2021北师大版九上第四章图形的相似选择与填空培优试题（二）（Word版，附答案解析）

图形的相似选择与填空培优试题（二）
一、单选题
1.（2021八下·相城期末）在四边形 中 ，对角线 与 交于 ，过点 作 的平行线，交 、 于 、 .若 ， 与 的面积比为 ，则 的长是（ ）
A. B. C. D.
2.（2021八下·龙口期末）已知点A（0，3），B（-4，3），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的 ，其中点C与点A对应，点D与点B对应．则点D的坐标为（ ）
A. （-1， ） B. （1，- ）
C. （ ，-1）或（- ，1） D. （-1， ）或（1，- ）
3.（2021·玉林模拟）如图，在菱形 中， ，点E，F分别在 ， 上，沿 折叠菱形，使点A落在 边上的点G处，且 于点M，若 （取 ， ），则 等于（ ）
A. B. C. D.
4.（2021·东营）如图， 中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a ， 则点B的对应点 的横坐标是（ ）
A. B. C. D.
5.（2021·深圳）在矩形 中， ，点E是 边的中点，连接 ，延长 至点F ， 使得 ，过点F作 ，分别交 、 于N、G两点，连接 、 、 ，下列正确的是（ ）
① ； ② ； ③ ； ④ ．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6.（2021·安徽模拟）如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F ， 则AF：FB等于（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 3：4
7.（2021·梓潼模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为 ，则AE的长为（ ）
A. B. 2 C. D. 2
8.（2021·合肥模拟）如图， 中， ， ，点 在 的延长线上，且 连接 并延长，过 作 于点 ，若 ，则 的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
9.（2021·周村模拟）如图，在等边三角形 中， ，点D是边 上一点，且 ，点P是边 上一动点（D，P两点均不与端点重合），作 ， 交边 于点E．若 ，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
10.（2021·杭州）如图，在 中， ，CD是 的角平分线，过点D作 交BC于点E. 和 的面积分别为 和 ，若 ，则 的值为（ ）.
A. 3 B. C. D.
11.（2021·石家庄月考）如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A. y＝﹣ B. y＝﹣ C. y＝﹣ D. y＝﹣
12.（2021·覃塘模拟）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC， AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：36，则S△BDE与S△BAC的比是（ ）
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：36
13.（2021九下·江油开学考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，对角线AC、BD交于点O，EF是梯形ABCD的中位线，EF与BD、AC分别交于点G、H，如果△OGH的面积为1，那么梯形ABCD的面积为（ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
14.（2020九上·揭西期末）如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；② ；③ ；④ ，其中正确的有（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
15.（2020九上·深圳期末）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一直线上，顶点B，C，G在同一条直线上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH。以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③ ； ，其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
16.（2020九上·福田期中）如图，正方形 的边长为6，点E是 边的中点，连接 与对角线 交于点G，连接 并延长，交 于点F，连接 交 于点H，连接 ．以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
17.（2020九上·邗江月考）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长为（ ）.
A. B. C. 4 D.
18.（2020九上·江苏期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG=∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为( )
A. B. C. D.
19.（2020九上·犍为期中）如图， ∽ ， ， ， ，F是 的中点，若点E是直线 上的动点，连接 ，则 的最小值是（ ）　
A. B. C. D.
20.（2020·昆明模拟）如图，正方形ABCD中， ，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作 ，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将 沿EF翻折，得到 ，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则 的周长是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
21.（2021九下·金牛月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP ， BP ， AP+ ＝BP的最小值为 ．
22.（2021九上·锦州期末）如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，若 ， ，则 的长为________.
23.（2021九上·建湖期末）如图，矩形 中， ， ， 为 边上的动点，当 时， 与 相似.
24.（2021九上·汝阳期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ACD＝________.
25.（2020九上·吉水期末）如图示意图，A点的坐标为（2，2），点C在线段OA上运动（点C不与O、A重合），过点C作CD⊥x轴于D，再以CD为一边在CD右侧画正方形CDEF．连接AF并延长交x轴于B，连接OF．若△BEF与△OEF相似，则点B的坐标是 ．
26.（2020九上·龙岗期中）如图，在△ABC中， ，动点P在射线EF上，BP交CE于点D ， ∠CBP的平分线交CE于点Q ， 当CQ= CE时，EP+BP=20，则BC的长为________．
27.（2020九上·东阿期中）如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落的AC边上的F处，折痕为DE ， 已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点E ， F ， C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BE的长是________．
28.（2020九上·青山期中）如图，△ABC、△DCE、△GEF都是正三角形，且B、C、E、F在同一直线上，A、D、G也在同一直线上，设△ABC、△DCE、△GEF的面积分别为S1、S2、S3 ． 当S1=4，S2=6时，S3=________．
29.（2020九上·株洲期中）如图， ，点 在 上， 与 交于点 ， ， ，则 的长为________．
30.（2020九上·织金月考）如图，矩形 的边长 ， ， 为 的中点， 在边 上，且 ， 分别与 、 相交于点 ， ，则 的长为 .
31.（2020九上·惠山月考）如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为________.
32.（2020·大通模拟）如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为________．
33.（2020·上城模拟）如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则 =________.
34.（2019·天府新模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿AE折叠至△AHE，连接BH，延长AE，BH交于点F；BF，CD交于点G，则FG=________．
35.（2021九上·禅城月考）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．若AD、BC所在直线互相垂直， 的值为 ．
36.（2021九上·成都开学考）如图，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，连接 ，将 沿 折叠得到 ， 与 交于点 ，则 的长为 .
37.（2021·牡丹江）如图，矩形ABCD中，AD AB ， 点E在BC边上，且AE=AD ， DF⊥AE于点F ， 连接DE ， BF ， BF的延长线交DE于点O ， 交CD于点G ． 以下结论：①AF=DC ， ②OF：BF=CE：CG ， ③S△BCG S△DFG ， ④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 ．
38.（2021·曾都模拟）如图，在 中， ， ， ， 是 上方一动点，且 ， 交 于点E.当点P运动到 时， 的值为 ；随着点P的运动， 的最大值为 .
39.（2021·洪洞模拟）如图，在矩形 中， ， 为边 上两点，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在 上的 处，且 ，再将矩形 沿过点 的直线折叠，使点 落在 上的 处，折痕交 于点 ，将矩形 再沿 折叠， 与 恰好重合，已知 ，则 ．
40.（2021·南沙模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E是CD边上一点，连结AE ， 将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G ， 连结DG ． 点M、N分别是线段AG ， DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM ， 以下结论：①CE＝2；②DM2＝DN AF；③DN最小值为1；④若△DMN为等腰三角形，则点M的位置有三种不同情况．其中正确的是 ．
41.（2021·周村模拟）如图，在矩形 中， ，E为 上一点，将 沿 折叠，使点C正好落在 边上的F处，作 的平分线交 于N，交 的延长线于M，若 ，则 的长为 ．
42.（2021·陕西模拟）已知矩形 ， 是 边上一点且 是 边的中点，连接 相交于 两点，则 的面积是 .
43.（2020九上·上海月考）如图， 为 的 边上的点、且 ，中线 被 截得的三线段为 ，则 ________
44.（2020九上·永春期中）如图，已知Rt ABC中，AC=b，BC=a，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1 ， 连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2 ， 连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3 ， …，如此继续，可以依次得到点D4 ， D5 ， …，Dn ， 分别记 BD1E1 ， BD2E2 ， BD3E3 ， …， BDnEn的面积为S1 ， S2 ， S3 ， …Sn ． 则（1） =________，（2）Sn=________．
45.（2020·西安模拟）如图，已知平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=12，BC=5，P为AB上任意一点(可以与A、B重合)，延长PD到F，使得DF=PD，以PF、PC为边作平行四边形PCEF，则PE长度的最小值________.
46.（2020·青羊模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，点P为AB边上的一个动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC交BC边于点Q，则BQ的最大值为________．
47.（2020·高新模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6 ，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若 ＝ ，则AH的长为________．
48.（2020·哈尔滨模拟）如图所示．△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点M为AB边的中点，点N为射线AC上一点，连接BN，过点C作CD⊥BN于点D。连接MD，作∠BNE=∠BNA，边EN交射线MD于点E，若AB=20 ，MD=14 ，则NE的长为________。
49.（2020九上·丽水期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合），点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x.
（ 1 ）AE的长为________（用含x的代数式表示）；
（ 2 ）设EK＝2KF，则 的值为________.
50.（2020九上·锦江期末）如图，在 中， ，对角线 ，点E是线段BC上的动点，连接DE，过点D作DP⊥DE，在射线DP上取点F，使得 ，连接CF,则 周长的最小值为________.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵DC∥AB，
∴△PDC∽△PAB，
∵ ，
∴ ，又AB=2，
∴CD=1，
∵MN∥AB，
∴MN∥CD，
∴△AMP∽△ADC，△BPN∽△BDC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴MP= ，NP= ，
∴MN=MP+NP= ，
故答案为：C.
【分析】根据平行得到△PDC∽△PAB，可得 ，以及CD=1，再证明△AMP∽△ADC，△BPN∽△BDC，得到 ， ，可得MP和NP，从而得到MN.
2.【答案】 D
【解析】【解答】解： 点 ， ，以原点 为位似中心，把线段 缩短为原来的 ，得到线段 ，点 与点 对应，
点 的横坐标为： 或 ．
点 的纵坐标为： 或 ．
所以点D的坐标为（-1， ）或（1，- ）
故答案为：D．
【分析】根据点的坐标和位似的性质进行求解即可。
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，
∵∠A=60°，
∴∠BAO=30°，
∴AO=AB cos30°= ，
∴AC= ，
∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，
∴EG=AE，
∵EG⊥BD，AC⊥BD，
∴EG∥AC，
∴ ，
又∵EG=AE，
∴ ，
解得AE= ，
∴AE的长为 .
故答案为：D.
【分析】连接AC，交BD于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC=2AO，求出∠BAO的度数，表示出AO、AC，由折叠的性质可得：EG=AE，然后根据平行线分线段成比例的性质以及EG=AE可表示出AE.
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：设点 的横坐标为 ，
则 、 间的横坐标的差为 ， 、 间的横坐标的差为 ，
放大到原来的 倍得到 ，
，
解得： .
故答案为：A.
【分析】设点 的横坐标为 ，根据数轴表示出BC、B'C的横坐标的距离，再根据位似比利时计算即可。
5.【答案】 B
【解析】【解答】
故答案为：① ，①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ （ ），∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ （ ），∴ ，故②正确；
③∵ ， ，∴ ，
∵在 和 中： ， ，
∴ （ ），∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故③错误；
④由上述可知： ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故④正确．
故选B．
【分析】①先证出∠GFB=∠EDC，得出 ， 即可判断①正确；
②先证出△DEC≌△FEM，得出EM=EC，从而得出DM=FC，进而证出△DMN≌△FCN，得出MN=NC，即可判断②正确；
③先证出MC∥GE，得出 ， 再求出EF，CF的长，得出 ， 即可判断③错误；
④先求出BF的长，根据 ， 求出GB的长，利用 ， 即可判断④正确.
6.【答案】 A
【解析】【解答】 MN是△ABC的中位线
, ,
G是MN的中点
即
又
即：AF：FB ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线的性质得到 ， 再利用相似三角形的性质和三角形的中位线求出 ， 最后整体代入计算即可。
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接DE，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，即点D为AB的中点.
∵E为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE= AC，
∴△DEF∽△CAF，
∴DF：CF=DE：AC=1：2，
∴DF= CD= ，
∴CD= .
∴AB=2 .
∵AC=BC，
∴AC2+BC2=2AC2=AB2=8.
∴AC=BC=2.
∴CE=1.
在直角△ACE中，由勾股定理知：
AE= .
故答案为：C.
【分析】连接DE，首先推知ED为△ABC的中位线，然后由中位线的性质得到△DEF∽△CAF，从而求得CD的长度；继而推知AC=BC=2；最后由勾股定理求得AE的长度.
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：取AB的中点F，连接CF，
∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，FC=FA= AB，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠FAC=∠FCA=60°，AC=FC=FA，
∵BA=2AD，
∴AC=AD=FA，
∴△DFC是直角三角形，且∠DCF=90°，∠D=30°，
∵BE⊥DC，
∴FC∥BE，
∴△DCF △DEB，
∴ ，
∵BE=3，
∴FC=2，
∴DC= ，
∴ 的面积为 ．
故答案为：C．
【分析】先求出△AFC是等边三角形，再求出△DCF △DEB，最后利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。
9.【答案】 D
【解析】【解答】解： 等边三角形，
，
, ，
，
，
又 ，
，
，
若令 ，则有： ，
由题意只有一个解，
，
解得： ，
故答案为：D．
【分析】先证明 ， 再求出 ，最后计算求解即可。
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，如图所示：
∵ ，CD是 的角平分线， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴△AND∽△DMB，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，根据角平分线的性质、正方形的性质及等腰直角三角形的性质证DM=MC=EM=DN=CN，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AND∽△DMB，可得比例式= ， 设DM=MC=EM=DN=CN=m，则BM=3m，于是结合比例式可将AN、BM用含m的代数式表示出来，由线段的构成BE=BM-EM、AC=AN+CN可将BE、AC用含m的代数式表示出来，根据S1=AC·DN、S2=BE·DM可求解.
11.【答案】 A
【解析】【解答】作点F作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴EG＝DB，FG＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△FGC∽△ABC，
∴CG：BC＝FG：AB，
即 ＝ ，
∴y＝﹣ ．
故答案为：A．
【分析】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．
12.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴ =（ ）2= ，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴ =（ ）2= ，
故答案为：D.
【分析】根据DE∥AC，可证得△DEO∽△CAO，利用现相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出DE与AC的比值；再利用DE∥AC可证得△BDE∽△BAC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S△BDE与S△BAC的比.
13.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=(AD+BC)，EF∥AD∥BC.
∵BC=3AD，设AD=x，则BC=3AD=3x，EF=2x.
∵EF∥AD，且E、F分别为AB、CD的中点，
∴EG=AD=x，FH=AD=x，
∴GH=x.
∵GH∥BC，
∴△OGH∽△OBC，
∴.
∵△OGH的面积为1，
∴S△OBC=9.
同理△OAD∽△OBC，
∴ ，
∴S△OAD=1.
∵OB=3OD，
∴S△AOB=3S△AOD=3.
∵OC=3OA，
∴S△COD=3S△AOD=3，
∴梯形ABCD的面积=9+1+3+3=16.
故答案为：C.
【分析】根据梯形中位线定理可得EF=(AD+BC)，EF∥AD∥BC，根据BC=3AD，设AD=x，则BC=3AD=3x，EF=2x，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△OBC=9，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得△AOB和△DOC的面积，进而可得结论.
14.【答案】 D
【解析】【解答】 四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
又 ，
，
，即 ，即结论①符合题意；
在 中， ，
在 中， ，
则 ，结论②不符合题意；
由上已证： ，
，
，
即 ，结论③符合题意；
如图，过点G作 于点H，交AE于点O，则四边形ADGH是矩形，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
，
又 ，
，
，则结论④符合题意；
综上，结论正确的有①③④，
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，相似三角形的性质与判定求解即可。
15.【答案】 A
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形CGEF是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，
∴△BCE≌△DCG，
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90°，
∴GH⊥BE，
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH=OG=OE，
∴点H在正方形CGEF的外接圆上，
∵EF=FG，
∴∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，
∴△EHM∽△GHF，
故②正确；
∵△BGH≌△△EGH，
∴BH=EH，
∵O是EG的中点，
∴HO∥BG，
设EC和OH相交于点N，
∴△DHN∽△DGC，
∴ ，
设HN=a，则BC=2a，
设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，
∴ ，
∴a2+2ab-b2=0，
∴a=（-1+）b或a=（-1-）b（舍去），
∴ ，
∴ ，
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG=BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO=BG，
∴HO=EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG=2b，
∴HO=b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO∽△MFE，
∴ ，
∴EM=OM，
∴ ，
∴ ，
∵EO=GO，
∴S△HOE=S△HOG ，
∴ ，
故④错误.
故答案为：A.
【分析】①先证出△BCE≌△DCG，得出∠BEC=∠BGH，从而∠BEC+∠HDE=90°，即可得出GH⊥BE；
②根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出OH=OG=OE，得出点H在正方形CGEF的外接圆上，从而得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，即可证出△EHM∽△GHF；
③先证出△DHN∽△DGC，得出 ， 设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，求出a，b的关系，即可求出；
④先证出△MHO∽△MFE，得出 ， 从而求出 ， 再证出S△HOE=S△HOG ， 从而得出 ， 即可求解.
16.【答案】 D
【解析】【解答】解：由题意可知：
又∵正方形ABCD中，AB=CB,BG=BG
∴△ABG≌△CBG
∴
又∵点E是BC的中点，
∴CE=BE
又∵正方形ABCD中，AB=CD,
∴△DCE≌△ABE
∴
∵
∴ ,即① 符合题意；
如图：延长DE,AB相交于点M
∵在正方形ABCD中，点E是BC的中点，
∴易证△DCE≌△MBE
∴DC=BM=6
又由① 符合题意
可得
又∵
∴△DCE≌△CBF
∴BF=CE=3
∵DC∥AB
∴△DCH∽△MFH
∴
∴② 符合题意；
由题意可知CE=3,DC=6,∠DCE=90°
∴
又根据三角形面积公式可得：
∴
由△DCE≌△CBF
∴CF=DE
∵DC∥AB
∴△DCG∽△BFG
∴ ,即
∴
∴ ，④符合题意.
过点H作HK⊥AB
由易证可知
∴ ,即
∴
同理： ,即
∴
∴
∴在Rt△AHK中，
∴③ 符合题意；正确的共4个，
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可先证△ABG≌△CBG，再证△DCE≌△ABE，可得利用余角的性质可证 ， 据此判断①；如图：延长DE,AB相交于点M，易证△DCE≌△MBE，可得DC=BM=6，再证△DCE≌△CBF，可得CF=DE.利用平行线可证△DCH∽△MFH，可得∴ ， 据此判断②；在Rt△DCE中，利用勾股定理求出DE的长，利用△DCE的面积求出 ， 根据平行线可证△DCG∽△BFG，可得 ， 从而求出 ， 由GH=CG-CH求出GH的长，然后判断④；过点H作HK⊥AB，可得 ， ， 据此求出HK，FK，从而求出 ， 在Rt△AHK中，利用勾股定理求出AH=6,据此判断③.
17.【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意可知，OM= ，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，
∴ ON= .
如答图①所示，
设动点P在O点（起点）时，点B的位置为 ，动点P在N点（末点）时，点B的位置为 ，连接 .
∵AO⊥AB0 ，AN⊥ABn ，
∴∠OAC=∠B0ABn.
又∵AB0 =AO tan30°，ABn =AN tan30°，
∴AB0 ：AO=ABn ：AN=tan30°.
∴△AB0Bn ∽△AON，且相似比为tan30°.
∴ B0Bn =ON tan30°= ×
＝ .
现在来证明线段 就是点B运动的路径（或轨迹）：
如答图②所示，
当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi ，连接AP，ABi ， B0Bi .
∵AO⊥AB0 ，AP⊥ABi ，
∴∠OAP=∠B0ABi .
又∵AB0 =AO tan30°，A =AP tan30°，
∴AB0 ：AO=ABi ：AP.
∴△AB0Bi∽△AOP，
∴∠AB0Bi=∠AOP.
又∵△AB0Bn ∽△AON，
∴∠AB0Bn=∠AOP.
∴∠AB0Bi =∠AB0Bn .
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn 就是点B运动的路径（或轨迹）.
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为 .
故答案为：B.
【分析】由题意易证△AB0Bn∽△AON，由相似三角形的性质可得点B的运动路径是线段，且点B的运动路径长为点P运动路径长的倍，然后求出B0Bn的长即可求解．
18.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于H.
∵DG⊥PG，DH⊥AC，
∴∠DGP＝∠DHA，
∵∠DPG＝∠DAH，
∴△ADH∽△PDG，
∴ ，∠ADH＝∠PDG，
∴∠ADP＝∠HDG，
∴△ADP∽△DHG，
∴∠DHG＝∠DAP＝定值，
∴点G在射线HF上运动，
∴当CG⊥HE时，CG的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADH+∠HDF＝90°，
∵∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，
∴FD＝FH，
∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC＝DF＝3，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC＝ ＝5，DH＝ ，
∴CH＝ ，
∴EH＝ ，
∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，
∴△CGF≌△HEF（AAS），
∴CG＝HE＝ ，
∴CG的最小值为 ，
故答案为：D.
【分析】如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于H.证明△ADP∽△DHG，推出∠DHG＝∠DAP＝定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CG⊥HE时，CG的值最小，想办法求出CG即可.
19.【答案】 B
【解析】【解答】解：
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABE，
∴点A，D，B，E四点共圆，
∵∠DAE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∵F是DE的中点，
∴BF＝ DE，
∴当DE最小时，BF的值最小，
∵若点E是直线BC上的动点，
∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝5，
∴AE＝ ，
∵△ABC∽△ADE，
∴ ，
∴ ，
∴DE＝4，
∴BF＝2，
故选B．
【分析】根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠ABE，推出点A、D、B、E四点共圆，则得∠DBE=90°，根据直角三角形斜边中线的性质得出BF=DE，则知当DE最小时，BF的值最小，由于当AE⊥BC时，AE最小，得出DE最小，然后根据相似三角形的性质列比例式分别求出AE、DE，即可解答.
20.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图1：过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE.
∵DC∥AB
∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACD=45°
∴△PEC是等腰直角三角形
∴PE=PC.
设PC=x，则PE=x，PD=4-x，EQ=4-x.
∴PD=EQ，
∴∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ.
∴△DPE≌△EQF
∴DE=EF
∵DE⊥EF
∴△DEF是等腰直角三角形
易证△DEC≌△BEC
∴DE=BE
∴EF=BE
∵EQ⊥FB
∴FQ=BQ= BF
∵AB=4，F是AB的中点
∴BF=2
∴FQ=BQ=PE=1
∴CE= ，PD=4-1=3
Rt△DAF中，
∴DE=EF=
如图2，
∵DC//AB.
∴△DGC∽△FGA
∴
∴AG=2AG,DG=2FG
∴
∵
∴
∴
连接GM、GN，交EF于H.
∵∠GFE=45°
∴△GHF是等腰直角三角形
∴
由折叠得：GM⊥EF，MH=GH=
∴∠EHM=∠DEF=90°
∴DE∥HM
∴△DEN∽△MNH
∴
∴
∴EN=3NH
∵EN+NH=EH=
∴EN=
∴NH=EH-EN=
在Rt△GNH中，
由折叠得：MN=GN，EM=EG
∴△EMN的周长为 .
故答案为：C.
【分析】如图：过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE.先通过等腰三角形和全等三角形的判定和性质得到FQ=BQ=PE=1；再说明△DEF是等腰直角三角形，然后再利用勾股定理计算得到DE=EF= ；如图2，由DC//AB可得△DGC∽△FGA，列比例式可求FG和CG的长，从而得EG的长；然后再根据AGHF是等腰直角三角形，求得GH和FH的长；利用DE∥GM证明△DEN∽△MNH，则 可得EN= ，然后计算出△EMN各边的长，最后求周长即可.
二、填空题
21.【答案】
【解析】【解答】解：连接CB，取BC的中点D，连接DP，AD，
∵圆的半径为2
∴CD=1，CP=2
∴
∵∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴ ，
∴PD＝BP，
∴AP＋BP＝AP＋PD．
要使AP＋BP最小，只要AP＋PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP＋PD最小，
∴AP＋BP最小值为AD的长，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴ ，
AP＋BP的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接CB，取BC的中点D，连接DP，AD，可证得CD，CP，CP，CB四条线段成比例，再由∠PCD＝∠BCP，可证得△PCD∽△BCP，利用相似三角形的对应边成比例可证得PD＝BP，可推出AP＋BP＝AP＋PD；要使AP＋BP最小，只要AP＋PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP＋PD最小，最小值就是线段AD的长；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD的长.
22.【答案】
【解析】【解答】如图所示，作DF⊥AC于F点，
在Rt△ABC中， ， ，
根据矩形的性质可得：∠BAC=∠FCD， ，
∴△ABC∽△CFD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】作DF⊥AC于F点，根据△ABC∽△CFD，求得CF，OF，再根据平行线分线段成比例定理列式求解即可.
23.【答案】 2或8或5
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝10
∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝10，
设DP＝x，则CP＝10－x，
分两种情况进行讨论：
①当△ADP∽△BCP时， ，即
∴ ，
解得： ；
②当△ADP∽△PCB时， ，即 ，
∴
解得：x=2或x=8，
故答案为：2或8或5.

【分析】根据矩形的性质得出对边相等，设DP＝x，则CP＝10－x，分两种情况进行讨论：即①当△ADP∽△BCP时，②当△ADP∽△PCB时，根据相似三角形的性质分别列方程求解即可.
24.【答案】 1：20
【解析】【解答】解：∵S△BDE：S△DEC＝1：4，
∴BE：EC＝1：4，
∴BE：BC＝1：5，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，
∴ ＝ ＝ ，
设S△BED＝k，则S△DEC＝4k，S△ABC＝25k，
∴S△ADC＝20k，
∴S△BDE：S△DCA＝1：20.
故答案为：1：20.
【分析】根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”可得△BED∽△BCA，再由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得可求解.
25.【答案】 （1，0）（3，0）（6，0）
【解析】【解答】设
∵A(2,2)，
∴
∴CD=OD=DE=EF=t ，
∵CF∥OB ，
∴△ACF∽△AOB，
∴
∴
要使△BEF与△OFE相似，
∵
∴只要 或
即：BE=2t或 ，
①当BE=2t时，BO=4t ，
∴
∴t1=0(舍去)或 ，
∴B(6,0).
②当 时，
(ⅰ)当B在E的左侧时，

∴
∴t1=0(舍去)或
∴B(1,0).
(ⅱ)当B在E的右侧时,
∴
∴t1=0(舍去)或
∴B(3,0).
综上,B(1,0)(3,0)(6,0).
故答案为(1,0)(3,0)(6,0).
【分析】先证明△ACF∽△AOB，再求出最后分类讨论计算求解即可。
26.【答案】 10
【解析】【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于点M，
∵E，F是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠BME=∠MBC，
∵BQ平分∠CBP，
∴∠PBM=∠MBC，
∴∠BME=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EM=20，
∵CQ= CE ，
∴ ，
∵EF∥BC，
∴△BCQ∽△MEQ，
∴ = ，
∵EM=20，
∴ ，即BC=10，
故答案为：10．
【分析】延长BQ交射线EF于点M，先证明△BCQ∽△MEQ，然后可得 = ，根据EM=20，即可得出答案．
27.【答案】 或5
【解析】【解答】设BE=x，则EC=10﹣x，
∵△DEF是△DEB折叠所得，
∴EF=BE=x，①当∠CEF=∠B时，
∵△FEC∽△ABC，
∴ ,即 ，
解得x= ；②当∠CEF=∠A时，
∵△ECF∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得x=5，
综上，BE= 或5.
【分析】根据折叠与相似三角形的性质，分当∠CEF=∠B时，当∠CEF=∠A时，两种情况进行讨论即可.
28.【答案】 9
【解析】【解答】∵△ABC、△DCE、△GEF都是正三角形
∴△ABC、△DCE、△GEF相似
∴S2：S1=6：4
∴S2= S1=6
∵S3：S2=
∴S3=S2× =9．
故答案为：9
【分析】根据相似三角形对应边成比例求解即可。
29.【答案】
【解析】【解答】解： ，
，
即 ①，
，
，
即 ②，
① ②，
得 ，
，
，
解得 ．
故答案为：
【分析】根据相似三角形的性质可得 ， ， 再将两式相加即可求解。
30.【答案】
【解析】【解答】解：过点 作 于点 ，交 于点 ，如图，
则四边形 为矩形，
， ， ，
四边形 是矩形， ， ，
， ， ，
为 的中点，
，
，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
，
，
∽ ，
，
，
，
，
，
∽ ，
，
，
.
故答案为：.
【分析】过点F作FH⊥AD于点H，交ED于点O，则四边形ABFH为矩形，由矩形的性质可得AH=BF，FH=AB，EF∥AB，FH=AB=2，BC=AD=3，AD∥BC，由中点的概念可得AE=BE=1，由勾股定理求出AF，根据平行线分线段成比例的性质可得OH、OF，证明△AME∽△FMO，△ADN∽△FBN，由相似三角形的性质可得AM、AN，接下来根据MN=AN-AM进行计算.
31.【答案】 7
【解析】【解答】解：如图，
易得△DEF∽△IGH，
所以 ，
即 ，
解得x1＝7，x2＝0（舍去）.
故答案为：7.
【分析】如图，由正方形和直角三角形的性质可得∠DFE=∠GHI，∠DEF=∠HGI，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△DEF∽△IGH，于是可得比例式求解.
32.【答案】 5
【解析】【解答】解：∵AE∥BC
∴△AEG∽△BFG
∴BG：GA=3：1=BF：AE
∵D为AC边上的中点
∴AE：CF=1：1
∴AE=CF
∴BF：AE=（CF+BC）：AE=3：1
∴（AE+10）：AE=3：1
解得：AE=5．
故答案为：5．
【分析】根据AE∥BC可得△AEG∽△BFG，根据相似三角形的性质可得到AE、BF的关系，再根据D是AC的中点可得AE=CF，进而可求得AE的长.
33.【答案】 1
【解析】【解答】过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E，F
∴四边形BEFC是梯形
∵G是重心，
∴点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，
∴DG是梯形BEFC的中位线
∴BE+CF=2DG
∵BE∥AD，CF∥AD
∴
故答案为：1.
【分析】 过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E，F，易证四边形BEFC是梯形，再利用重心的定义及性质，可得点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，利用梯形的中位线定理可得到BE+CF=2DG，利用平行线分线段成比例定理可求出的值。
34.【答案】
【解析】【解答】解：过点H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，
∴∠BAD＝∠BMN＝90°，∠D＝∠MNC＝90°，
∴四边形ADNM是矩形，
∴AM＝DN，MN＝AD＝2，
∵将△ADE沿AE折叠至△AHE，
∴AH＝AD＝2，∠AHE＝90°，HE＝DE＝1，
∴∠AHM＋∠EHN＝90°，且∠MAH＋∠AHM＝90°，
∴∠MAH＝∠EHN，且∠AMH＝∠ENH＝90°，
∴△AMH∽△HNE，
∴ ，
∴ ，
∴MH＝2NE，HN＝ ，
∵MH＋HN＝MN＝2，
∴2NE＋ ＝2，
∴NE＝ ，
∴MH＝ ，HN＝ ，AM＝ ，
∴BM＝ ，
∴BH＝ ，
∵AB∥CD，
∴ ，
∴NG＝ ，HG＝ ，
∴BG＝ ，EG＝ ，
∵AB∥CD，
∴ ，即
∴FG＝ ，
故答案为： ．
【分析】过点H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，通过证明△AMH∽△HNE，可得 ，进而得出MH＝2EN，HN＝ ，可求NE的长，即可求BM，MH，HN的长，由平行线分线段成比例可得HG，GN，EG的长，再次利用平行线分线段成比例可得FG的长．
35.【答案】
【解析】【解答】解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：
则AH BH，
GE是AB的垂直平分线，
GA= GB，
同理：GD= GC，
在△AGD和△BGC中，
，
△AGD △BGC (SAS)，
∠GAD =∠GBC，
在△GAM和△HBM中，
∠GAD =∠GBC，∠GMA= ∠HMB，
∠AGB = ∠AHB = 90°，
∠AGE= ∠AGB= 45°，

∠AGD = ∠BGC，
∠AGB = ∠DGC=90°，
∴△AGB和△DGC是等腰直角三角形，
，
，
又 ∠AGE=∠DGF，
∠AGD=∠EGF，
△AGD △EGF，
．
【分析】延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH BH，同理：GD= GC，再证明△AGD △BGC (SAS)，得出∠GAD =∠GBC，再得出 ， 推出 再得出 ，△AGD △EGF，即可得出答案。
36.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接 交 于点 ，作 于点 ， 于点 ，
四边形 是矩形，
， ，
，
；
，
；
由折叠得， 垂直平分 ，
，
，
，
，
，
， ；
由 得， ，
解得， ；
， ，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】连接BF交CE于点G，作FH⊥BC于点H，PQ⊥BC于点Q，由矩形的性质可得AB=CD=2，∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出BD，EC，由折叠的性质可得：CE垂直平分BF，则∠BGC=∠EBC，证明△BGC∽△EBC，根据相似三角形的性质求出GB，进而求出BF、CG的值，根据三角形的面积公式可得FH，证明△CPQ∽△CFH，△BPQ∽△BDC，由相似三角形的性质可得CQ、BQ，据此求解.
37.【答案】 ①②
【解析】【解答】∵AE AD ， AD AB ，
∴AE AB ．
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，cos∠BAE= ，
∴cos∠BAE= ．
∴∠BAE=45°，即△ABE是等腰直角三角形．
∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠DAF=45°．
∵DF⊥AE ，
∴∠ADF=45°，即△ADF是等腰直角三角形．
∴AD AF ．
∴AF=AB ．
∵在矩形ABCD中，AB=CD ，
∴AF=CD ．故①符合题意；
又∵AF=AB ， ∠BAE=45°，
∴∠ABF=67.5°．
∴∠CBG=22.5°．
又∵AE=AD ， ∠DAE=45°，
∴∠ADE=67.5°．
∴∠CDE=22.5°．
∴∠CBG=∠CDE ．
∵∠C=∠C，
∴△DCE∽△BCG ．
∴ ．
∵在矩形ABCD中，BC=AD CD ，
∴ ．
在△ABF和△ADE中．∠BAF=∠DAE=45°，AF AB ，AE AD ，
∴△ABF∽△ADE ．
∴ ．
在△ABF和△OEF中，∠OEF＝∠ADE＝67.5°＝∠ABF ，
∵∠AFB=∠OFE ， ∠AFB=∠ABF ，
∴△ABF∽△OEF ， ∠OEF=∠OFE ．
∴OE＝OF ， ∠EOF=45°．
又∵∠EOF=∠DFO+∠ODF =45°，∠ODF=∠ADE-∠ADF=22.5°，
∴∠ODF =∠DFO ．
∴OF OD ．
∴OE OF OD DE ．
∴ ．故②符合题意；
在△BEF和△FDG中, BE =FD ， ∠EBF=∠DFG ， ∠BEF =∠FDG=∠ADC-∠ADF=45°，
∴△BEF≌△FDG ．
连接CF ．
又∵ BC=AD AD BE ，
∴ ．故③不符合题意；
∵△ABF∽△ADE ， △ABF∽△OEF ，
∴△ADE∽△OEF ．
在△BEF和△BOE中， ∠BEF ∠BOE 45°，∠EBF ∠OBE ，
∴△BEF∽△BOE ．
在△BOE和△DOG中， ∠ODG ∠OBE ， ∠BOE ∠DOG ，
∴△BOE∽△DOG ．
∴△BEF∽△DOG ．
又∵△DCE∽△BCG ，
∴图形中相似三角形超过6对，故④不符合题意．
综上，正确的结论是①②．
故答案为：①②．
【分析】得出△ABE是等腰直角三角形和△ADF是等腰直角三角形，AF=CD ．故①符合题意；得出△DCE∽△BCG，即可得出 ．故②符合题意；得出△BEF≌△FDG，连接CF，因为BC=AD AD BE ， ．故③不符合题意；
因为△ABF∽△ADE ， △ABF∽△OEF ， 得出△ADE∽△OEF，在△BEF和△BOE中，△BEF∽△BOE，在△BOE和△DOG中，△BOE∽△DOG，因为△DCE∽△BCG ， 得出图形中相似三角形超过6对，故④不符合题意．
38.【答案】 1；
【解析】【解答】解：①∵AB=3，BC=6， ，

∴ ，
∴ .
又∵PB=PC，
∴ 是等边三角形.
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴ ；
②如图，作BC的垂线交BD的延长线于点F，作 于点Q.
∵ ，
∴ ，
∴B、C、F、P四点共圆.
根据所作辅助线可知 ，
∴BF为⊙O直径.
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 .
∴求 的最大值，即PQ最大即可.
根据题意结合图形可知当Q点和O点重合时PQ最大，即最大值为⊙O半径.
∵ ，
∴ ，
∴PQ最大值为 ，
∴ .
故答案为：1， .
【分析】①由题意可求出 ，又可证明 是等边三角形.得出结论 ，从而可求出 ，进而求出 ，最后根据等边三角形“三线合一”即可证明 ，即 ；
②如图，作BC的垂线交BD的延长线于点F，作 于点Q.由圆周角定理可判断B、C、F、P四点共圆，且BF为⊙O直径.又易证 ，得出结论 ，即 .故求PQ最大即可.结合图形可知当Q点和O点重合时PQ最大，且最大值为⊙O半径，即根据含 角的直角三角形的性质结合勾股定理求出半径即可求出 的最大值.
39.【答案】
【解析】【解答】解：由折叠的性质得AE=A'E ， 又AE= ，
∴A'E= ，
∵A'E=A'F ， ∠EA'B=∠EAB=90°，
∴△A'EF为等腰直角三角形，
∴EF= A'E=2，∠EFC'=45°，
∴AF=AE+EF= +2，△ABF为等腰直角三角形，
∴AB=AF= +2，∠ABF=45°，
∴∠ABE=∠HBF=22.5°，
由折叠的性质得∠C'HF=∠DHF ， ∠BHC=∠BHC'，
∴∠BHF=∠BHC'+∠C'HF=90°，
∵∠C'FH=∠BFH ， ∠BHF=∠FC'H=90°，
∴△FHC'∽△FBH ，
同理△ABE∽△FBH ，
∴△FDH∽△EAB，
∴ ，
∵DH=C'H=CH ，
∴DF= AE= ，
∴AD=AF+DF= +2．
故答案为： +2．
【分析】先求出EF= A'E=2，∠EFC'=45°，再求出△FDH∽△EAB，最后计算求解即可。
40.【答案】 ②③
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴ ，
∴ ，
由翻折可知： ，
设 ，则 ，
在直角 中， ，
∴ ，
在直角 中，则有 ，
解得： ，
∴ ，
故①不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形AFGD是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴②符合题意；
如图，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在直角 中， ，
在直角 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 时，y由有最小值1，
∴DN的最小值是1，
故③符合题意；
由②可知 ，
∵N不与点G重合，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形时，
有 或 两种情况，
故④不符合题意．
故答案为：②③．
【分析】设 ，则 ，由勾股定理可求出 ；证出 ，证明 ，由相似三角形的性质可得出 ；设 ， ，证明 ，由相似三角形的性质得出 ，可得出y与x的函数关系式，由二次函数的性质可得出答案；由题意可知 ， 为等腰三角形，有 或 两种情况．
41.【答案】
【解析】【解答】解：过点N作NG⊥BF于点G ， 如图，
∵ 沿 折叠后，点C正好落在 边上的F处，
∴BF=BC=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥AD ，
∴∠A=90°，
在Rt△ABF和Rt△GNF中，∠AFB=∠GFN ， ∠FAB=∠FGN=90°，
∴△ABF∽△GNF
∴
设GN=x ， 则AB=2x ，
∵BM是 的平分线
∴∠ABN=∠GBN ，
在Rt△ABN和Rt△GBN中， ，BN=BN ， ∠ABN=∠GBN ，
∴△ABN≌△GBN ，
∴AN=GN=x
∴AF=AN+NF=2+x
在Rt△BAF中，由勾股定理得， ，即：
解得，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】先证明△ABF∽△GNF，再求出 ， 最后计算即可。
42.【答案】 3
【解析】【解答】如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH FG，过点N作PN FG，
在矩形 中， ，
,
FG//BC，F是 边的中点，
，
N到FG的距离
，
同理可得，
M到FG的距离 ，
，
故答案为：3.
【分析】如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH FG，过点N作PN FG，根据矩形的性质得出 , ， 根据三角形中位线定理得出 ， 证明 ， 可得FG=BE，从而求出N到FG的距离h1= ， ，证明 ， 由 ，
可求出M到FG的距离 ， ， 根据计算即可.
43.【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
∴F是BC的中点
∵BD是三角形ABC的中线；
∴点N为三角形ABC的重心，
∴ ，
设FN=k，则AN=2k，AF=3k
过点B作BG//AF交AE的延长线于G,
∴△BGE∽△FAE，
∴
∴BG=1.5k，
∵BG//AF
∴△BGM∽△NAM，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据已知 得出F是BC的中点，再结合已知得出点N为三角形ABC的重心，再根据重心的性质以及相似三角形的性质即可得出结论
44.【答案】 b；
【解析】【解答】解：∵D1E1⊥AC ， BC⊥AC ，
∴D1E1∥BC ，
∴ ，
∵D1是斜边AB的中点，
∴AD1＝BD1 ，
∴ ，
∵AC＝b ，
∴AE1＝E1C＝ b ，
∵D1E1∥BC ，
∴ BD1E1与 CD1E1同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1＝ BC ， CE1＝ AC ， S1＝ S△ABC；
∴在 ACB中，D2为其重心，
∴D2E1＝ BE1 ，
∴D2E2＝ BC ， CE2＝ AC ， S2＝ S△ABC ，
∵D2E2：D1E1＝2：3，D1E1：BC＝1：2，
∴BC：D2E2＝2D1E1： D1E1＝3，
∴CD3：CD2＝D3E3：D2E2＝CE3：CE2＝3：4，
∴D3E3＝ D2E2＝ × BC＝ BC ， CE3＝ CE2＝ × AC＝ AC ， S3＝ S△ABC…；
∴Sn＝ S△ABC＝ × ab＝ ．
故答案为： b ， ．
【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质，再利用重心可得D2E1＝ BE1 ， 以此类推，得到规律再求解即可。
45.【答案】
【解析】【解答】解：如图，记PE与CD交点为G，
∵四边形PFEC为平行四边形，
∴PF∥CE，
∴∠DPE＝∠CEP，∠PDC＝∠ECD，
∴△PGD∽△EGC，
∵DF＝PD，
∴PD＝ PF＝ CE，
∴ ，
∴ ，
∴PE＝3PG，
要求PE的最小值，只要求PG的最小值即可，PG的最小值为当PG⊥CD时，
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△CBH中，∵∠B＝60°，BC＝5，
∴sin∠B＝ ，即 ，
∴PG＝CH＝ ，
∴PE＝3PG＝3× ＝ ，
故答案为： .
【分析】先记PE与CD交点为G，由四边形PCEF为平行四边形和DF=PD以及相似三角形的判定和性质，证得PE=3PG，再根据“垂线段最短”可知当PG⊥CD时PG取得最小值，PE也取得最小值，过点C作CH⊥AB于点H，易证得CH=PG的最小值,由 ∠B=60° ， BC=5 ，解直角三角形BHC即可求得CH，进而得到 PE长度的最小值 .
46.【答案】 2
【解析】【解答】解：过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2 ，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4 ，BC＝ AC＝6，
∵∠AFC＝90°，∠A＝60°，
∴∠ACF＝30°，
∴AF＝ ，CF＝3，
设PF＝x，BQ＝y，
∴QE＝ BQ＝ y，BE＝ y，
∴PE＝3 ﹣ y﹣x，
∵PQ⊥PC，
∴∠PEQ＝∠CFP＝∠CPQ＝90°，
∴∠EQP+∠EPQ＝∠EPQ+∠CPF＝90°，
∴∠PQE＝∠CPF，
∴△PEQ∽△CFP，
∴ ，
∴
∴x2+（ y﹣3 ）x+ ＝0，
∵方程有实数解，
∴△≥0，
∴（ y﹣3 ）2﹣6y≥0，
整理得，y2﹣20y+36≥0，
解得y≤2或y≥18（舍弃），
∴BQ≤2，
∴BQ的最大值为2．
故答案为2．
【分析】过Q作QE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，利用相似三角形的性质根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．
47.【答案】 或 或3
【解析】【解答】解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，
∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，
∴∠ADC＝∠MDG，
∴∠ADM＝∠CDG，
∴△ADM≌△CDG（SAS），
∴∠DAM＝∠DCG＝135°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAM＝90°，
∴MH＝GH＝ ＝ ＝5k，
∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，
∴△DGH∽△AGD，
∴ ＝ ，
∴DG2＝GH GA＝40k2 ，
∵AC＝BC＝6 ，∠ACB＝90°，
∴AB＝ AC＝12，
∴AD＝CD＝6，
∵DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3 ，DJ＝AJ＝IC＝3 ，
∴GJ＝8K﹣3 ，
在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2 ，
∴40k2＝（8k﹣3 ）2+（3 ）2 ，
解得k＝ 或 （舍弃），
∴AH＝3k＝ ．
②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
同法可得：40k2＝（8k﹣3 ）2+（3 ）2 ，
解得k＝ （舍弃）或 ，
∴AH＝3k＝ ．
③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
同法可得：10k2＝（3 ﹣2k）2+（3 ）2 ，
解得k＝ 或﹣3 （舍弃），
∴AH＝3k＝3 ，
综上所述，满足条件的AH的值为 或 或3 ．
故答案为 或 或3 ．
【分析】分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．首先证明AM⊥AC，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．
48.【答案】
【解析】【解答】解：连接CM，过点M作MF⊥BD于点F
∵△ABC为等腰三角形，∠ACB=90°，点M为AB的中点，AB=
∴BM=AB=10 ， AC=BC=20，∠CMB=90°，∠BCM=45°
∵CD⊥BN
∴∠CDB=90°
∴∠CDB+∠CMB=180°
∴点C，M，B，D四点共圆
∴∠MDB=∠BCM=45°，∠DCB=∠BMD
∴△DMF为等腰三角形
∵MD=14 ， ∴MF=DF=14
在直角三角形BMF中，BF==2
∵cos∠CBN= ， ∴BN=25
∴DN=BN-BD=9
∵∠BNE=∠BNA，而∠DCN+∠BNA=90°
∴∠BNE+∠DCN=90°
∴∠BNE=∠DCN
∴∠BNE=∠BMD
∵∠NDE=∠MDB
∴△NDE∽△MDB
∴
解得，NE=
【分析】根据等腰直角三角形的判定以及性质，四点共圆的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质进行证明即可得到答案。
49.【答案】 ；x
【解析】【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为1，BM＝x，
∴AM＝ ，
∵点N是AM的中点，
∴AN＝ ，
∵EF⊥AM，
∴∠ANE＝90°，
∴∠ANE＝∠ABM＝90°，
∵∠EAN＝∠MAB，
∴△AEN∽△AMB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE＝ ，
故答案为： ；
（ 2 ）解：如图，连接AK、MG、CK，
由正方形的轴对称性△ABK≌△CBK，
∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，
∵EF⊥AM，N为AM中点，
∴AK＝MK，
∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，
∴∠KAB＝∠KMC，
∵∠KMB+∠KMC＝180°，
∴∠KMB+∠KAB＝180°，
又∵四边形ABMK的内角和为360°，∠ABM＝90°，
∴∠AKM＝90°，
在Rt△AKM中，AM为斜边，N为AM的中点，
∴KN＝ AM＝AN，
∴ ＝ ，
∵△AEN∽△AMB，
∴ ＝ ＝x，
∴ ＝x，
故答案为：x.
【分析】（1）根据勾股定理求得AM，进而得出AN，证得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性质即可求得AE的长；
（2）连接AK、MG、CK，构建全等三角形和直角三角形，证明AK＝MK＝CK，再根据四边形的内角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK＝ AM＝AN，然后根据相似三角形的性质求得 ＝ ＝x，即可得出 ＝x.
50.【答案】
【解析】【解答】解：如图，过D作DG⊥BC于点G，过F作FH⊥DG于点H，
∵tan∠DBC= ，BD=10，设DG=x，BG=2x
∴ ，解得
∴DG= ，BG=
∴GC=BC-BG=
∴CD=
△DCF周长最小，即CF+DF最小
∵∠FDE=90°
∴∠HDF+∠GDE=90°
∵∠GED+∠GDE=90°
∴∠HDF=∠GED
又∵∠DHF=∠EGD=90°
∴△HDF∽△GED
∴
∴FH=2GD=
即F在DG右侧距离 的直线l上运动，如图所示，
作C点关于直线l的对称点C'，连接DC'，DC'的长即为CF+DF的最小值
∵DG⊥BC，FH⊥DG，FO⊥CC'
∴四边形HFOG为矩形，
∴OG=HF=
又∵GC=
∴OC=OC'=
∴GC'=
在Rt△DGC'中，DC'=
∴△DCF周长的最小值=CD+DC'=
故答案为： .
【分析】过D作DG⊥BC于点G，过F作FH⊥DG于点H，利用tan∠DBC= 和BD=10可求出DG和BG的长，然后求出CD的长，可知△DCF周长最小，即CF+DF最小，利用“一线三垂直”得到△HDF∽△GED，然后根据对应边成比例推出FH=2GD，可知F在DG右侧距离2DG的直线 上，作C点关于直线 的对称点C'，连接DC'，DC'的长即为CF+DF的最小值，利用勾股定理求出DC'，则CD+DC'的长即为周长最小值