∠BAD＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA+∠ADO＝90°＝∠CDO，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线；
（3）解：∵BE是⊙O的切线，
∴∠CBE＝90°，
由（2）知∠CDO＝90°，
∴∠CDO＝∠CBE，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDO∽△CBE，
∴，
∵BC＝12，CA＝4，
∴AB＝8，
∴OA＝OD＝4，
∴OC＝CA+OA＝8，
在Rt△CDO中，CD＝＝＝4，
∴，
解得：BE＝．
1．如图，A，B，C，D四点在⊙O上，AD，BC的延长线相交于点E，直径AD＝10，OE＝13，且∠EDC＝∠ABC．
（1）求证：；
（2）计算CE BE的值；
（3）探究：BE的取值范围．
2．如图，已知：AB是⊙O的直径，AC是切线，A为切点，BC交⊙O于点D，切线DE交AC于点E．求证：AE＝EC．
3．如图，P是⊙O外一点，割线POB与⊙O相交于A、B，切线PC与⊙O相切于C，若PA＝2，PC＝3，求⊙O的半径．
4．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，过A、C两点的圆⊙O切AB于A，BC的延长线交⊙O于D，∠ABD的角平分线交AC于E，交AD于F．
（1）求证：AE＝AF；（2）若AC＝CD＝2，求AD．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．
（Ⅰ）若AB＝4，求的长；
（Ⅱ）若＝，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．
6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝．
（1）求∠BED的大小；
（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．
7．已知：AB是⊙O的直径，C是AB上一点，PC⊥AB，交⊙O于F，PDE是割线，交⊙O于D、E．求证：PC2＝PD PE+AC CB．
8．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
9．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA＝5cm，C是上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？
10．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．
求证：（1）AD＝AE；（2）AB AE＝AC DB．
11．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．
12．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连接CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．
13．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A、B），AD⊥CD．
（1）若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
14．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
15．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
16．如图，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点C作CB⊥AC交AD的延长线于点B，点E为BC的中点，连接DE、DC．
（1）求证：ED＝EC．
（2）求证：DE是⊙O的切线．
（3）若OA＝DB，求tanB的值．
17．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，若AB＝5，BC＝3，求线段AE的长．
18．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC；
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF＝2，AF＝5，求BD长．
19．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
20．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD．
（1）若AB＝3，BC＝4，求边BD的长；
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．
21．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数．
22．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD2＝CA CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E，若BC＝12，CA＝4，求BE的长．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠A；
∴△CDE∽△ABE；
∴．
（2）解：根据题意得DE＝13﹣5＝8，AE＝10+8＝18；
根据割线定理得CE BE＝AE DE＝144．
（3）解：若点B和点C重合，即BE和圆相切，则根据勾股定理得BE＝12；
∴12≤BE＜18．
2．解：如图，连接AD，
∵AB是圆的直径．
∴∠ADB＝90°，则∠ADC＝90°
∴∠DAC+∠C＝90°
∵AE，DE是圆的切线．
∴AE＝DE
∴∠DAE＝∠ADE
又∵∠DAE+∠C＝∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠EDC＝∠C
∴DE＝EC
∴AE＝EC
3．解：设圆半径为r 由切割线定理，
得 PC2＝PA PB，
∴32＝2（2+2r），
解得 ，
∴⊙O 的半径为．
4．（1）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠AEF＝∠BAC+∠ABC，∠AFE＝∠ADB+∠ABC，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴AE＝AF；
（2）解：∵AB是⊙O切线，AC＝CD＝2，
∴AB2＝BC BD
∴4＝BC×（BC+2）
∴BC＝﹣1，BC＝﹣﹣1（舍去），
∵AC＝CD＝2，
∴∠CAD＝∠D，
∵AB是⊙O切线，
∴∠BAC＝∠D，
∴AC是∠BAD的平分线，
∴＝，
∴＝
∴AD＝．
答；AD的长为．
5．解：（Ⅰ）连接OC，OD，
∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，
∴∠COD＝90°，
∵AB＝4，
∴OC＝AB＝2，
∴的长＝×π×2＝π；
（Ⅱ）∵＝，
∴∠BOC＝∠AOD，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，
∴∠ODA＝67.5°，
∵AD＝AP，
∴∠ADP＝∠APD，
∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，
∴∠ADP＝CAD＝22.5°，
∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
6．解：（1）连接OB，如图1，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，
∴∠BED＝∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，OB，如图2，
∵AB是切线，
∴∠OBF＝90°，
∵BF＝3，OB＝3，
∴，
∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BOF＝∠DOF＝60°，
在△BOF和△DOF中，
，
∴△BOF≌△DOF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF＝90°，
∴DF与⊙O相切．
7．证明：延长PC交⊙O于G，
由割线定理，得PD PE＝PF PG．
由相交弦定理，得AC BC＝CF CG．
∵直径AB⊥FG，
∴CF＝CG，
∴AB BC＝CF2，
∴PD PE＝PF PG＝（PC﹣CF）（PC+CG）＝（PC﹣CF）（PC+CF）＝PC2﹣CF2，
∴PD PE+AC CB＝PC2﹣CF2+CF2＝PC2，
即 PC2＝PD PE+AC CB．
8．（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是直角三角形；
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，
∴BC＝＝10；
（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF＝＝＝4.8．
9．解：∵PA、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，
∴AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，
∴△PED的周长是：PD+DE+PE
＝PD+DC+CE+PE
＝PD+DA+PE+BE
＝PA+PB
＝2PA＝10cm．
答：△PED的周长是10cm．
10．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，
又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．
∴∠ADE＝∠AED．
∴AD＝AE．
（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，
∴△APB∽△CPA，得．
∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得．
∴．
∴AB AE＝AC DB．
11．（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴＝，
∴BD＝2；
（3）解：结论CE＝AB﹣BE，
理由：过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE+∠BCD＝∠A+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A，
∵∠DHA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．
12．解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵O为∠MBN角平分线上一点，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，
∵AD⊥BO于点D，
∴∠D＝90°，
∴∠BCO＝∠D＝90°，
在△BOC和△BOE中，
∵，
∴△BOC≌△BOE（AAS），
∴OE＝OC，
∵OE⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，
∴∠EOA＝∠ABC，
∵tan∠ABC＝、BC＝6，
∴AC＝BC tan∠ABC＝8，
则AB＝10，
由（1）知BE＝BC＝6，
∴AE＝4，
∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，
∴，
∴OE＝3，OB＝＝3，
∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABD∽△OBC，
∴，即＝，
∴AD＝2．
13．解：（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得AC＝4；
（2）证明：连接OC
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC＝90°，
∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，
∴DC是⊙O的切线．
14．证明：（1）连接AD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
又∵DC＝BD，
∴AD是BC的中垂线．
∴AB＝AC．
（2）连接OD；
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC．
∴∠ODE＝∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°．
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
15．证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF＝CF＝3，
∴OF＝＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE＝OF＝4．
16．（1）证明：连接OD，如图，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴△BDC为直角三角形，
∵E为BC边上的中点，
∴ED＝EC；
（2）证明：∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD，
即∠ODE＝∠OCE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ABC中，CD⊥AB，
∴AC2＝AD×AB，
∵OA＝DB，
∴AC＝2DB，
∴20DB2＝AD（AD+DB），
整理得，AD2+DB DB﹣20DB2＝0，
∴（AD+5DB）（AD﹣4DB）＝0，
∴AD＝4DB，AD＝﹣5DB（舍去），
∵DC2＝AC2﹣AD2
∴DC＝2DB，
∴tanB＝＝2．
17．（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵点C是的中点，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴AC＝＝4，
∵∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴＝，
∴AE＝＝．
18．（1）证明：如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，
∴∠BDM＝∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
又∵OD为⊙O半径，
∴直线DM是⊙O的切线；
（2）∵＝，
∴∠DBF＝∠DAB，
又∵∠BDF＝∠ADB（公共角），
∴△DBF∽△DAB，
∴，即DB2＝DF DA，
∵DF＝2，AF＝5∴DA＝DF+AF＝7
∴DB2＝DF DA＝14
∴DB＝．
19．证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD；
（2）连接半径OD，
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
20．解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，
∵ AB BC＝ AC BD，
∴BD＝．
（2）证明：连接OD．
∵OD＝OB（⊙O的半径），
∴∠OBD＝∠BDO
∵AB是直径（已知），
∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ADB＝∠BDC＝90°；
在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴BE＝CE＝DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠DBE＝∠BDE
又∵∠ABC＝∠OBD+∠DBE＝90°，
∴∠ODE＝∠BDO+∠BDE＝90°（等量代换）；
∵点D在⊙O上，
∴ED与⊙O相切；
21．解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°．
22．（1）证明：∵∠CDA＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴，∴CD2＝CA CB
（2）证明：连接OD，如图所示：
则∠ADO＝∠BAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠CBD+∠BAD＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA+∠ADO＝90°＝∠CDO，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线；
（3）解：∵BE是⊙O的切线，
∴∠CBE＝90°，
由（2）知∠CDO＝90°，
∴∠CDO＝∠CBE，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDO∽△CBE，
∴，
∵BC＝12，CA＝4，
∴AB＝8，
∴OA＝OD＝4，
∴OC＝CA+OA＝8，
在Rt△CDO中，CD＝＝＝4，
∴，
解得：BE＝．