２０２１—２０２２ 学年度衡阳市高中二年级质量监测
数 学 卷
注意事项：１ 本试卷共四道大题，满分 １５０ 分
２ 测试时量：１２０ 分钟，请同学们科学、合理地安排好答题时间
３ 本卷为试题卷，答案必须答在答题卡的指定位置，答在试题卷上无效
一、选择题：本题共 ８ 小题，每小题 ５ 分，共 ４０ 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的
１ 设已知复数 ｚ 满足 ｚ ＝ ３ ＋ ｉ，且 ｚ 的共轭复数为ｚ，则 ｚ ＝
Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ ４ Ｄ ３
２ 直线 ａｘ ＋ ｙ ＋ ａ － ３ ＝ ０ 恒过定点
Ａ （ － １，３） Ｂ （１，３） Ｃ （３， － １） Ｄ （ － １， － ３）
３ 抛物线 ｙ２ ＝ ２ｘ 的焦点到准线的距离为
Ａ １２ Ｂ １ Ｃ ２ Ｄ ３
４ 已知向量 ａ ＝ （ － ２，４，３），ｂ ＝ （１， － ２，ｘ），若 ａ∥ｂ，则 ｘ ＝
Ａ － ３ Ｂ １０２ ３ Ｃ － ２ Ｄ ２
２
５ 函数 ｙ ＝ ｘ ３ ·ｓｉｎ（πｘ）·ｌｏｇ２ ｘ 的图象大致为
２
６ 设双曲线 ｘ２ － ｙ４ ＝ １ 的左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，若点 Ｐ 在双曲线上，且 ＰＦ１ ＝ ３，
则 ＰＦ２ ＝
Ａ １ 或 ５ Ｂ １ Ｃ ４ Ｄ ５
—高中二年级质量监测数学试卷 第 １ 页 （共 ４ 页）—
７ 直线 ｌ∶ ｘｃｏｓθ ＋ ｙｓｉｎθ ＝ １２ ，圆 Ｏ∶ ｘ
２ ＋ ｙ２ ＝ １，若直线 ｌ 交圆 Ｏ 于 Ａ、Ｂ 两点，则 ＡＢ ＝
Ａ ２ Ｂ ３ Ｃ ２ Ｄ． １
２ ２
８ 已知椭圆 Ｅ∶ ｘ ＋ ｙ → →４ ３ ＝１ 右顶点为 Ａ，若坐标原点为 Ｏ，则ＰＡ·ＰＯ的最大值为
Ａ ０ Ｂ ３ Ｃ ８ Ｄ ９
二、选择题：本题共 ４ 小题 每小题 ５ 分，共 ２０ 分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求 全部选对的得 ５ 分，部分选对的得 ２ 分，有选错的得 ０ 分
２ ２
９ 已知椭圆 Ｃ∶ ｘ ｙ１２ －ｍ ＋ ｍ － ４ ＝ １（８ ＜ｍ ＜ １２）的焦距为 ４，则
Ａ 椭圆 Ｃ 的焦点在 ｘ 轴上 Ｂ ｍ ＝ １０
Ｃ 椭圆 Ｃ 的离心率为 ６３ Ｄ 椭圆 Ｃ 的短轴长为 ２ ２
１０ 在正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，Ｅ 为棱 ＣＤ 的中点，则
Ａ ＢＣ∥平面 Ａ１Ｄ１Ｅ Ｂ Ａ１Ｅ⊥ＢＤ
Ｃ Ａ１Ｅ⊥ＢＣ１ Ｄ Ｃ１Ｅ⊥平面 Ａ１Ｄ１Ｅ
１１ 若曲线 Ｃ∶ ｘ ＝ ３ － ｙ２与动直线 ｌ∶ ｙ ＝ ｘ ＋ ｂ 恰有一个公共点，则实数 ｂ 的取值可以是
Ａ － ３ Ｂ ３ Ｃ － ６ Ｄ ６
１２ 一般地，我们把离心率为 ５ － １２ 的椭圆称为“黄金椭圆” 把离心率为
５ ＋ １
２ 的双曲线称为
“黄金双曲线”，则下列命题正确的有
２ ２
Ａ 若椭圆ｘ ＋ ｙ１０ ｍ ＝ １ 是“黄金椭圆”，则 ｍ ＝ ５ ５ － ５
Ｂ 若焦距为 ４，且点 Ａ 在以 Ｆ１，Ｆ２ 为焦点的“黄金椭圆”上，则△ＡＦ１Ｆ２ 的周长为 ６ ＋ ２ ５
２
Ｃ 若 Ｆ 是黄金双曲线ｘ － ｙ
２
＝ １ 的左焦点，Ｃ 是右顶点，Ｂ（０，ｂ），则∠Ｆ ＢＣ ＝ π１ ａ２ ｂ２ １ ２
２ ２
Ｄ 若 ＡＢ 是黄金双曲线ｘ ｙ２ － ２ ＝ １ 的弦，离心率为 ｅ，Ｍ 是 ＡＢ 的中点，若 ＡＢ 和 ＯＭ 的斜率ａ ｂ
均存在，则 ｋＯＭ·ｋＡＢ ＝ ｅ
三、填空题：本题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分
１３ 如图四棱锥 Ｏ － ＡＢＣＤ 中，四边形 ＡＢＣＤ 为菱形，
Ｏ→Ｄ ＝ ｘ Ｏ→Ａ ＋ ｙ Ｏ→Ｂ ＋ ｚ Ｏ→Ｃ，则 ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝
１４ 函数 ｆ（ｘ） ＝ ｌｎ（２ － ｘ２）的定义域为
１５ 等轴双曲线 Γ 的左、右顶点分别为 Ａ１，Ａ２，点 Ｐ 为双曲线 Γ 上
一点，若直线 ＰＡ１ 的斜率为
１
２ ，则直线 ＰＡ２ 的斜率为
—高中二年级质量监测数学试卷 第 ２ 页 （共 ４ 页）—
１６ 已 知 点 Ｐ （ ｘ０， ｙ０ ） 不 在 直 线 ｌ： Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０ 上， 则 点 Ｐ 到 直 线 ｌ 的 距 离
Ａｘ０ ＋ Ｂｙ０ ＋ Ｃｄ ＝ ；类比有：当点 Ｐ （ ｘ０， ｙ０ ） 在函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ） 图象上时，距离公式变为
Ａ２ ＋ Ｂ２
Ａｘ０ ＋ Ｂｆ（ｘｄ ＝ ０
） ＋ Ｃ
，根据该公式可求
２ ２ ｘ － ２ ＋ １ － ｘ
２ 的最小值是
Ａ ＋ Ｂ
四、解答题：本题共 ６ 小题，共 ７０ 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
１７ （本小题满分 １０ 分）已知函数 ｆ（ｘ） ＝ ｃｏｓｘ·ｓｉｎｘ ＋ ３ｃｏｓ２ｘ － ３２
（１）求函数 ｆ（ｘ）的单调递增区间；
（２）在△ＡＢＣ 中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ 的对边分别为 ａ，ｂ，ｃ，若 ｆ（Ａ） ＝ ３２ ，ａ ＝ １，ｂ ＝ ２ 求 ｃ
１８ （本小题满分 １２ 分）为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统
计部门随机调查了 ２００ 户居民去年一年的月均用电量（单位：ｋＷ·ｈ），并将得到数据按如
下方式分为 ９ 组：［０，４０），［４０，８０），…，［３２０，３６０］，绘制得到如下的频率分布直方图：
（１）试估计抽查样本中用电量在［１６０，２００）的用户数量；
（２）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为［０，４０）和［３２０，３６０］的
两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率
—高中二年级质量监测数学试卷 第 ３ 页 （共 ４ 页）—
１９ （本小题满分 １２ 分）已知抛物线 ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ ＞ ０） １上的点 ，ｙ
è ８ ０
÷到坐标原点的距离等于该
点到准线的距离
（１）求抛物线的标准方程；
（２）若 Ａ，Ｂ 为抛物线上异于原点 Ｏ 的两点，直线 ＯＡ，ＯＢ 的斜率分别为 ｋ１，ｋ２，若直线 ＡＢ
过定点（０，２） 证明：ｋ１ ＋ ｋ２ 为定值
２０ （本小题满分 １２ 分） 如图，在四棱锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中，
ＰＤ⊥底面ＡＢＣＤ， ＡＢ∥ＤＣ，ＣＤ ＝ ２ＡＢ ＝ ２ＡＤ ＝ ＰＤ ＝ ２，
ＡＤ⊥ＣＤ，Ｅ 为棱 ＰＤ 上一点
（１）求证：ＣＤ⊥ＡＥ；
（２）若 ＡＥ∥平面 ＰＢＣ，求 ＥＢ 与平面 ＰＢＣ 所成角的正弦值
２１ （ ２本小题满分 １２ 分）已知函数 ｆ（ｘ） ＝ ｌｎ ｘ ＋ １ ÷
èｘ － １
＋ｍ 为奇函数，ｇ（ｘ） ＝ － ２
（１）求实数 ｍ 的值；
（２）若 ｅｆ（２ｘ） － ｎ≥ｇ（ｘ）恒成立，记实数 ｎ 的取值范围为 Ａ，问是否存在不同的 ｘ１，ｘ２∈Ａ，
使得ｇ（ｘ１） ＋ ｘ２ ＝ ｇ（ｘ２） ＋ ｘ１？ 若存在，请举例，若不存在，请说明理由
２２ （本小题满分 １２ 分）如图，已知点 Ｆ１（ － １，０），Ｆ２（１，０），以线段 Ｆ２Ｇ 为直径的圆内切于
圆 Ｏ∶ ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４
（１）证明 ＧＦ１ ＋ ＧＦ２ 为定值，并写出点 Ｇ 的轨迹 Ｅ 的方程；
→
（２）设点 Ａ，Ｂ，Ｃ 是曲线 Ｅ 上的不同三点， Ｏ→且 Ａ ＋ Ｏ→Ｂ ＋ Ｏ→Ｃ ＝ ０，
求△ＡＯＢ 的面积
—高中二年级质量监测数学试卷 第 ４ 页 （共 ４ 页）—2021─2022年度衡阳市高中二年级质量检测数学卷
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B A B D B C BCD AC BC BCD
1．【答案】B
【解析】因为则，∴.
2．【答案】A
【解析】由得到：．直线恒过定点．
3．【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 ，故焦点到准线的距离为1.
4．【答案】A
【解析】因为，且，所以，即，解得
5．【答案】B
【解析】，，排除A，C;函数定义域取不到0，排除D.
6．【答案】D
【解析】易知，，，由双曲线定义：且可得或，由于，所以.
7．【答案】B
【解析】设圆心到直线AB的距离为，由于圆的半径为1，由垂径定理得：.
8．【答案】C
【解析】易知：椭圆中，所以，设
所以，
，当时，取得最大值为8（也可转化为焦半径求解）
9．【答案】BCD
【解析】因为，所以，所以焦点在轴上，故A错误；
又因为焦距为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以离心率，故C正确；
因为，短轴长，故D正确；
10．【答案】AC
【解析】不妨设正方体棱长为2，按如图所示建立空间直角坐标系：，，，，，
，易求平面的法向量，
因为，所以A正确；
，，因为，所以B错误，
，，因为，所以C正确，
，平面的法向量，显然与不共线，所以D错误.
11．【答案】BC
【解析】由可得：，
可得曲线是以为圆心，为半径的圆在轴的非左侧的半圆，
直线的斜率为，考查直线与半圆有一个公共点的临界条件：
当直线经过点时，有，可得：，
当直线经过点时，由，可得：，
直线与圆相切时，圆心到直线的距离，
解得：或（舍），
综上所述：.
12．【答案】BCD
【解析】对A：椭圆焦点位置不确定，可能在轴上也可能在轴上，应有两个值，故选项A错误；
对B：由题意，则，所以，则的周长为，所以选项B正确；
对C：由题意，，，
因为双曲线为黄金双曲线，则，所以，所以，
所以，，，
所以，所以，所以选项C正确；
对D：设，，，，，，则，两式相减得，
是的中点，且，，，
从而，所以，所以选项D正确；
13．【答案】1
【解析】因为，所以．
所以，故．
14．【答案】
【解析】易知;解之得：，的定义域为
15．【答案】2
【解析】由题意，设等轴双曲线方程为，，
∵∴直线与的斜率之积是
∵直线的斜率为，∴直线的斜率为2．
16．【答案】
【解析】由于=，
令，则，该方程表示以为圆心，以1为半径的半圆，
依题表示该半圆上的点到直线的距离，转化为圆心到直线之距，
由数形结合可知的最小值是，故的最小值为
17.【解析】（1）函数
令，得，
的单调递增区间为，，；---------------------------------------------------5分
（2）由，即，
，，得
由余弦定理，得，解得.-----------------------------------------------10分
18.【解析】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01.因此，样本落在的频率为：
样本中用电量在的用户数为.---------------------------------------------------6分
（2）由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，则从6户中任取2户的样本空间为：
，共有15个样本点.设事件“走访对象来自不同分组”，
则，
所以，从而.---------------------------------------------------------------------12分
19.【解析】（1）点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，
点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，
，解得，即抛物线方程为；----------------------------------------------------------5分
（2）设，则，设直线的方程为：，
联立方程得，则，
.------------------------------------------------------------------------------12分
20.【解析】（1）因为底面底面，
所以．又，
故平面．又平面，所以．--------------------------------------5分
（2）如图建立空间直角坐标系，所以，，，，设，则，
设平面的法向量为
则，令，得，，
所以，
又因为：，且，
所以解得：
所以，
记与平面所成角为，所以-----------------------------------12分
21.【解析】解：（1）为奇函数，，
，在定义域内恒成立，
即，在定义域内恒成立，
整理，得在定义域内恒成立，，解得．
当时，的定义域为，关于原点对称，
综上，；--------------------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）恒成立，则，即，
即在上恒成立，所以，令，
则，又（当且仅当时等号成立），
，-----------------------------------------------------------------------------9分
构造函数，
任取且，
则=
易知，，
，在上单调递减，
所以不存在不同的，，使得．-----------------------------------12分
22.【解析】（1）记线段的中点为H，由于线段的中点为O，连接OH，则，，
设的半径为r，与内切于Q，连接HQ，则O，H，Q三点共线，如图，，
又，根据椭圆的定义可得E的方程为.-------------5分
（2）因为A，B，C是椭圆上的不同三点，且.
①当直线AB的斜率存在时，
设，与椭圆方程联立，消去y，整理得.
设，，则，，
所以.
因为，
所以，所以.
又点C在椭圆上，所以，
整理得：，又，所以.
此时，
于是==
====
②当直线AB的斜率不存在时，可得：，，；或，，；或，，；或，，，此时.，
综上，的面积为.-------------------------------------------------------------------------------------------12分
第 1 页 共 18 页
