2021-2022学年苏科版九年级数学上册1.3一元二次方程的根与系数的关系 同步优生辅导训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程的根与系数的关系》
1．已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2+x1x22的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
2.一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是(　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
4.已知a是实数，则一元二次方程x2+ax﹣4=0的根的情况是（　　 ）
　 A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
　 C.有两个不相等的实数根 D.根据a的值来确定
5．关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．当k＝时，方程的两根互为相反数
B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则k≠0且k≤
D．若方程有实数根，则k≤
6．一元二次方程的两个根为，则的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
7．若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1 x2的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
8．一元二次方程的两根为、，则的值是（ ）
A．4 B．-4 C．3 D．-3
9．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2
10．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2．则x12+2x2﹣2x1x2的值为　 　．
11．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
12．若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+2＝0的一个根是﹣1，则另一个根是　 　．
13．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　 　．
14．已知α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实根，则α3+8β+6的值为　 　．
15．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　 　．
16．设a，b分别是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是　 　．
17．α是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，α+β＝2，则β2﹣2β的值是　 　．
18．已知方程x2+5x﹣6＝0的解是x1＝1，x2＝﹣6，则方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0的解是　 　．
19．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．
21．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；
①求代数式﹣4x1x2的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
参考答案
1．解：由题意可知：x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴原式＝x1x2（x1+x2）
＝1×3
＝3，
故选：C．
2.D.
3.B.
4.C．
5．解：若k＝0，则此方程为﹣x+1＝0，所以方程有实数根为x＝1，则B错误；
若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2＝﹣4k+1≥0，
∴k≤且k≠0；
综上所述k的取值范围是k≤．
故A错误，C错误，D正确．
故选：D．
6．D
【解析】为一元二次方程的根，
，
．
根据题意得，，
．
故选：D．
7．C
【解析】根据题意得x1+x2=3，x1x2=﹣2，
所以x1+x2﹣x1 x2=3﹣(﹣2)=5．
故选：C．
8．C
【解析】解：．
故选C．
9．解：由题意可知：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，
∵x1+x2﹣x1x2＜﹣1，
∴﹣2﹣k﹣1＜﹣1，
∴k＞﹣2，
∵Δ＝4﹣4（k+1）≥0，
∴k≤0，
∴﹣2＜k≤0，
故选：C．
10．解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2．
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，x12﹣2x1﹣1＝0，
∴x12＝2x1+1，
∴x12+2x2﹣2x1x2＝2x1+1+2x2﹣2x1x2＝2×2+1﹣2×（﹣1）＝7，
故答案为：7．
11．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
12．解：设方程的另一个根是t，
根据题意得﹣1 t＝2，
解得t＝﹣2，
即方程的另一个根是﹣2．
故答案为﹣2．
13．解：根据题意得2×3＝c，
1+5＝﹣b，
解得b＝﹣6，c＝6，
所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．
故答案为x2﹣6x+6＝0．
14．解：∵α方程x2﹣2x﹣4＝0的实根，
∴α2﹣2α﹣4＝0，即α2＝2α+4，
∴α3＝2α2+4α＝2（2α+4）+4α＝8α+8，
∴原式＝8α+8+8β+6
＝8（α+β）+14，
∵α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实根，
∴α+β＝2，
∴原式＝8×2+14＝30．
故答案为30．
15．解：设矩形的长和宽分别为a、b，
∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，
∴a+b＝﹣，ab＝＝4，
即矩形的面积是4，
故答案为：4．
16．解：a，b分别是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2022＝0，
∴a2+a＝2022，
故a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2022﹣1＝2021，
故答案为2021．
17．解：设一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的另一个根是x2，
∴α+x2＝2，
∵α+β＝2，
∴方程的另一个根是β，
∴β2﹣2β﹣4＝0，
∴β2﹣2β＝4，
故答案为4．
18．解：把方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣6，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣．
故答案为x1＝﹣1，x2＝﹣．
19．解：（1）方程化为x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，
根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）＝﹣8m+24≥0，
解得m≤3；
（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣6，x1x2＝m2﹣4m+3，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，
∴x1x2﹣（x1+x2）2+2x1x2＝﹣7，
即3x1x2﹣（x1+x2）2＝﹣7，
∴3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2＝﹣7，
整理得m2﹣12m+20＝0，解得m1＝2，m2＝10，
∵m≤3，
∴m＝10应舍去，
∴m＝2．
20．解：（i）∵方程有实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得：k≤；
（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵x1，x2是方程的解，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）
＝﹣（x1+2）（x2+2）
＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]
＝﹣（1﹣6+4）
＝1．
21．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
22．解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，
∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，
∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24．
②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或x＝6，
三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，
三角形边长为2，2，6时不存在．
当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，
解得x＝6或x＝10．
三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，
三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．
∴等腰三角形周长为14或22或26．