2021北师大版九上第四章图形的相似选择与填空培优试题（一）(Word版，附答案解析）

图形的相似选择与填空培优试题（一）
一、单选题
1.（2021九上·卢龙期中）如图，△ABC∽△ACD ， 相似比为2，则S△BDC：S△DAC为（ ）
A. 4:1 B. 3:1 C. 2:1 D. 1:1
2.（2021九上·包河期中）如图，在 中，D、E分别是边 、 上的点， 与 相交于点F ， 若E为 的中点， ，则 的值是（ ）
A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 2
3.（2021九上·宝山期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC ， 如果△ABC被DE分割成两个面积相等的图形，那么下列结论中，正确的是（ ）
A. AD：DB＝ ：1 B. DE：BC＝1： C. AE：AC＝1：2 D. CE：AC＝1：
4.（2021九上·章丘期中）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E ， 当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上都有可能
5.（2021九上·高州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E、F、G、H分别为矩形边上的点，HF过矩形的中心O ． 且HF＝AD ， E为AB的中点，G为CD的中点，则四边形EFGH的周长为（　　）
A. 12 B. 6 C. 8 D. 6
6.（2021九上·宿松期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 是线段 上的一个动点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，若点 在直线 上，则 的最大值是（ ）
A. B. C. -1 D. 0
7.（2021九上·阳谷月考）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长 ，底边上的高为 ，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张
8.（2021九上·包头月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝（ ）．
A. 2∶5∶25 B. 4∶9∶25 C. 2∶3∶5 D. 4∶10∶25
9.（2021九上·铁西月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （﹣1，2）或（1，﹣2） B. （﹣9，18） C. （﹣9，18）或（9，﹣18） D. （﹣1，2）
10.（2021九上·济南月考）如图， 相交于点 ，且 ，点 在同一条直线上．已知 ，则 之间满足的数量关系式是（ ）
A. B. C. D.
11.（2021九上·瓦房店月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（ ）
A. 1：16 B. 1：18 C. 1：20 D. 1：24
12.（2021九上·李沧期中）如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC ， 延长BP ， CP分别交AD于点E ， F ， 连接BD、DP、BD与CF相交于点H ， 给出下列结论：
①AE＝ CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP EB；其中正确的是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
13.（2021·绥宁模拟）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且 ，CE⊥DF，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝ BC，连接CM.有如下结论：①AE＝BF；②AN＝ AD；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF＝ S△ABC ， 上述结论中，正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④
14.（2021·南开模拟）如图，在矩形 中， ，点E为 的中点，将 沿 折叠，使点B落在矩形内点F处，则下列说法错误的是（ ）
A. 直线 为线段 的垂直平分线 B. C. D.
15.（2021九上·肥城期末）如图，正方形 和正方形 ， 点在边 上，边 与正方形 的对角线 相交于点 ，连接 ．以下四个结论：① ；② ；③ ；④点 到直线 和直线 的距离相等．其中正确的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
16.（2021九上·青龙期中）如图： 中， 是AB边上一点（与AB不重合），过点 作直线截 ，所截得的三角形与原 相似，满足这样条件的直线共有 条．
17.（2021九上·城阳期中）如图，四边形ABCD和四边形ABEC均为平行四边形，点H为BE的中点，连接DH ， 分别交AC ， BC于点F ， G ， 已知平行四边形ABCD的面积为8cm2 ， 则△ADF的面积为 cm2 ．
18.（2021九上·西湖月考）如图是一张矩形纸片，E是AB的中点，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，AB＝2，则CB＝ ．
19.（2021九上·义乌期中）已知三个数1， ，2，请再添上一个数使它们能构成一个比例式，那么添上的这个数是 .
20.（2021九上·高州期中）若k＝ ＝ ＝ ，且a＋b＋c≠0，则k＝ .
21.（2021九上·普陀月考）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，联结EG交AC于点H，如果H是AC的中点，那么 的值等于 ．
22.（2021九上·上海月考）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，且DE将△ABC分成面积相等的两部分。把△ADE沿直线DE翻折，点A落在点F的位置上，DF交BC于点G，EF交BC于点H，那么 = .
23.（2021·安徽模拟）在矩形ABCD（AB＜ BC）的边上取一点E ， 将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若∠CBE＝15°，则 ＝ ________；
（2）如图2，延长EF ， 与∠ABF的平分线交于点M ， BM交AD于点N ， 当NF＝AN＋FD时， ＝________．
24.（2021·惠山模拟）如图，在平行四边形 中， ， ，点 为边 上的一个动点，连接 并延长至点 ，使得 ，以 、 为邻边构造平行四边形 ，连接 ，则 的最小值为 .
25.（2021·武昌模拟）如图， 为等边三角形，点 ， 分别在 ， 上，将 沿 折叠，使点 落在 边上的点 处，连接 ， ，若 ，则 ． （结果用含 的代数式表示）
26.（2021·成都模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，F是边AD上一点，连接BF，将△ABF沿BF折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CD于点E，连接GD.若△DEG是以DG为腰的等腰三角形，则AF的长为 .
27.（2021·河南模拟）已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN沿直线MN折叠，点A落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为 .
28.（2021九下·昆明月考）如图，正方形 的对角线 上有一点 ，且 ，点 在 的延长线上，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，若 ， ，则线段 的长是 ．
29.（2020九上·台儿庄期末）如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 为 的中点， 与 交于点 ，则 的长为 ．
30.（2021八上·温州期中）如图，已知等腰 中， 平分 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，若 ，则 ， Ｓ四边形EDCF .
31.（2021·建邺模拟）如图，在 中， ， ， ，菱形 顶点 在边 上， 分别在边 上，则 的取值范围是 .
32.（2021·市南模拟）如图，在正方形 中， ，E为 的中点，将 沿 折叠，使点B落在正方形内点F处，连接 ，则 的长为 ．
33.（2021·兖州模拟）如图，在 中， ，点C关于直线AB的对称点为D点E为边AC上不与点A ， C重合的动点，过点D作BE的垂线交BC于点F ， 则 的值为 ．
34.（2021九上·福州期末）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ， 上运动，且满足 ，连接 ， ，则 的最小值是 .
35.（2020·泸县）如图，在矩形 中， 分别为边 ， 的中点， 与 ， 分别交于点M ， N ． 已知 ， ，则 的长为________．
36.（2020·桂林）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的 上任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是________.
37.（2020·泉州模拟）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C点，点D在 上， ， 与 交于点 ，连接 ，若 ， ，则 ________．
38.（2020九下·遵化期中）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．
39.（2019·广州模拟）如图，将矩形ABCD点A逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边 交CD边于点G， 时， ， ，连接 ， ，则 ________．
40.（2019·唐县模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，连接BD，点P是线段AD延长线上的一个动点，∠PBQ=45°，点Q是BQ与线段CID延长线的交点，当BD平分∠PBQ时，PD ________QD（填“>”“<”或“=”）；当BD不平分∠PBQ时，PD·QD=________。
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD ， 相似比为2，∴S△ABC：S△ACD=4，∴S△BDC：S△ACD=3：1．
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的性质可得S△ABC：S△ACD=4，再结合图形可得S△BDC：S△ACD=3：1．
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作 交AD于G ，
∵E是AC的中点， ，
∴EG是△ACD的中位线，△AGE∽△ADC ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可证△FGE∽△FDB ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
又∵S△ADE=S四边形BCED ，
∴ ，
则DE：BC=1： ，
故答案为：B．
【分析】先求出△ADE∽△ABC，再求出 ，最后计算求解即可。
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵∠DPC＝∠B+∠PDB ，
即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB ，
而∠DPE＝α，
∴∠EPC＝∠PDB ，
而∠ABC＝∠ACB ，
∴△PDB∽△EPC ，
∴
设PB＝x ， 则PC＝12﹣x ， 当CE＝9时，
∴
∴x2﹣12x+36＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，
∴点P有且只有一个，
故答案为：A．
【分析】由已知得出∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB ， 则可判断△PDB∽△EPC ， 利用相似比得出 ， 设PB＝x ， 则PC＝12﹣x ， 当CE＝9时，得出 ， 根据判别式的意义得出Δ＝0，即原方程只有一个实数根，即可得出答案。
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，连接EG ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD ， AB∥CD ，
∵E为AB的中点，G为CD的中点，
∴AE＝DG ， AE∥DG ，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∴AD＝EG ，
∵矩形是中心对称图形，HF过矩形的中心O ．
∴EG过点O ， 且OH＝OF ， OE＝OG ，
∴四边形EHGF是平行四边形，
∵HF＝AD ，
∴EG＝AD ，
∴四边形EHGF是矩形，
∴∠EHG＝90°，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠AHE+∠AEH＝∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠AEH＝∠DHG ，
∴△AEH∽△DHG ，
∴ ＝ ，
设AH＝x ， 则DH＝10﹣x ，
∵ ，
∴ ，
解得，x＝2或8，
∴AH＝2或8，
当AH＝2时，DH＝8，则 ，
，
∴四边形EFGH的周长＝ ；
同理，当AH＝8时，四边形EFGH的周长＝12 ．
故答案为：A ．
【分析】如图，连接EG，证明四边形EHGF是矩形，再证明△AEH∽△DHG，从而求出AH、DH的长，由勾股定理求出EH和HG，再根据矩形的周长公式求解即可.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接 ，则四边形 是矩形，
，
又 ，
，
，
，
，
设 ．则 ，
，
即： 当 时，
直线 与 轴交于
当 最大，此时 最小，点 越往上， 的值最大，
，
此时，
的最大值为 ．
故答案为：A．
【分析】先证明 ， 再利用相似的性质可得 ， 设 ．则 ，将数据代入计算即可。
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则该正方形的边长为 ，
设从顶点到这个正方形顶边的距离为 ，
根据相似三角形的性质可得 ，解得 （张），
所以这张正方形纸条是第5张，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张即可。
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∵DE：EC=2：3，
∴DE：AB=2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
∴
∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC//AB，求出DE：AB=2:5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△BAF的面积之比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△BEF的面积之比即可求出答案。
9.【答案】 A
【解析】【解答】∵点A（-3，6）且相似比为 ，
∴点A的对应点A′的坐标是（-3× ，6× ）或（3× ，-6× ）
∴A′（-1,2）或（1,-2）.
故答案为：A
【分析】利用位似变换是以原点位位似中心，相似比位k，慢位似图形对应点的坐标的比等于k或-k进行求解即可。
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ， ，两式相加即可得出答案。
11.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，
∴BE：CE＝1：4，
∴BE：BC＝1：5，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴S△BDE：S△BAC＝（ ）2＝ ．
∴S△BDE：S△ADC=1：（25-1-4）=1：20．
故答案为：C．
【分析】先求出BE：BC＝1：5，再求出△BDE∽△BAC， 最后计算求解即可。
12.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC ， ∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD ， ∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴ （ASA），
∴AE＝ BE＝ CF；故①符合题意；
∵PC＝CD ， ∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠EDP＝∠EBD ，
∵∠DEP＝∠DEP ，
∴△DEP∽△BED ，
∴ ＝ ，即ED2＝EP EB ， 故④符合题意；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠PED＝∠DEB ，
∴△PDE∽△DBE ， 故③符合题意；
∵∠PBD＝15°，∠PDB＝30°，
∴∠BPD＝135°，故②符合题意；
故答案为：D ．
【分析】由正方形的性质、等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论。
13.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DE＝AF，
∴AD﹣DE＝BC﹣AF，即AE＝BF，
故①正确；
∵AB∥CD，
∴ ，
∵AF：FB＝1：2，
∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，
∴ ，
∴ ，
∵AC＝ AD，
∴AN＝ AD；
故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝ a，

由△CMD∽△CDE，可得CM＝ a，
由△GHC∽△CDE，可得CH＝ a，
∴CH＝MH＝ CM，
∵GH⊥CM，
∴GM＝GC，
∴∠GMH＝∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，
∴∠FMG＝∠DCE，
∵∠ADF＝∠DCE，
∴∠ADF＝∠GMF；
故③正确，
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴ ，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，
∴S△ANF：S△ABC＝1：12，
故④错误，
故答案为：C.
【分析】①正确，证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断；②正确，利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可；③正确，作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝ a，通过计算证明MH＝CH即可解决问题；④错误，设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出 ，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断.
14.【答案】 D
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得：AB=AF ， BE=FE
∴AE垂直平分线段BF
∴选项A不符合题意
∵E是BC的中点
∴BE=EC
∴BE=FE=EC
∴选项C不符合题意
∵FE=EC
∴∠EFC=∠ECF
∴选项B不符合题意
则选项D符合题意
事实上，过点E作EG⊥FC于点G
∴CF=2GF ， ∠FEG=∠CEG
根据折叠的性质，可得：∠BEA=∠FEA ， ∠AFE=∠B=90°
∵2∠FEA+2∠FEG=180°
∴∠FEA+∠FEG=90°
∵∠FEA+∠EAF=∠AFE=90°
∴∠FEG=∠EAF
∴△FEG∽△EAF
∴
∵FE=BE=3，AB=4
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=5
∴
∴CF=2GF=
则选项D符合题意
故答案为：D
【分析】根据折叠的性质可得AB=AF，BE=FE，据此判断A即可；根据线段中点的定义得出BE=CE，可得EF=CE，从而得出∠EFC=∠ECF，据此判断B、C；过点E作EG⊥FC于点G，CF=2GF，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=5，证明△FEG∽△EAF， ， 据此求出GF的长，即得CF的长，从而判断D.
15.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴∠
∴∠ +∠GAD
∴∠ ，故①符合题意；
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴∠ ， ，
∴∠ ， ，
∴ ，
，即
∴ ，故②符合题意；
∵ ,
∴
∴ ，故③符合题意；
∵
∴∠
∴DG在正方形ABCD的一条对角线上，
∴点 到直线 和直线 的距离相等．故④符合题意，
所以，正确的结论有4个，
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质和相似三角形的性质与判定对每个结论一一判断求解即可。
二、填空题
16.【答案】 4
【解析】【解答】解：如图所示，当直线 时，此时△APE∽△ABC ， 符合题意；
如图所示，当直线 时，此时△BPF∽△BAC ， 符合题意；
如图所示，当∠APG=∠ACB ， ∠A=∠A时，此时△APG∽△ACB ， 符合题意；
如图所示，当∠BPH=∠BCA ， ∠B=∠B时，此时△BPH∽△BCA ， 符合题意；
∴一共有四条直线满足题意，
故答案为：4．
【分析】两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形的相似，据此分别判断即可。
17.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形ABEC均为平行四边形，
∴AC//BE, AC=BE ， AB=CE=DC,
∴ ,
∴ ,
∵CE=DC ， ,
∴ ,
∵点H为BE的中点，AC=BE ，
∴ ,
∴ ,
∵平行四边形ABCD的面积为8cm2 ，
根据平行四边形对角线平分平行四边形的面积可得 cm2,
∴△ADF的面积为3cm2 ．
故答案为：3.
【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
18.【答案】
【解析】【解答】解：如图，DB与CE交于点O，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，
∴CE⊥BF，
∴∠COD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝∠ABC＝90°，AB＝DC＝2，
∴∠DCE+∠CDB＝∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠CDB＝∠ECB，
∴△DCB∽△CBE，
∴ ，
设CB＝x，
∵E是AB的中点，
∴BE＝1，
∴ ，
∴x＝ （负值舍去），
故答案为： ．
【分析】利用折叠的性质可证得CE⊥BF，利用矩形的性质和余角的性质可证得∠CDB＝∠ECB，可得到△DCB∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设CB＝x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
19.【答案】 或 或
【解析】【解答】解：设添加的数是x，
则1×x＝ 或 x＝1×2或1× ＝2x，
解得：x＝2 或 或 ，
即这个数是2 或 或 .
故答案为：2 或 或 .
【分析】设添加的数是x，则1×x＝×2或 x＝1×2或1×＝2x，求解就可得到x的值.
20.【答案】 -1
【解析】【解答】解：等比性质 (a＋b＋c≠0)
故答案为-1
【分析】根据等比的性质求解即可.
21.【答案】
【解析】【解答】解： 如图，
∵EF⊥AD，
∴∠EFG=∠EFD=90°，
∵FG＝FD，EF=EF，
∴△DFE≌△GFE，
∴∠5＝∠B＋∠1＝∠4＝∠2＋∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠B，
∴△AGH∽△ADB，
∵AB＝5，AC＝4，H是AC的中点，
∴AH＝2，
∴ ，而 AD＝AG＋GD，
∴ ，
∴ ，
∵GF=DF，
∴ ＝ ．
故答案是： ．
【分析】先证明△DFE≌△GFE，可得∠5＝∠B＋∠1＝∠4＝∠2＋∠3，从而得出∠3＝∠B，可证△AGH∽△ADB，可得 ， 从而求出 ， 结合GF=DF可得 ＝ .
22.【答案】
【解析】【解答】解：连接AF，交DE于M，交BC于N，
∵把△ADE沿直线DE翻折，点A落在点F的位置上，
∴AF⊥BC，AM=FM，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，AF⊥BC，
∵DE将△ABC分成面积相等的两部分，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BC∥DE，
∴△FHG∽△FED，
∴.
【分析】连接AF，交DE于M，交BC于N，根据把△ADE沿直线DE翻折，点A落在点F的位置上得出AF⊥BC．AM=FM，证△ADE∽△ABC，得出 ， 求出 ， 从而求出 ， 证出△FHG∽△FED得出 ， 即可得出答案.
23.【答案】 （1）
（2）
【解析】【解答】（1）根据折叠的性质，得BF=BC ， ∠FBE=∠CBE=15°

∴∠FBC=∠FBE+∠CBE=30°
∵四边形ABCD是矩形
∴BC∥AD
∴∠AFB=∠FBC=30°
∵∠A=90°
∴BF=2AB
∴BC=2AB
∴
故答案为：
（2）过N作NG⊥BF于点G ， 如图
∵BM平分∠ABF ， AD⊥AB ， NG⊥BF
∴AN=GN
∵BN=BN
∴Rt△ABN≌Rt△GBN
∴BG=AB
∵∠NGF=∠A=90°，∠NFG=∠BFA
∴△NGF∽△BAF
∴
∵NF=AN+FD
∴AD=BC=2NF
∴AB=2GN
设AN=GN=a ， FD=b ， 则NF=a+b ， AB=2a ， AD=BF=BC=2a+2b
∴FG=BF-BG=2b
在Rt△NFG中，由勾股定理得：
即
即
∴BC=
∴
故答案为: ．
【分析】（1）根据折叠的性质可得BF=BC，∠AFB=2∠CBE=30°，从而可得BC=2AB，即可得出结果；
（2）过点N作NG⊥BF于点G，则易得AN=GN，AB=BG，△NFG∽△BFA，由对应边成比例可得BG=2NG，设AN=a，FD=b，则在Rt△NFG中，由勾股定理可得a，b的关系，从而求得结果。

24.【答案】
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于点H，
∵在 ABCD中，∠B=60°，BC=4，
∴CH=2 ，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴ ，
∵DF= DE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH=EO，
∴EO=2 ，
∴GO= ，
∴EG的最小值是2 + = .
故答案为： .
【分析】作CH⊥AB于点H，易得CH=2 ， 由平行四边形的性质可得EF∥CG，证明△EOD∽△GOC，推出当EO⊥CD时，EO取得最小值，则CH=EO，据此可得GO，进而得到EG的最小值.
25.【答案】
【解析】【解答】如下图：作 于 ，
设 长度为单位“1”，则 ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
，
在 中：
解得：
∴
又∵ ，
∴
又∵
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
故为：
【分析】设FC=1，分别表示出出AF和AC ， 过点F作垂线，构造相似三角形，分别代入求解即可．
26.【答案】 或
【解析】【解答】解：如图1中，当 时，过点 作 于 ， 于 .设 .
四边形 是矩形，
， ，
由翻折的性质可知， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
在 中，则有 ，
解得 或 （舍弃），
.
如图2中，当 时，
由翻折的性质可知， ，
，
，
，
，
，
，
， ， 共线，
， ，
，
，
，
，
，
综上所述， 的值为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】分两种情形：如图1中，当 时，过点 作 于 ， 于 .设 ，证明 ，推出 ，可得 ，再证明 ，在 中，利用勾股定理构建方程求解.如图2中，当 时，利用相似三角形的性质求解即可.
27.【答案】 或
【解析】【解答】解：
设AN=PN=x，则CN=5=x
①当∠NPC=90°时，如图1，
∵∠NPC=∠B=90°，∠C=∠C，
∴△NPC∽△ABC，
即
②当∠PNC=90°时，如图2，
∵∠PNC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NPC∽△ABC，
即
综上，PN的长为 或 .
故答案为 ： 或 .
【分析】首先由勾股定理结合已知条件可得AC的值，设AN=PN=x，则CN=5=x，①当∠NPC=90°时，易证△NPC∽△ABC，然后由相似三角形对应边成比例求解即可；②当∠PNC=90°时，同理可证△NPC∽△ABC，求出PN的值.
28.【答案】
【解析】【解答】如图，作FH⊥PE于H．
∵四边形ABCD是正方形，AB=5，
∴AC=5 ，∠ACD=∠FCH=∠ECG=45°，
∵∠FHC=90°，CF=2，
∴CH=HF= ，
∵CE=4AE，
∴CE=4 ，AE= ，
∴EH=5 ，
在Rt△EFH中， ，
∵∠GEF=∠GCF=90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG=∠ECG=45°，
∴∠ECF=∠EFP=135°，
∵∠CEF=∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2=EC EP，由此即可解决问题．
29.【答案】
【解析】【解答】如解图，过点 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽
∴
∴ ，
设 为 ，则 ，由勾股定理得 ，
又∵ ，
∴ ，
则 ，
∵ 且 ，
∴ ∽ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点 作 于 ，根据 ∽ 可得出AH,FH的关系式，然后根据 ∽ ，可得 ， 构建方程即可求解即可。
30.【答案】 8；
【解析】【解答】解：∵BD=CD，BD=4，
∴BC=2BD=8，
∵ ，
∴ ，
又∵BE平分 ，
∴∴∠ABF=∠CBF
∴ ，
∴ ；
如图所示，作FH⊥BH交BC延长线于H点，
∵ ，
∴AD⊥BC，
又∵FH⊥BH，
∴ ，
∴设FH=x，
∴ ，即 ，
整理得： ，
∴在 中， ，
即 ，整理得： ，
解得： (舍去)， .
∴ ，
∴S四边形EDCF=
故答案为：8，.
【分析】易得BC=2BD=8，由平行线的性质可得∠ABF=∠F，由角平分线的概念可得∠ABF=∠CBF，推出CF=BC=8，作FH⊥BH交BC延长线于H点，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，证明△BDE∽△BHF，设FH=x，由相似三角形的性质表示出CH，在Rt△CHF中，应用勾股定理可得x，即FH，然后根据S四边形EDCF= S△BCF-S△BDE进行计算.
31.【答案】
【解析】【解答】解：在 中， .
①当点D与点A重合时，如图1所示，
∵四边形DEFG是菱形，
∴GF∥AB，EF∥AC，DE=EF=FG=GD.
∴∠FEB=∠CDB=∠CGF，∠CFG=∠CBA.
∴ .
.
设菱形的边长为x，则
.
解得， .
∴ 此时为DE的最大值.
②当∠DEF=90°时，如图2所示，此时菱形DEFG是正方形.
过点C作CH⊥AB于点H，交GF于点M，则CH⊥GF，且MH=GD=FE.
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF∥AB，DE=EF=FG=GD=MH.
设正方形的边长为y，则MH=y，CM=CH-MH=
解得，
此时为DE的最小值.
∴符合条件的DE的取值范围是
故答案为： .
【分析】①当点D与点A重合时，如图1所示，由菱形的性质得GF∥AB，EF∥AC，DE=EF=FG=GD，进而证出 ， 得到 ， 列出式子即可求出最大值；②当∠DEF=90°时，如图2所示，此时菱形DEFG是正方形；过点C作CH⊥AB于点H，交GF于点M，则CH⊥GF，且MH=GD=FE，先利用等积法得到CH，再利用正方形性质进而得出 ， 再根据相似三角形的性质进而即可得出答案.
32.【答案】
【解析】【解答】如图，连接 ， 交 于点
∵正方形 中，
∴ ，
∵E为 的中点
∴
∴
∵ 沿 折叠，使点B落在正方形内点F处
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，即
∴
∴
∴
∴
故答案为： ．
【分析】连接 ， 交 于点 ， 根据正方形和勾股定理，求出AE，根据轴对称的性质∴ ， ， 再证明 ， 利用对应边成比例即可求出CF的长.
33.【答案】
【解析】【解答】解：如图，设 交 于点M， 交 于点N， 交 于点 ，
设
关于 对称
，
故答案为: ．
【分析】利用三角形的面积公式和相似三角形的性质与判定进行求解即可。
34.【答案】
【解析】【解答】∴求 的最小值，即求 的最小值，
∴作B关于AD的对称点 ，连接解：∵四边形 是平行四边形，且∠
∴∠ ，
连接 ，如图，
∵
∴
∴ 且∠
∴△
∴
∴
∴
， 交AD于M，此时 与 的交点为点E，这时 最小
∴ 的最小值
∵∠
∴∠ ，∠
∴
∴
∴
∴
∴ 的最小值
即 的最小值
故答案为：
【分析】连接 ，可得 且∠ ，证明△ ，得出结论 ，从而可得求 的最小值，即求 的最小值 ，求出 的最小值 即可.
35.【答案】
【解析】【解答】解：过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，
由题意可知：EH∥BC，
∴△BEG∽△BAF，
∴ ，
∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点，
∴BE=2，AF=3，
∴ ，
∴EG= ，
∵EH∥BC，
∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，
∴ ， ,
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ， ，
∵E为AB中点，EH∥BC，
∴G为BF中点，
∴BG=GF= BF= ，
∴NG= = ，MG= BG= ，
∴MN=NG+MG= ，
故答案为： .
【分析】过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，证明△BEG∽△BAF，求出EG的长，再证明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出 ， ，再求出BG=GF= BF= ，从而求出NG和MG，可得MN的长.
36.【答案】
【解析】【解答】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT.
∵PA＝2.AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT AB，
∴ ＝ ，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴ ＝ ＝ ，
∴PT＝ PB，
∴ PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝ ＝ ，
∴ PB+PC≥ ，
∴ PB+PC的最小值为 .
故答案为 .
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT.证明△PAT∽△BAP，推出 ＝ ＝ ，推出PT＝ PB，推出 PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题.
37.【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点C作 于点M，过点E作 于点N，
∵ ， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
，
在 中， ，
∴ ， ，
在 中，
，
在 中，
，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，先证△BCD∽△ACE，求出AE的长及∠CAE=60°，推出∠DAE=90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE的长，进一步求出CD的长，分别在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的长，再证△MFC∽△NFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF与EF的比值．
38.【答案】 144
【解析】【解答】由题意得DE∥BC，FH∥AC，GI∥AB，
∴△1∽△2∽△3， 四边形BDMG、CEMH均为平行四边形，
∵ △1、△2、△3的面积分别是4，9和49，
∴它们对应的边长之比为2：3：7，
∵四边形BDMG、CEMH均为平行四边形，
∴DM=BG，EM=CH，
设DM=2x，则ME=3x，GH=7x，
∴BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=2x+3x+7x=12x，
∴BC：DM=12x：2x=6:1，
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，
得S△ABC：S△FDM=36:1,
∴S△ABC=36S△FDM=36×4=144.
【分析】由题意得DE∥BC，FH∥AC，GI∥AB，可得△1∽△2∽△3， 四边形BDMG、CEMH均为平行四边形，利用相似三角形的性质，可得△1、△2、△3的边长之比，由平行四边形的性质可得DM=BG，EM=CH，设DM=2x，则ME=3x，GH=7x，从而可得BC=12x，继而求出△ABC与△FDM的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
39.【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，AG， ，如图所示：
由旋转可得， ， ， = ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得：x=4，或x=-10（舍去），
∴AB=4，
∴在 中， ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】连接AC，AG， ，由旋转可得， ， ， = ，证明 ，得出 ，证明 是等腰直角三角形，得出 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得出方程，解方程得出AB=4，在 中， ，即 ；
40.【答案】 =；8
【解析】【解答】解：①当BD平分∠PBQ时
∵∠PBQ=45°
∴∠QBD=∠PBD=45°
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°
∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°
∴△ABP≌△CBQ
∴BP=BQ
∴△QBD≌△PBD
∴PD=QD
②当BD不平分∠PBQ时
∵AB∥CQ
∴∠ABQ=∠CQB
∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°
∴∠DBQ=∠ABQ=∠CQB
∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°
∴∠BDQ=∠BDP
∴△BQD∽△PBD
∴
∴PD×QD=BD2=8.
【分析】①根据角平分线的性质，证明△ABP≌△CBQ，△QBD≌△PBD，即可得到结论；
②当BD不平分∠PBQ时，证明△BQD∽△PBD，根据相似的性质列出比例式即可得到答案