4.8 图形的位似
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
一、教学目标
1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系．
2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.
3. 了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的异同，并能在复杂图形中找出来这些变换.
二、教学重难点
【重点】能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.
【难点】理解位似图形的坐标变化规律.
三、教学方法
引导法，讲授法
四、教学过程
（一）复习引入
1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ，这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ，
对应线段 .
2. 如何判断两个图形是不是位似图形
3. 画位似图形的一般步骤有哪些？
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
（二）新课讲授
1. 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化.
2. △ABC三个顶点坐标分别为A (2，3)，B (2，1)，C (5，2)，以点O为位似中心，相似比为 2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化.
探究点一：平面直角坐标系中的位似变换
问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是
何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
归纳：
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k．
3. 当k＞1 时，图形扩大为原来的k倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的k倍．
如图，在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0).以原点O为位似中心，画出一个三角形使它与△ABO的相似比为 3 : 2.
解析：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点A的对应点A′ 的坐标为 ，即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′B′O 就是要画的一个图形.
图4.8.2-1
探究点二：平面直角坐标系中的图形变换
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
练一练： 将图中的△ABC做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
(1) 沿y轴正向平移3个单位长度；
(2) 关于x轴对称；
(3) 以C为位似中心，将△ABC放大2倍；
(4) 以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°．
图4.8.2-2
（三）课堂练习
1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( )
A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
2. 如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为（ ）
A．(4，－3) B．(4，－2)
C．(4，－4) D．(4，－6)
3. 如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 .
4. 原点O是△ABC和△A′B′C′ 的位似中心，点 A (1，0) 与点A′ (－2，0) 是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是_________.
5. 如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是___________________．
6. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)，C (5，－2)，以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．
7. 在 13×13 的网格图中，已知△ABC和点M (1，2).
(1) 以点M为位似中心，位似比为 2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
(2) 写出△A′B′C′的各顶点坐标.
8.如图，点A的坐标为 (3，4)，点O的坐标为 (0，0)，点B的坐标为 (4，0).
(1) 将△AOB沿x轴向左平移1个单位长度后得△A1O1B1，
则点A1的坐标为 ，△A1O1B1的面积为 ；
(2) 将△AOB绕原点旋转 180°后得 △A2O2B2，则点A2的坐标为 ；
(3) 将△AOB沿x轴翻折后得 △A3O3B3，则点A3的坐标为 ；
(4) 以O为位似中心，按比例尺 1 : 2 将△AOB放大后得 △A4O4B4，若点B在x轴负半轴上，则点 A4的坐标为 ，△A4O4B4的面积为 .
（四）课堂小结
平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
（五）作业布置
完成教材习题
五、板书设计4.8 图形的位似
第1课时 位似多边形及其性质
一、教学目标
1. 掌握位似图形的概念、性质和画法.
2. 掌握位似与相似的联系与区别.
二、教学重难点
【重点】位似图形的概念、性质和画法.
【难点】位似与相似的联系与区别.
三、教学方法
讲授法，引导法，练习法
四、教学过程
（一）新课导入
如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？连接图片上对应的点，你有什么发现？
（二）新课讲授
探究点一：位似图形的概念
问题1：下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？
问题2：下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连接的直线相交于点O.
有什么关系？
概念学习： 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都过同一点O,且
OP =k· OP （k≠0）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
其中k为相似多边形的相似比.
探究点二：位似图形的性质
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得到了什么？
归纳：1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等．
2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比）
3. 对应线段平行或者在一条直线上．
探究点三：位似多边形的画法
如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2.
解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OD = 2OA,OE =2OB,OF =2OC;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.
想一想：你还有其他的画法吗？
画法二：△ABC与△DEF异侧
解：画射线OA,OB,OC;沿着射线OA,OB,OC反方向上分别取点D,E,F,
OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;
顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.
把四边形 ABCD 缩小到原来的.
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上
取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．
想一想：此题目还可以如何画出图形？
作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD的
反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．
（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）
（三）课堂练习
1. 选出下面不同于其他三组的图形 ( )
2. 如图，正五边形 FGHMN与正五边形ABCDE是位似图形，若AB : FG = 2 : 3，则下列结论正确的是( )
A. 2 DE = 3 MN B. 3 DE = 2 MN
C. 3∠A = 2∠F D. 2∠A = 3∠F
3. 下列说法：
①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与 △A′B′C′也是位似的，且位似比相等. 其中正确的有_________.
4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2 : 3，已知 AB＝4，则DE的长为_____．
5.已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为1:2.
2.如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且 AB∥CD∥EF，
(1) 图中有哪几对位似三角形 选其中一对加以证明；
(2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长.
（四）课堂小结
通过本节课的学习，大家学会了什么？
（五）作业布置
完成教材习题
五、板书设计
