2021-2022学年苏科版九年级数学上册1.2一元二次方程的解法 同步训练（Word版含答案）

九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》
一．选择题
1．用配方法解方程3x2﹣6x﹣1＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
2．方程x2＝4的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2
3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣9＝0，可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝9 B．（x﹣2）2＝13 C．（x+2）2＝9 D．（x+2）2＝13
4．用配方法解方程3x2﹣6x﹣1＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
5．若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≠0 C．m≤且m≠0 D．m＜2
6．已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）﹣m＝0（m＞0）的两根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（　　）
A．0＜α＜β＜2 B．0＜α＜2＜β C．α＜0＜β＜2 D．α＜0且β＞2
7．已知菱形ABCD的边长为方程x2﹣7x+10＝0的一个根，有一条对角线为5，则这个菱形的周长为（　　）
A．8 B．20 C．8或20 D．10
8．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（　　）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
9．实数a、b（a≠b）满足a2﹣3a﹣1＝0，b2﹣3b﹣1＝0，则（　　）
A．a+b＝3，a2+2b＞0 B．a+b＝3，a2+2b＜0
C．a+b＝﹣3，a2+2b＞0 D．a+b＝﹣3，a2+2b＜0
二．填空题
10．若关于x的一元二次方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围为　 　．
11．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　 　．
12．填空：x2+　 　+16＝（x+　 　）2．
13．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（x+m+1）2+b＝0的解是　 　．
14．如图平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与x轴交于点A点，与y轴交于B点，P（a，b）是这条直线上一点，且a、b（a＜b）是方程x2﹣6x+8＝0的两根．Q是x轴上一动点，N是坐标平面内一点，以点P、B、Q、N四点为顶点的四边形恰好使矩形，则点N的坐标为　 　或　 　．
15．方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是　 　．
三．解答题
16．解方程：（1）x2+2x＝2 （2）4（3x﹣2）（x+1）＝3x+3
17．用因式分解法解方程：
（1）；
（2）．
18．用直接开平方法解下列方程：
（1）；
（2）．
19．利用换元法解下列方程：
（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=0；
（2）x2﹣（1+2）x﹣3+=0．
20．解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．
参考答案
一．选择题
1．解：3x2﹣6x﹣1＝0，
x2﹣2x﹣＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝．
故选：D．
．解：∵x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2，
故选：D．
3．解：∵x2﹣4x﹣9＝0，
∴x2﹣4x＝9，
则x2﹣4x+4＝9+4，即（x﹣2）2＝13，
故选：B．
4．解：3x2﹣6x﹣1＝0，
x2﹣2x﹣＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝．
故选：D．
5．解：因为方程是一元二次方程，
所以m≠0，
因为方程有实数根，
所以△＝16﹣12m≥0，
所以m≤
所以m≤且m≠0．
故选：C．
6．解：设y＝x（x﹣2），
令m＝0，
则x（x﹣2）＝0，
解得：x＝0或x＝2，
则y＝x（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（0，0），（2，0），
∵m＞0，
∴y＞0，结合图象可得：x轴上方部分符合要求，
∴α＜0＜2＜β，即α＜0且β＞2．
故选：D．
7．解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣7x+10＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得：x＝2或x＝5，
分两种情况：
①当AB＝AD＝2时，2+2＝4，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝5时，5+5＞2，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．
故选：B．
8．解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
9．解：∵a2﹣3a﹣1＝0，b2﹣3b﹣1＝0，
∴a、b可看作方程x2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝3，
∵a＝3﹣b，
∴a2+2b＝（3﹣b）2+2b＝b2﹣4b+9＝（b﹣2）2+5＞0，
故选：A．
二．填空题
10．解：∵关于x的一元二次方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≥﹣且m≠0．
故答案为：m≥﹣且m≠0．
11．解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣7＝9，
∴c＝3
12．解：x2+8x+16＝（x+4）2．
故答案是：8x；4．
13．解：把方程a（x+m+1）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
所以x+1＝﹣3，x+1＝2，
所以x1＝﹣4，x2＝1．
故答案为x1＝﹣4，x2＝1．
14．解：∵方程x2﹣6x+8＝0的两根是x＝2或x＝4，
∴P（2，4），
∵P（2，4）是直线y＝kx+1上，
∴4＝2k+1，
解得k＝，
∴直线的解析式为y＝x+1，
∴A（﹣，0），B（0，1），
当BP是矩形的边时，有两种情形，
如图1，四边形BQNP是矩形时，
∴OQ＝，
∴Q（，0）．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴N（2+，4﹣1），即N（，3）
如图2，四边形PDNQ是矩形时，
作PM⊥x轴于M，作BC∥x轴，交PM于C，
∵P（2，4），B（0，1），
∴C（2，1），
∴BC＝2，PM＝4，PC＝3，
∴MQ＝6，
∴Q（8，0），
根据矩形的性质可知，将点B向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．
②当BP是对角线时，设Q（x，0），则QB2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PB2＝13，
∵Q是直角顶点，
∴QB2+QP2＝PB2，
∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，
整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
15．解：∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴方程a（x+m+2）2+b＝0的两个解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：x3＝﹣4，x4＝﹣1．
三．解答题
16．解：（1）x2+2x＝2，
x2+2x+1＝2+1，
（x+1）2＝3，
x+1＝±，
解得x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+；
（2）4（3x﹣2）（x+1）＝3x+3，
4（3x﹣2）（x+1）﹣3（x+1）＝0，
（x+1）（12x﹣8﹣3）＝0，
（x+1）（12x﹣11）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝．
17．（1）；（2）
【解析】解：（1）因式分解，得，
于是，得或，
所以，原方程的根为；
（2）去括号，得，
移项、合并同类项，得，
因式分解，得，
所以，原方程的根为．
18．（1）无实数根；（2），．
【解析】（1）移项、合并同类项，得，
两边同除以4，得．
所以原方程没有实数根．
（2）原方程可化为，
移项、合并同类项，得，
两边开平方，得．
所以，．
19．(1) x1=5, x2=﹣15;(2) x1=3+ ，x2=﹣2+
【解析】（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=0；
设y=x+2，则原方程可变形为：
y2+6y﹣91=0，
解得：y1=7，y2=﹣13，
当y1=7时，x+2=7，
x1=5；
当y2=﹣13时，x+2=﹣13，
x2=﹣15；
（2）原方程可化为x2﹣x﹣2x﹣3+=0，
x2﹣2x+3﹣x++6=0，
即(x﹣)2﹣(x﹣)﹣6＝0，
设y= x﹣，
则y2﹣y﹣6=0，
(y﹣3)(y+2)=0，
解得：y1=3，y2=﹣2；
当y1=3，x﹣=3，
得x1=3+；
当y2=﹣2，x﹣=﹣2，
得x2=﹣2+.
20．解：设x2+2x＝m，
则m2﹣2m﹣3＝0，
∴（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m﹣3＝0或m+1＝0，
解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
当m＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
解得x3＝x4＝﹣1；
综上，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1．