2021-2022学年九年级数学苏科版上册1.3一元二次方程根与系数的关系 自主训练（Word版含答案）

2021年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程根与系数的关系》
1．方程（x+1）2＝4的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
2．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则（　　　）
A．3 B． C． D．
3．方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ）
A．-2或3 B．3 C．-2 D．-3或2
4．已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根x1、x2，则x12﹣4x1+x1x2=（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
5．下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（　　）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．有且只有一个实数根
6．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣7 C．1 D．7
7．已知关于x的方程x2﹣6x+k﹣4＝0的两根分别是x1，x2，且满足+＝2，则k的值是（　　）A．3 B．﹣3 C．7 D．1
8．关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0，下列说法中正确的是（　　）
A．当a＝时，方程的两根互为相反数
B．当a＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则a≠0且a≤
D．若方程有实数根，则a≤
9．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0的根．则三角形的周长（　　）
A．19 B．11或19 C．13 D．11
10．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　）
A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝1
11．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　 　．
12．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　 　．
13．已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则+的值是　 　．
14．解下列方程．
（1）x2+2x﹣35＝0；
（2）4x（2x﹣1）＝1﹣2x．
15．解方程：
（1）x2﹣2x＝4；
（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
16．用恰当的方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣2＝0；
（2）4x2﹣25＝0；
（3）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0；
（4）（x﹣1）（x﹣3）＝8．
17．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
19．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．
20．基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
21．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；
①求代数式﹣4x1x2的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
参考答案
1．解：（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
则x+1＝2，x+1＝﹣2，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
故选：A．
2．B
【解析】根据题意得，，
∴．
故选：B．
3．C
【解析】解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，
∴m+6=m2，
解得m=3或m=-2，
∵方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0
解得m=6或m=-2
∴m=-2．
故选：C．
4．A
【解析】解：∵方程x2﹣4x+3=0的两根x1、x2，
∴x1x2=3、x12﹣4x1+3=0即x12﹣4x1=﹣3，
则原式=﹣3+3=0，
故选：A．
5．解：∵△＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2，
而a，b是不为0的常数，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝3，
所以x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝3﹣4＝﹣1．
故选：A．
7．解：∵x2﹣6x+k﹣4＝0的两个解分别为x1、x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝k﹣4，
+＝＝＝2，
解得：k＝7，
经检验，k＝7符合题意，
故选：C．
8．解：当a＝时，方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0没有实数根，故A选项不符合题意，
当a＝0时，方程的根是x＝1，故B选项不符合题意，
若方程有实数根，则a≤，故C选项不符合题意，
故选：D．
9．解：∵x2﹣12x+20＝0，
∴x＝2或x＝10，
当x＝2时，
∵2+4＞5，
∴能组成三角形，
∴三角形的周长为2+4+5＝11，
当x＝10时，
∵4+5＜10，
∴不能组成三角形，
故选：D．
10．解：∵x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（x﹣1）＝0，
则x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得x＝5或x＝1，
故选：D．
11．解：根据题意得2×3＝c，
1+5＝﹣b，
解得b＝﹣6，c＝6，
所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．
故答案为x2﹣6x+6＝0．
12．解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣7＝9，
∴c＝3
13．解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a、b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴+＝＝＝7．
故答案为7．
14．解：（1）x2+2x﹣35＝0，
（x+7）（x﹣5）＝0，
x+7＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣7，x2＝5．
（2）4x（2x﹣1）＝1﹣2x，
4x（2x﹣1）+（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（4x+1）＝0，
（2x﹣1）＝0或（4x+1）＝0，
，
15．解：（1）x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
开方得：x﹣1＝，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
（x+1）（x+1﹣3）＝0，
x+1＝0，x+1﹣3＝0，
x1＝﹣1，x2＝2．
16．解：（1）∵a＝1，b＝4，c＝﹣2，
∴△＝42﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
则x＝＝﹣2±，
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）∵4x2＝25，
∴x2＝，
解得x1＝，x2＝﹣；
（3）令2x+1＝a，
则a2+4a+4＝0，
∴（a+2）2＝0，
解得a＝﹣2，
∴2x+1＝﹣2，
解得x1＝x2＝﹣1.5；
（4）方程整理为一般式，得：x2﹣4x﹣5＝0，
解得：（x﹣5）（x+1）＝0，
则x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1．
17．解：（1）方程化为x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，
根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）＝﹣8m+24≥0，
解得m≤3；
（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣6，x1x2＝m2﹣4m+3，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，
∴x1x2﹣（x1+x2）2+2x1x2＝﹣7，
即3x1x2﹣（x1+x2）2＝﹣7，
∴3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2＝﹣7，
整理得m2﹣12m+20＝0，解得m1＝2，m2＝10，
∵m≤3，
∴m＝10应舍去，
∴m＝2．
18．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
19．解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，
所以p＝1，q＝﹣8；
（2）根据m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，
所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．
20．解：（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0
∴x＝0或3x﹣1＝0
解得：x1＝0，x2＝；
（2）t＝m2+n2（t≥0），则由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．
整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．
所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．
即m2+n2的值是3．
21．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
22．解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，
∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，
∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24．
②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或x＝6，
三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，
三角形边长为2，2，6时不存在．
当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，
解得x＝6或x＝10．
三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，
三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．
∴等腰三角形周长为14或22或26．