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苏科版 七年级下册
9.5 多项式的因式分解（1）
导入
学校运动场由三个矩形组成，这些矩形的长分别为b，c，d；宽都是a，如何求这块场地的面积？
a
b
c
d
生1：运动场的面积：ab+ac+ad
生2：运动场的面积：a（b+c+d）
单项式乘多项式的法则
a（b＋c＋d）＝ab＋ac＋ad
反过来得到
ab＋ac＋ad＝a（b＋c＋d）
多项式ab+ac+ad与a（b＋c＋d）有什么关系呢？
观察多项式ab＋ac＋ad的每一项，你有什么发现吗？
a 是多项式ab＋ac＋ad各项都含有的因式．
一个多项式各项都含有的因式，称为这个多项式各项的公因式．
例如 a就是多项式ab＋ac＋ad各项的公因式．
填空
项 公因式
4x，4y
a2b2，ab2
3x2，-6x3
9abc，-6a2b2，12abc2
结合上面的填表过程，你能归纳出找一个多项式的公因式的方法吗？
4
ab
3x2
3ab
总结
找一个多项式的公因式的方法一般分三个步骤：
一看系数：当多项式的各项系数多是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数．
二看字母：公因式的字母应取多项式中各项都含有的相同字母．
三看指数：相同字母的指数取次数最低的．
仿照例子填空，并说说你的方法
例a2b＋ab2＝ab·a+ab·b＝ab（a+b）
（1）3x2－6x3＝（ ）·（ ）-（ ）·（ ）
＝（ ）（ ）
（2）9abc－6a2b2＋12abc2
＝（ ）·（ ）-（ ）·（ ）+（ ）·（ ）
＝（ ）·（ ）
像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式解．
想一想 ：因式分解的依据是什么
学生抢答
下列各式由左到右的变形哪些是因式分解,哪些不是 理由呢？
(1) ab＋ac＋d＝a（b＋c）＋d
(2) a2－1＝(a＋1)(a－1)
(3)（a＋1）（a－1）＝a2－1
(4) 8a2b3c＝2a2·2b3·2c
【例题讲解】
例1 分解因式：
（1）5x3－10x2 （2）12ab2c－6ab
练习 分解因式
（1）4x2－12x3 （2）2a2b+4ab2
例2 分解因式
-2m3－8m2－12m
当多项式的第一项的系数为“－”时,先把“－”当作公因式的负号写在括号外,使括号内第一项的系数为“＋”.
练习 分解因式
－x2y+4xy－5y
例3 分解因式
3a（x＋y）－2b（x＋y）；
多项式的公因式一般来说是一个单项式，但有时也会是一个多项式；这时只要把那个多项式看成一个整体作为原多项式的公因式即可．
练习 分解因式
（1） x（a＋b）－y（a＋b）
（2）3a（x－y）－2b（y－x）
（3）a（x－a）＋b（a－x）－c（x－a）.
因式分解与整式乘法有什么联系和区别？
区别：
整式乘法：有几个整式积的形式转化成一个多项式的形式．
因式分解：有一个多项式的形式转化成几个整式的积的形式．
联系：
多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．
小结思考
通过这节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？
当堂检测
见学习任务单
作业布置
1、补充习题9.5（1）
2、限时练9.5（1）
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9．5 多项式的因式分解（2）
平方差公式如何表示？
你能说一说这个式子的特点吗？
一、复习回顾
计算下列各式:
（1）（a＋2）（a－2）＝ ;
（2）（a＋b）（a－b）＝ ;
（3）（3a＋2b）（3a－2b）＝ .
把平方差公式反过来，可以得到
这个式子有什么特点？
这个式子从左到右是因式分解吗？
请你根据上面的算式填空:
（1）a2－4＝ ;
（2）a2－b2＝ ;
（3）9a2－4b2＝ .
请同学们对比以上两题，你发现了什么呢？
思考
学生抢答
下列多项式哪些可以用平方差公式分解因式？为什么？
①x2－y2 ②x2＋y2 ③－x2－y2
④－x2＋y2 ⑤64－a2 ⑥4x2－9y2
想一想：可以用平方差公式分解因式的多项式具有什么样的特点呢？
1．只有两项；
2．这两项可以写成： 的形式．
学以致用
①a2－16＝a2－（ ）2＝（a＋ ）（a－ ）
②64－b2＝（ ）2－b2＝（ ＋b）（ －b）
③4x2－9y2＝（ ）2－（ ）2＝（ ＋ )（ － ）
例1 把下列各式分解因式：
（1）36－25x2； （2）16a2－9b2；
（3）－16a2＋81b2； （4）9（a＋b）2－4（a－b）2
（1）36－25x2； （2）16a2－9b2；
（3）－16a2＋81b2； （4）9（a＋b）2－4（a－b）2
解：
（1）36－25x2 = 62-（5x）2=(6+5x)(6-5x)
（2）16a2－9b2=（4a）2-（3b）2=(4a+3b)(4a-3b)
（3）－16a2＋81b2=81b2-16a2=(9b)2-(4a)2=(9b+4a)(9b-4a)
（4）9（a＋b）2－4（a－b）2
=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+[2(a-b)][3(a+b)-[2(a-b)]
=(5a+b)(5a-b)
巩固训练
把下列各式分解因式
（1）9x2-16y2 （2）－16y2＋9x2
（3）4（a-b）2－9（a+b）2
例2 求圆环绿地的面积（结果用 表示）.
解：由题意得：
答：圆环绿地的面积为
练习
如图，在边长为8厘米的正方形纸片的４个角各剪去一边长为2厘米的正方形，求余下纸片的面积.
四、小结
通过今天的学习，你学会了什么？你感觉比较有困难的有哪些？你最感兴趣的是什么？你想进一步研究的问题是什么？
五、当堂检测
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六、作业布置
1、补充习题9.5（2）
2、限时练9.5（2）
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9.5 多项式的因式分解（3）
一、复习完全平方公式
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
观察下列数：1，4，9，16，25……思考它们有什么特点？
观察、思考下列式子的特点吗？
（1）a2＋2a＋1 （2）a2＋4a＋4 （3）a2－6a＋9
（4）a2＋2ab＋b2 （5）a2－2ab＋b2
在括号内填上适当的式子，使等式成立：
（1）（a＋b）2＝（ ）
（2）（a－b）2＝（ ）
（3）a2＋（ ）＋1＝（a＋1）2
（4） a2－（ ）＋1＝（a－1）2
思考：你解答上述问题时的根据是什么？
第（1）、（2）两式从左到右是什么变形？
第（3）、（4）两式从左到右是什么变形？
二、探索活动
把乘法公式 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；
（a－b）2＝a2－2ab＋b2．
反过来，就得到 a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；
a2－2ab＋b2＝（a－b ）2．
填空
（1）a2+6a+9=a2+2（ ）（ ）+（ ）2=（ ）2
（2）a2-6a+9=a2-2（ ）（ ）+（ ）2=（ ）2
（3）a2+（ ）+4b2=a2+2（ ）（ ）+（ ）2=（ ）2
（4）a2-8a+（ ）=a2-2（ ）（ ）+（ ）2=（ ）2
例1 把下列各式分解因式．
（1）x2＋10x＋25；
（2）4a2—36ab＋81b2．
解：（1）x2＋10x＋25
=x2＋2·x·5＋52
=（x+5）2
（2）4a2—36ab＋81b2
=（2a）2-2·2a·9b+（9b）2
=（2a-9b）2
练习 分解因式
（1）x2-12x＋36
（2） 9a2－24ab＋16b2
例2 把下列各式分解因式．
（1）25a4＋10a2＋1 （2）（m＋n）2－4（m＋n）＋4
解：（1）25a4＋10a2＋1
=（5a2）2+2·5a2·1+12
=（5a2+1）2
（2）（m＋n）2－4（m＋n）＋4
=（m＋n）2－2·（m＋n）·2＋22
=[（m＋n）-2]2
练习 分解因式
（1）4a2b2-4ab＋1
（2）4（a-b）2-4（a-b）+1
例3 简便计算20042－4008×2005＋20052
练习 简便运算20192－4038×2020＋20202
解：20042－4008×2005＋20052
=20042－2×2004×2005＋20052
=（2004-2005）2
=（-1）2
=1
提高
（1）已知a2－2a＋b2＋4b＋5＝0，求（a＋b）2005的值．
（2）若x2＋mx＋4是完全平方式，则m＝_______；
（3）若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状
四、小结
通过今天的学习，你有哪些收获？
五、当堂检测
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六、作业布置
1、补充习题9.5（3）
2、限时练9.5（3）
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9.5 多项式的因式分解(4)
二、探索活动
（1）回顾学过的因式分解的方法．
提取公因式法、运用公式法
说明公因式的确定方法及公式的特征．
提公因式法：关键是确定公因式：单项式、多项式
说明：公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式．
因式分解
运用公式法
平方差公式：
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
完全平方公式：
a2±2ab＋b2＝（a±b）2
（2）知识结构图．
例1 把下列各式分解因式．
（1）18a2－50；
（2）2x2y－8xy＋8y；
（3）a2（x－y）－b2（x－y）．
解：
（1）18a2－50
=2（9a2-25）
=2（3a+5）（3a-5）
（2）2x2y－8xy＋8y
=2y（x2-4x+4）
=2y（x-2）2
（3）a2（x－y）－b2（x－y）
=（x-y）（a2-b2）
=（x-y）（a+b）（a-b）
练习 把下列各式分解因式．
（1）2ax2－2ay4；
（2）-2xy－x2－y2；
（3）3ax2+6axy+3ay2
（4）（a+b）-a2（a+b）
例2 把下列各式分解因式．
（1）a4－16；
（2）81x4－72x2y2＋16y4．
解：
（1）a4－16
=（a2）2-42
=（a2+4）（a2-4）
=（a2+4）（a+2）（a-2）
（2）81x4－72x2y2＋16y4
=（9x2）2-2·9x2·4y2+（4y2）2
=（9x2-4y2）2
= [（3x+2y）（3x-2y）]2
=（3x+2y）2（3x-2y）2
练习 把下列各式分解因式．
（1）x4-81
（2）（x2-2y）2-（1-2y）2
（3）x4-2x2+1
（4） x4-8x2y2+16y4
巩固练习 把下列各式分解因式．
（1）3x2－12；
（2）16a2b－16a3__4ab2；
（3）（a2＋b2）2－4a2b2；
（4）（x2－2x）2＋2（x2－2x）＋1．
四、小结
说说如何把多项式进行因式分解？
如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解（可采用公式法）．
分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止．
因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．
即：“一提”“二套”“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确．
五、当堂检测
见学习任务单
六、作业布置
1、补充习题9.5（4）
2、限时练9.5（4）
谢 谢！
