(共24张PPT)
26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质
华师大版 九年级下册
情景导入
(1)一次函数的图象是什么？
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
双曲线
描点法
反比例函数呢？
列表——描点——连线
一条直线
主要工具是函数的图象
情景导入
如何画出抛物线呢？
新知讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …
探究一 画出二次函数y=x2的图象.
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
新知讲解
画二次函数图象应注意：
1.列表中应考虑自变量取值的代表性；
2.连线是按自变量由小到大的顺序用平滑的曲线顺次连结各点；
3.自变量取全体实数时图象向两侧无限伸展。
新知讲解
-3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
x
y=x2
y
二次函数 y =x2的图象是轴对称图形，对称轴是 y 轴
抛物线 y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线 y =x2的顶点,它是抛物线 y =x2的最低点．
从左到右：
从左到右：
y随x：
下降
增大而减小
上升
增大而增大
y随x：
总结
x
y=x2
1.y＝x2是一条 ;
2.图象开口向 ;
3.图象关于 对称;
4.顶点坐标 ;
5.图象有最 点．
6.当x<0时，y随x的增大而 。
当x>0时，y随x的增大而 。
y
抛物线
上
y轴
(0 ,0 )
低
增大
减小
练一练
解：(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
用描点法画二次函数 y=-x 的图象
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
议一议
说说二次函数y=－x2的图象有哪些性质,与同伴交流.
x
y
y=－x2
二次函数 y =- x2的图象是轴对称图形，对称轴是 y 轴
抛物线 y = -x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线 y = -x2的顶点,它是抛物线 y = -x2的最高点．
从左到右：
y随x：
从左到右：
y随x：
上升
增大而增大
下降
增大而减小
归纳总结
1.y＝－x2是一条 ;
2.图象开口向 ;
3.图象关于 对称;
4.顶点坐标 ;
5.图象有最 点．
6.当x<0时，y随x的增大而 。
当x>0时，y随x的增大而 。
抛物线
下
y轴
(0 ,0 )
高
减小
增大
y
y=－x2
x
归纳总结
二次函数y=ax2 的图象性质
1.二次函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线；
2. 图像关于y轴对称;
3. 顶点都在原点(0,0);
4.当a>0时，开口向上；x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。
当a<0时，开口向下；当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小。
思考
观察图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？
1. 二次项系数互为相反数;
2. 开口相反;
x
y
y=ax2
y=-ax2
3.大小相同；
4. 关于x轴对称．
新知讲解
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
16
4.5
4
1
0
16
9
4
1
8
9
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
在同一直角坐标系中，画出函数的图象．
想一想
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
二次函数开口大小与a的大小有什么关系？
当a>0时，a越大，开口越小.
想一想
在同一直角坐标系中，画出函数的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
-16
-4.5
-4
-1
0
-16
-9
-4
-1
-8
-9
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
想一想
二次函数开口大小与a的大小有什么关系？
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
课堂练习
1．对于二次函数y＝－x2，下列描述正确的是( )
A．图象开口向上 B．函数的最小值为－1
C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而增大
D
2．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
D
课堂练习
3.函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
4.函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
x
x
y
y
O
O
课堂练习
5.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：∵二次函数y=x2，
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
作业布置
1. 课本P7 习题 1,2,3
2.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
课堂小结
y＝ax2 a>0 a<0
图象
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
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26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质教学设计
课题 二次函数y=ax2的图象和性质 单元 26 学科 数学 年级 九
学习 目标 会用描点法画出二次函数y=ax2 的图象，通过图像能说出y=ax2二次函数的性质。 经历探索二次函数图像的特点和性质的过程；体会数形结合的数学思想，提高学生比较、观察、概括的能力。
重点 用描点法画二次函数的图像；探索y=ax2二次函数的图像特点和性质。
难点 y=ax2二次函数的图像特点和性质的得出过程。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 什么是二次函数？你认为判断二次函数的关键是什么？ 一次函数的图象是什么？ （3）想一想，一次函数的性质我们是怎样研究的？ （4）画函数图象的基本方法与步骤是什么？ 教师提出问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结． 充分发挥学生的主体作用 巩固已学习的内容，进一步学习新知识。
讲授新课 画二次函数y=x2的图象： 解：列表 x…-3-2-10123…y……
我们把这样的曲线叫做抛物线。这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。 开口向上，对称轴：y轴（直线x=0） 顶点坐标：（0，0） 2、在同一坐标中画出y=-x2的图象 3、归纳二次函数y=ax2的性质 二次函数y=ax2的性质 （1）当a>0时，开口向上,顶点都在原点，对称轴是y轴，当x=0时函数y的值最小，最小值y=0 在对称轴的左恻:y随x的增大而减小； 在对称轴的右恻:y随x的增大而增大。 （2）当a<0时，开口向下,顶点都在原点，对称轴是y轴，当x=0时，函数y的值最大。最小值y=0。 在对称轴的左恻:y随x的 增大而增大； 在对称轴的右恻:y随x的增大而减小。 4、在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2 ，y=-2x2 从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？ 从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？ 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小。 学生观察，思考，试着归纳 学生自已画图像，并观察图像。讨论、归纳图像的关系：图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。 学生思考，自主回答，老师补充。 学生自主解答,老师归纳。 通过学生自己动手作出函数图象，了解抛物线，直观的认识抛物线的开口，对称轴，顶点。鼓励学生积极参与，主动学习 通过对问题的解决，拓展学生对二次函数的性质的认识。
课堂练习 1．对于二次函数y＝－x2，下列描述正确的是( ) A．图象开口向上 B．函数的最小值为－1 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 2．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 3.函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 4.函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 5.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围． 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识。 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺。
板书 二次函数y=ax2 的图象与性质 一、定义： 二、图像： 1、开口方向： 2、对称轴： 3、顶点坐标： 4、增减性： 5、最值： 讲解例题 课堂练习
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26.2.1二次函数y=ax2的图像和性质导学案
课题 26.2.1二次函数y=ax2的图像和性质 单元 26 学科 数学 年级 九年级
知识目标 1、会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质； 2、通过独立思考、小组合作、动手操作，掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用； 3、以极度的热情投入学习，全力以赴享受学习成功的快乐，培养学习数学的兴趣。
重点难点 重点：二次函数的图象与性质。 难点：二次函数的图象与性质。
教学过程
知识链接 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢 如果可以，应先研究什么 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么
合作探究 一、教材第5页 探究点一：二次函数y＝x2的图象． 【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】 列表： 描点， 并连线 由图象可得二次函数y＝x2的性质： 1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________． 2．二次函数y＝x2中，二次项系数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________． 3．自变量x的取值范围是____________． 4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称． 5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y＝x2的_________． 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”），函数有最____________值（大，小）。 7.二次函数的增减性 二、教材第6页 做一做 1.在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 归纳： 抛物线y＝x2， y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________； 对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） a 越大，抛物线的开口越________ 2.在同一直角坐标系中，画出函数y＝-x2，y＝-2x2的图象． 归纳：抛物线y＝－x2， y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________。 对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）． ｜a｜越大，抛物线的开口越________。 三、教材第6页 思考：二次函数y=ax2的性质 归纳总结 y=ax2图像开口方向顶点坐标对称轴增减性最值a>0a<0
自主尝试 1.若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________． 2．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________． 3．如图， ① y＝ax2 ② y＝bx2 ③ y＝cx2 ④ y＝dx2 比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接． ___________________________________ 【方法宝典】 根据二次函数y=ax2 的性质进行解题即可.
当堂检测 1.二次函数y=ax2(a<0)的图象一定经过 ( ) A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 2.抛物线y=x2不具有的性质是 ( ) A.对称轴是y轴 B.开口向上 C.当x<0时,y随x的增大而减小 D.有最高点 3.苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s=gt2(g=9.8 m/s),则s与t之间的函数图象大致是 ( ) 4.下列关于抛物线y=x2,y=x2,y=-x2的说法:①都是开口向上;②都以点(0,0)为顶点;③都以y轴为对称轴;④都关于x轴对称.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.若抛物线y=m的开口向下,则m的值为 ( ) A.-1 B.-2 C.1 D.1或-2 6.下列说法错误的是 ( ) A.二次函数y=3x2中,当x>0时,y随x的增大而增大 B.二次函数y=-6x2中,当x=0时,y有最大值0 C.函数y=ax2(a≠0),a越大函数图象开口越小,a越小函数图象开口越大 D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2的顶点一定是坐标原点 7.二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为 . 8.一条抛物线与二次函数y=x2的图象的开口方向相反,开口大小一致,顶点坐标相同,那么这条抛物线所对应的函数关系式是 . 9.有下列函数:①y=2x-1;②y=;③y=-x2.从中任取一个函数,取出的函数符合条件“当x>1时,y随x的增大而减小”的概率是 . 10.已知函数y=k是关于x的二次函数,当k= 时,图象开口向上;当k= 时,图象开口向下. 11.先画出函数图象,然后结合图象回答下列问题: (1)函数y=3x2的最小值是多少 (2)函数y=-3x2的最大值是多少 (3)怎样判断二次函数y=ax2是有最大值还是有最小值 12.已知函数y=ax2(a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1,b). (1)求a和b的值; (2)写出抛物线y=ax2的函数关系式,并求顶点坐标和对称轴; (3)当x取何值时,抛物线y=ax2中的y随x的增大而增大 (4)求抛物线与直线y=-2的两个交点坐标及以交点与抛物线顶点为顶点的三角形的面积.
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1.B 2.D 3．B 4．B 5．B 6.C 7. k>-1 8. y=-x2 9. . 10. 4 -2 11.解:作图象略. (1)0. (2)0. (3)当a>0时,y=ax2有最小值;当a<0时,y=ax2有最大值. 12.解:(1)将x=1,y=b代入y=2x-3, 得b=-1,所以交点坐标是(1,-1). 将x=1,y=-1代入y=ax2,得a=-1,所以a=-1,b=-1. (2)抛物线的函数关系式为y=-x2,顶点坐标为(0,0),对称轴为直线x=0(即y轴). (3)当x<0时,y随x的增大而增大. (4)设直线y=-2与抛物线y=-x2相交于A,B两点(点A在点B左侧),抛物线的顶点为O(0,0). 由得 所以A(-,-2),B(,-2),所以AB=|-(-)|=2,所以S△AOB=×2×2=2.
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