2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似 章综合知识点分类训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似 章综合知识点分类训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 518.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-15 23:49:35 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》章综合知识点分类训练（附答案）
一．比例的性质
1．若＝＝≠0，且a+b﹣2c＝3，则a＝ ．
二．比例线段
2．下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
3．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（ ）
A．8 B．6 C． D．2
4．在比例尺为1：8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 千米．
三．黄金分割
5．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，∠ACB＝36°，AB＝BC，AC＝2，则AB的长度是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
7．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）
以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（ ）
A． B． C． D．
四．平行线分线段成比例
8．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知 ABCD的对角线交于O点，M为OD的中点，过M的直线分别交AD于CD于P、Q，与BA、BC的延长线于E、F
（1）如图1，若EF∥AC，求证：PE+QF＝2PQ；
（2）如图2，若EF与AC不平行，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不成立，请说明理由．
五．相似图形
10．下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形
C．两个直角梯形 D．两个正方形
六．相似多边形的性质
11．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为s2，s3，…，sn（n为正整数），那么第9个正方形的面积S9＝ ．
七．相似三角形的性质
12．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（ ）
A．6﹣3 B．6﹣6 C．3 D．
13．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（ ）
A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对
八．相似三角形的判定
14．在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（ ）
A．6条 B．3条 C．4条 D．5条
15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 ．
九．相似三角形的判定与性质
16．如图，已知四边形ABCD为正方形，A，B在x轴上，对角线AC的长度为3．反比例函数y＝（x＞0）的图象与AC，BC分别交于点E，F，若，则CF为 ．
17．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第4个正方形的面积为 ．
18．如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上由点E顺时针向点C运动（点B不与点E、C重合），弦BD交CE于点F，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．
（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求圆心O到弦CD的距离；
（2）在（1）的条件下，当DF DB＝CD2时，求∠CBD的大小；
（3）若AB＝2AE，且CD＝12，求△BCD的面积．
19．如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°．
（1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC BD＝AD BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求的值．
十．相似三角形的应用
20．如图，小明把小球竖直向上抛起，当小球到达最高点时球的最高点正好处于距离屋顶白炽灯10cm的位置，且灯与球心所在直线垂直于地面，这时小球在地面的影子的面积为1.92πm2．已知，灯与地面的距离为2.4m，小球的半径为 cm．
十一．作图—相似变换
21．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．
十二．位似变换
22．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣12，﹣8）
C．（﹣3，﹣2）或（3，2） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
23．在平面直角坐标系，点A坐标（﹣2，4），点B坐标（﹣4，0），点P是线段AB的中点，若以原点O为位似中心，把线段AB缩小为原来的得到线段A′B′，则点P的对应点P′坐标是 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第一象限内，将矩形OABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍，得到矩形OA1B1C1，再将矩形OA1B1C1以原点O为位似中心放大2倍，得到矩形OA2B2C2…，以此类推，得到的矩形OAnBn n的对角线交点的坐标为 ．
25．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中有格点△ABC．（注：顶点在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）
只用没有刻度的直尺，按如下要求画图：
（1）以点C为位似中心，在图1中作△DEC∽△ABC，且相似比为1：2；
（2）若点B为原点，点C（4，0），请在图2中画出平面直角坐标系，作出△ABC的外心，并直接写出△ABC的外心的坐标 ．
26．如图是9×16的边长为1的方格，在方格中有△ABC．
（1）以O为位似中心作△ABC的位似图形△A1B1C1，使作出的边长A1B1＝2AB，并保留作图痕迹；
（2）将△ABC绕点A顺时针方向旋转45°，在旋转的过程中，△ABC形状保持不变，面积逐渐增大，旋转到45°时止，此时得到△AC′B′的面积是原来△ABC的面积的8倍，请你计算AC′、C′B′的长，并作出旋转后的图形．
参考答案
一．比例的性质
1．解：∵＝＝≠0，且a+b﹣2c＝3，
∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，
则6x+5x﹣8x＝3，
解得：x＝1，
故a＝6．
故答案为：6．
二．比例线段
2．解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15＝3×5，∴选项D成比例．
故选：D．
3．解：若b是a、c的比例中项，
即b2＝ac．
42＝2c，
解得c＝8，
故选：A．
4．解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，
∵比例尺＝，
∴1：8000000＝4：x，
∴x＝32000000，
∴甲、乙两地的实际距离为是320km，
故答案为：320．
三．黄金分割
5．解：根据黄金分割定义可知：
AP是AB和BP的比例中项，
即AP2＝AB BP，
∴＝．
故选：A．
6．解：∵AB＝BC，∠ACB＝36°，
∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∠B＝∠CED＝108°，
∴∠AED＝72°，
∴CA＝CD，∠ACD＝36°，
∴∠CAD＝∠CDA＝72°，
∴∠ADE＝∠ACD＝36°，
∴DA＝ED＝EC，设AB＝x，则AD＝DE＝EC＝x，
∵∠DAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACD，
∴△DAE∽△CAD，
∴AD2＝AE AC，
∴x2＝（2﹣x） 2，
∴x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），
∴AB＝﹣1，
故选：A．
7．解法一：∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），，
∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，
∴x2+x﹣1＝0，
解得x＝，
∵0＜x＜1，
∴x＝．
解法二：
由c＝a+x（b﹣a），可得x＝，
由，可得（c﹣a）2＝（b﹣a）（b﹣c），
即（c﹣a）2＝（b﹣a）[（b﹣a）﹣（c﹣a）]，
∴（c﹣a）2＝（b﹣a）2﹣（b﹣a）（c﹣a），
两边同时除以（b﹣a）2可得，
＝1﹣，
将x＝代入，可得x2+x﹣1＝0，
解得x＝，
∵0＜x＜1，
∴x＝．
故选：D．
四．平行线分线段成比例
8．解：∵DE∥BC，
∴，
∴当时，，
∴EF∥CD，故C选项符合题意；
而A，B，D选项不能得出EF∥CD，
故选：C．
9．解：（1）如图1，∵MP∥OA，DM＝MO，
∴DP＝PA．
在 ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠EAP＝∠QDP，∠AEP＝∠DQP．
在△APE与△DPQ中，
，
∴△APE≌△DPQ（AAS），
∴PE＝PQ．
同理，QF＝PQ，
∴PE+QF＝2PQ；
（2）若EF与AC不平行，则（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2，过O点作ON∥AD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，则AP+CF＝2ON．
易证△OMN≌△DMP，
∴ON＝PD，
∴AP+CF＝2PD．
∵CF∥PD，∴＝，
∵DQ∥AE，∴＝，
∴+＝+，即＝＝＝2，
∴QF+PE＝2PQ．
五．相似图形
10．解：A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；
故选：D．
六．相似多边形的性质
11．解：以正方形的对角线为边长就是在原来边长的基础上都乘以就是下一个正方形的边长．
因为第一个边长为1，所以第9个正方形的边长为16，
S9＝16×16＝256．
故答案为：256．
七．相似三角形的性质
12．解：取AB的中点S，连接MS、PS，
则PS﹣MS≤PM≤MS+PS，
∵∠AOB＝90°，OA＝6，∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝12，OB＝6
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB＝∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC＝∠OAD，
∵∠OBC+∠PBO＝180°，
∴∠OAD+∠PBO＝180°，∠AOB+∠APB＝180°，
∴∠APB＝∠AOB＝90°，又S是AB的中点，
∴PS＝AB＝6，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS＝OB＝3，
∴MP的最小值为6﹣3，
故选：A．
13．解：∵∠A＝∠A，
分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴，
∴DE＝12，
②∠ADE′＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝＞AB，不合题意，
故选：A．
八．相似三角形的判定
14．解：以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD＝90度，
当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．
同理，当OC与OB是对应边时，又有两条满足条件的直线，
所以共有四条．
故选：C．
15．解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝BC∴BF＝4
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD＝BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C，
∴△AMC∽△FAC，
∴＝
∴FC＝
∵AC＝5，MC＝BC＝4
∴FC＝
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝
∴BD＝BF＝
故答案为：2或．
九．相似三角形的判定与性质
16．解：法一：过点E作EH⊥AB于点H，连接EF，
设CE＝a，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，
又∵AB2+BC2＝AC2，AC＝，
∴AB＝BC＝3，
又∵，∠ECF＝∠BCA，
∴△CEF∽△CBA，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，∠CEF＝90°，
∴CE＝EF，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
CF＝＝，
又∵BC＝BF+CF，AC＝AE+CE，
∴BF＝3﹣，AE＝，
又∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
点F的纵坐标为3﹣，
∴点F的横坐标为，
即OB＝，
同理可求出：EH＝AH＝3﹣，
OH＝，
又∵AB＝AH+HB，
∴HB＝，
又∵OB﹣OH＝HB，
∴﹣＝，
解得：a1＝，a2＝4（舍去）
CF＝＝＝1，
法二：由比例得相似得等腰Rt△CEF，过E做EM垂直CF于M，设CM＝FM＝EM＝m，
设E（a，3﹣m），则F（a+m，3﹣2m），那么a（3﹣m）＝（a+m）（3﹣2m）＝5，
可得m＝4（舍） 或 m＝，
∴CF＝2m＝1，
故答案为：1．
17．解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．
∴OA＝1，OD＝2，
在Rt△AOD中，AD＝＝，
∴正方形ABCD的面积为：（）2＝5；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝∠ABA1＝90°＝∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，
∴∠ADO＝∠BAA1，
∵∠DOA＝∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴＝，即＝，
解得：A1B＝，
∴A1C＝A1B+BC＝，
∴正方形A1B1C1C的面积为：（）2＝；
∵第1个正方形ABCD的面积为：5；
第2个正方形A1B1C1C的面积为：＝×5；
同理可得：第3个正方形A2B2C2C1的面积为：××5＝（）2×5；
∴第4个正方形A3B3C3C2的面积为：（）3×5．
故答案为：5，（）3×5．
18．解：（1）如图，过O作OH⊥CD于H，
∵点D为弧EC的中点，
∴弧ED＝弧CD，
∴∠OCH＝45°，
∴OH＝CH，
∵圆O的半径为2，即OC＝2，
∴OH＝；
（2）∵当DF DB＝CD2时，，
又∵∠CDF＝∠BDC，
∴△CDF∽△BDC，
∴∠DCF＝∠DBC，
由（1）可得∠DCF＝45°，
∴∠DBC＝45°；
注：也可以由点D为弧EC的中点，可得弧ED＝弧CD，即可得出∠DCF＝∠DBC＝45°；
（3）如图，连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，
∵BD＝BC，OD＝OC，
∴BH垂直平分CD，
又∵AB∥CD，
∴∠ABO＝90°＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠OBC＝∠OCB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴，即AB2＝AE×AC，
∴AC＝，
设AE＝x，则AB＝2x，
∴AC＝4x，EC＝3x，
∴OE＝OB＝OC＝，
∵CD＝12，
∴CH＝6，
∵AB∥CH，
∴△AOB∽△COH，
∴，即，
解得x＝5，OH＝4.5，OB＝7.5，
∴BH＝BO+OH＝12，
∴△BCD的面积＝×12×12＝72．
19．证明：（1）如图1，延长CD交AB于E，
∵∠ADE＝∠CAD+∠ACD，
∠BDE＝∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠CAD+∠CBD+∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB+90°．
∴∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）①如图2，∵∠CAD+∠CBD＝90°，∠CBD+∠CBE＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵AC BD＝AD BC，BD＝BE，
∴，
∴△ACD∽△BCE；
②如图2，连接DE，
∵BE⊥BD，BE＝BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵，
∴△ACB∽△DCE，
∴，
∴＝＝＝＝．
十．相似三角形的应用
20．解：如图，∵灯与球心所在直线垂直于地面，
∴AC⊥BC，
∵小球在地面的影子的面积为1.92πm2，
∴π BC2＝1.92π，
解得BC＝，
根据勾股定理，AB＝＝＝，
∵光线AB与球相切，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
又∵∠BAC＝∠OAD，
∴△ABC∽△AOD，
∴＝，
即＝，
解得OD＝10cm．
故答案为：10．
十一．作图—相似变换
21．解：如图所示：
如图所示，格点三角形的面积最大，S＝2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8＝6.5
十二．位似变换
22．解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点B的坐标为（﹣6，﹣4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣6×，﹣4×）或（6×，4×），即（﹣3，﹣2）或（3，2），
故选：C．
23．解：∵点A坐标（﹣2，4），点B坐标（﹣4，0），点P是线段AB的中点，
∴点P的坐标（﹣3，2），
以原点O为位似中心，把线段AB缩小为原来的得到线段A′B′，
∴点P的对应点P′坐标为（﹣3×，2×）或（3×，﹣2×），即（﹣，1）或（，﹣1），
故答案为：（﹣，1）或（，﹣1）．
24．解：∵在第一象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的2倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA＝2，OC＝1．
∵点B的坐标为（2，1），
∴点B1的坐标为（2×2，1×2），
∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大2倍，得到矩形A2OC2B2…，
∴B2（2×2×2，1×2×2），
以此类推，Bn（2n+1，2n），
矩形OAnBn n的对角线交点为Bn﹣1，即（2n，2n﹣1），
故答案为：（2n，2n﹣1）．
25．解：（1）如图1所示，△DEC和△D′E′C即为所求；
②如图2所示，点P即为所求，△ABC外心P的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
26．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△AB'C即为所求；
计算：假设AC'＝xA'C，则C'B'＝xCB，则
有AC'×C'B'＝x2AC×CB＝8×AC×CB，
∴x＝2，
∴AC'＝2，C'B'＝4．
一．比例的性质
1．若＝＝≠0，且a+b﹣2c＝3，则a＝ ．
二．比例线段
2．下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
3．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（ ）
A．8 B．6 C． D．2
4．在比例尺为1：8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 千米．
三．黄金分割
5．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，∠ACB＝36°，AB＝BC，AC＝2，则AB的长度是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
7．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）
以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（ ）
A． B． C． D．
四．平行线分线段成比例
8．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知 ABCD的对角线交于O点，M为OD的中点，过M的直线分别交AD于CD于P、Q，与BA、BC的延长线于E、F
（1）如图1，若EF∥AC，求证：PE+QF＝2PQ；
（2）如图2，若EF与AC不平行，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不成立，请说明理由．
五．相似图形
10．下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形
C．两个直角梯形 D．两个正方形
六．相似多边形的性质
11．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为s2，s3，…，sn（n为正整数），那么第9个正方形的面积S9＝ ．
七．相似三角形的性质
12．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（ ）
A．6﹣3 B．6﹣6 C．3 D．
13．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（ ）
A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对
八．相似三角形的判定
14．在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（ ）
A．6条 B．3条 C．4条 D．5条
15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 ．
九．相似三角形的判定与性质
16．如图，已知四边形ABCD为正方形，A，B在x轴上，对角线AC的长度为3．反比例函数y＝（x＞0）的图象与AC，BC分别交于点E，F，若，则CF为 ．
17．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第4个正方形的面积为 ．
18．如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上由点E顺时针向点C运动（点B不与点E、C重合），弦BD交CE于点F，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．
（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求圆心O到弦CD的距离；
（2）在（1）的条件下，当DF DB＝CD2时，求∠CBD的大小；
（3）若AB＝2AE，且CD＝12，求△BCD的面积．
19．如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°．
（1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC BD＝AD BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求的值．
十．相似三角形的应用
20．如图，小明把小球竖直向上抛起，当小球到达最高点时球的最高点正好处于距离屋顶白炽灯10cm的位置，且灯与球心所在直线垂直于地面，这时小球在地面的影子的面积为1.92πm2．已知，灯与地面的距离为2.4m，小球的半径为 cm．
十一．作图—相似变换
21．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．
十二．位似变换
22．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣12，﹣8）
C．（﹣3，﹣2）或（3，2） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
23．在平面直角坐标系，点A坐标（﹣2，4），点B坐标（﹣4，0），点P是线段AB的中点，若以原点O为位似中心，把线段AB缩小为原来的得到线段A′B′，则点P的对应点P′坐标是 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第一象限内，将矩形OABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍，得到矩形OA1B1C1，再将矩形OA1B1C1以原点O为位似中心放大2倍，得到矩形OA2B2C2…，以此类推，得到的矩形OAnBn n的对角线交点的坐标为 ．
25．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中有格点△ABC．（注：顶点在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）
只用没有刻度的直尺，按如下要求画图：
（1）以点C为位似中心，在图1中作△DEC∽△ABC，且相似比为1：2；
（2）若点B为原点，点C（4，0），请在图2中画出平面直角坐标系，作出△ABC的外心，并直接写出△ABC的外心的坐标 ．
26．如图是9×16的边长为1的方格，在方格中有△ABC．
（1）以O为位似中心作△ABC的位似图形△A1B1C1，使作出的边长A1B1＝2AB，并保留作图痕迹；
（2）将△ABC绕点A顺时针方向旋转45°，在旋转的过程中，△ABC形状保持不变，面积逐渐增大，旋转到45°时止，此时得到△AC′B′的面积是原来△ABC的面积的8倍，请你计算AC′、C′B′的长，并作出旋转后的图形．
参考答案
一．比例的性质
1．解：∵＝＝≠0，且a+b﹣2c＝3，
∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，
则6x+5x﹣8x＝3，
解得：x＝1，
故a＝6．
故答案为：6．
二．比例线段
2．解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15＝3×5，∴选项D成比例．
故选：D．
3．解：若b是a、c的比例中项，
即b2＝ac．
42＝2c，
解得c＝8，
故选：A．
4．解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，
∵比例尺＝，
∴1：8000000＝4：x，
∴x＝32000000，
∴甲、乙两地的实际距离为是320km，
故答案为：320．
三．黄金分割
5．解：根据黄金分割定义可知：
AP是AB和BP的比例中项，
即AP2＝AB BP，
∴＝．
故选：A．
6．解：∵AB＝BC，∠ACB＝36°，
∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∠B＝∠CED＝108°，
∴∠AED＝72°，
∴CA＝CD，∠ACD＝36°，
∴∠CAD＝∠CDA＝72°，
∴∠ADE＝∠ACD＝36°，
∴DA＝ED＝EC，设AB＝x，则AD＝DE＝EC＝x，
∵∠DAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACD，
∴△DAE∽△CAD，
∴AD2＝AE AC，
∴x2＝（2﹣x） 2，
∴x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），
∴AB＝﹣1，
故选：A．
7．解法一：∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），，
∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，
∴x2+x﹣1＝0，
解得x＝，
∵0＜x＜1，
∴x＝．
解法二：
由c＝a+x（b﹣a），可得x＝，
由，可得（c﹣a）2＝（b﹣a）（b﹣c），
即（c﹣a）2＝（b﹣a）[（b﹣a）﹣（c﹣a）]，
∴（c﹣a）2＝（b﹣a）2﹣（b﹣a）（c﹣a），
两边同时除以（b﹣a）2可得，
＝1﹣，
将x＝代入，可得x2+x﹣1＝0，
解得x＝，
∵0＜x＜1，
∴x＝．
故选：D．
四．平行线分线段成比例
8．解：∵DE∥BC，
∴，
∴当时，，
∴EF∥CD，故C选项符合题意；
而A，B，D选项不能得出EF∥CD，
故选：C．
9．解：（1）如图1，∵MP∥OA，DM＝MO，
∴DP＝PA．
在 ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠EAP＝∠QDP，∠AEP＝∠DQP．
在△APE与△DPQ中，
，
∴△APE≌△DPQ（AAS），
∴PE＝PQ．
同理，QF＝PQ，
∴PE+QF＝2PQ；
（2）若EF与AC不平行，则（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2，过O点作ON∥AD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，则AP+CF＝2ON．
易证△OMN≌△DMP，
∴ON＝PD，
∴AP+CF＝2PD．
∵CF∥PD，∴＝，
∵DQ∥AE，∴＝，
∴+＝+，即＝＝＝2，
∴QF+PE＝2PQ．
五．相似图形
10．解：A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；
故选：D．
六．相似多边形的性质
11．解：以正方形的对角线为边长就是在原来边长的基础上都乘以就是下一个正方形的边长．
因为第一个边长为1，所以第9个正方形的边长为16，
S9＝16×16＝256．
故答案为：256．
七．相似三角形的性质
12．解：取AB的中点S，连接MS、PS，
则PS﹣MS≤PM≤MS+PS，
∵∠AOB＝90°，OA＝6，∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝12，OB＝6
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB＝∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC＝∠OAD，
∵∠OBC+∠PBO＝180°，
∴∠OAD+∠PBO＝180°，∠AOB+∠APB＝180°，
∴∠APB＝∠AOB＝90°，又S是AB的中点，
∴PS＝AB＝6，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS＝OB＝3，
∴MP的最小值为6﹣3，
故选：A．
13．解：∵∠A＝∠A，
分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴，
∴DE＝12，
②∠ADE′＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝＞AB，不合题意，
故选：A．
八．相似三角形的判定
14．解：以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD＝90度，
当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．
同理，当OC与OB是对应边时，又有两条满足条件的直线，
所以共有四条．
故选：C．
15．解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝BC∴BF＝4
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD＝BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C，
∴△AMC∽△FAC，
∴＝
∴FC＝
∵AC＝5，MC＝BC＝4
∴FC＝
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝
∴BD＝BF＝
故答案为：2或．
九．相似三角形的判定与性质
16．解：法一：过点E作EH⊥AB于点H，连接EF，
设CE＝a，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，
又∵AB2+BC2＝AC2，AC＝，
∴AB＝BC＝3，
又∵，∠ECF＝∠BCA，
∴△CEF∽△CBA，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，∠CEF＝90°，
∴CE＝EF，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
CF＝＝，
又∵BC＝BF+CF，AC＝AE+CE，
∴BF＝3﹣，AE＝，
又∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
点F的纵坐标为3﹣，
∴点F的横坐标为，
即OB＝，
同理可求出：EH＝AH＝3﹣，
OH＝，
又∵AB＝AH+HB，
∴HB＝，
又∵OB﹣OH＝HB，
∴﹣＝，
解得：a1＝，a2＝4（舍去）
CF＝＝＝1，
法二：由比例得相似得等腰Rt△CEF，过E做EM垂直CF于M，设CM＝FM＝EM＝m，
设E（a，3﹣m），则F（a+m，3﹣2m），那么a（3﹣m）＝（a+m）（3﹣2m）＝5，
可得m＝4（舍） 或 m＝，
∴CF＝2m＝1，
故答案为：1．
17．解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．
∴OA＝1，OD＝2，
在Rt△AOD中，AD＝＝，
∴正方形ABCD的面积为：（）2＝5；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝∠ABA1＝90°＝∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，
∴∠ADO＝∠BAA1，
∵∠DOA＝∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴＝，即＝，
解得：A1B＝，
∴A1C＝A1B+BC＝，
∴正方形A1B1C1C的面积为：（）2＝；
∵第1个正方形ABCD的面积为：5；
第2个正方形A1B1C1C的面积为：＝×5；
同理可得：第3个正方形A2B2C2C1的面积为：××5＝（）2×5；
∴第4个正方形A3B3C3C2的面积为：（）3×5．
故答案为：5，（）3×5．
18．解：（1）如图，过O作OH⊥CD于H，
∵点D为弧EC的中点，
∴弧ED＝弧CD，
∴∠OCH＝45°，
∴OH＝CH，
∵圆O的半径为2，即OC＝2，
∴OH＝；
（2）∵当DF DB＝CD2时，，
又∵∠CDF＝∠BDC，
∴△CDF∽△BDC，
∴∠DCF＝∠DBC，
由（1）可得∠DCF＝45°，
∴∠DBC＝45°；
注：也可以由点D为弧EC的中点，可得弧ED＝弧CD，即可得出∠DCF＝∠DBC＝45°；
（3）如图，连接BE，BO，DO，并延长BO至H点，
∵BD＝BC，OD＝OC，
∴BH垂直平分CD，
又∵AB∥CD，
∴∠ABO＝90°＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠OBC＝∠OCB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB，
∴，即AB2＝AE×AC，
∴AC＝，
设AE＝x，则AB＝2x，
∴AC＝4x，EC＝3x，
∴OE＝OB＝OC＝，
∵CD＝12，
∴CH＝6，
∵AB∥CH，
∴△AOB∽△COH，
∴，即，
解得x＝5，OH＝4.5，OB＝7.5，
∴BH＝BO+OH＝12，
∴△BCD的面积＝×12×12＝72．
19．证明：（1）如图1，延长CD交AB于E，
∵∠ADE＝∠CAD+∠ACD，
∠BDE＝∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠CAD+∠CBD+∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB+90°．
∴∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）①如图2，∵∠CAD+∠CBD＝90°，∠CBD+∠CBE＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵AC BD＝AD BC，BD＝BE，
∴，
∴△ACD∽△BCE；
②如图2，连接DE，
∵BE⊥BD，BE＝BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵，
∴△ACB∽△DCE，
∴，
∴＝＝＝＝．
十．相似三角形的应用
20．解：如图，∵灯与球心所在直线垂直于地面，
∴AC⊥BC，
∵小球在地面的影子的面积为1.92πm2，
∴π BC2＝1.92π，
解得BC＝，
根据勾股定理，AB＝＝＝，
∵光线AB与球相切，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
又∵∠BAC＝∠OAD，
∴△ABC∽△AOD，
∴＝，
即＝，
解得OD＝10cm．
故答案为：10．
十一．作图—相似变换
21．解：如图所示：
如图所示，格点三角形的面积最大，S＝2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8＝6.5
十二．位似变换
22．解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点B的坐标为（﹣6，﹣4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣6×，﹣4×）或（6×，4×），即（﹣3，﹣2）或（3，2），
故选：C．
23．解：∵点A坐标（﹣2，4），点B坐标（﹣4，0），点P是线段AB的中点，
∴点P的坐标（﹣3，2），
以原点O为位似中心，把线段AB缩小为原来的得到线段A′B′，
∴点P的对应点P′坐标为（﹣3×，2×）或（3×，﹣2×），即（﹣，1）或（，﹣1），
故答案为：（﹣，1）或（，﹣1）．
24．解：∵在第一象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的2倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA＝2，OC＝1．
∵点B的坐标为（2，1），
∴点B1的坐标为（2×2，1×2），
∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大2倍，得到矩形A2OC2B2…，
∴B2（2×2×2，1×2×2），
以此类推，Bn（2n+1，2n），
矩形OAnBn n的对角线交点为Bn﹣1，即（2n，2n﹣1），
故答案为：（2n，2n﹣1）．
25．解：（1）如图1所示，△DEC和△D′E′C即为所求；
②如图2所示，点P即为所求，△ABC外心P的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
26．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△AB'C即为所求；
计算：假设AC'＝xA'C，则C'B'＝xCB，则
有AC'×C'B'＝x2AC×CB＝8×AC×CB，
∴x＝2，
∴AC'＝2，C'B'＝4．