肥东凯悦中学 2021-2022 学年度第一学期高二年级第三次自主检测
数学试卷（参考答案）
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D A B D B A C A D B
x y 1 x 0
1．B 【详解】联立
2x y 1 0
,解得 y 1 ,可得交点（0，1）故 A∩B={（0，1）} 故选：B．
3
2．C 【详解】设直线的方程为 y kx 3,又直线经过点 4,0 ，所以0 4k 3, k ，
4
y 3 x 3, x y所以直线的方程为 所以直线方程为 1 0 .故选：C
4 4 3
3 ．D 【详解】 向量 a (1，2，1)， b (1，1， 0)， ka b (k 1， 2k 1， k )，
2b (ka b )， b (ka b) k 1 2k 1 0，解得 k ．故选：D．
3
4．A 【详解】依题意当 a 1时， l1 : 2x 4y 3 0， l2 : x 5 0，显然 l1与 l2不垂直；
当 a 1时，直线 l1 : 2ax 4y 3 0，所以斜率 k
a
1 ，2
1
直线 l2 : x (a 1)
2 y 5 0，所以斜率 k2 (a 1)2 ，
因为直线 l1 : 2ax 4y 3 0与直线 l2 : x (a 1)2 y 5 0垂直，
a 1 1
所以 k1k2 1，即 2 12 (a a 1) ，解得 或a 2，2
1
所以“ a ”是“直线 l1 : 2ax 4y 3 0与直线 l2 : x (a 1)2 y 5 0垂直”的充分不必要条件．故选：A．2
5．B 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为 x2 8y，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为 0,2 . 故选：B.
6．D 【详解】因为方程 x2 y2 2x 4 y 5k 0表示圆，
所以D2 E2 4F 4 16 20k 0，解得 k 1 . 故选：D.
2 2
7．B x y【详解】椭圆 1，则 a2 25,b2 9， F1PF 60
25 9 2
由焦点三角形面积公式得： 2 ∠ 1 2 3 故选：B.1 2 = = 9 × = 3 32 3
1
8．C 【详解】
2x y 7 0 x 32m 1 x m 1 y 7m 4 0 m(2x y 7) x y 4 x y 4 0 ， y 1
32l (3,1) 1
2 7
所以直线 恒过 ，因为 1，所以点 (3,1)在椭圆内部，
18 12 12
因此直线与椭圆的位置关系是相交，故选：C
9．A 【详解】连接OM ,ON ，
1
则MN ON OM OA OB OM ，
2
而OM OC CM OC
1
CB OC 1 OB OC 1OB 2 OC，3 3 3 3
1 1 2 1 1 2 所以MN OA OB OB OC OA OB OC，故选：A.2 3 3 2 6 3
10 2 2．A【详解】由圆C1 : x 1 y 1 4可得圆心C1 1,1 ，半径 r = 2
2
因为圆C1 : x 1 y 1
2 4上有三个点到直线 l : y x m的距离等于 1，
m
所以圆心C1 1,1 到直线 l : y x m的距离 d 12 2 ，可得：m 2，故选：A.1 1
11．D 【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为 bx ay 0， F2 c,0
PF bc2 b， OF c
2 2
， OP a，因为 PF 13 PF 2
b2 a2 1 1 2
，所以 PF1 13 PF2 13b ，
2 2 2
在 OPF 中， cos a POF OPF a c PF， 中， cos POF 12 2 1 ，c 1 c
2
POF POF cos POF cos POF 0 a c
2 2 PF
因为 ，所以 ，所以 1
a
1 2 1 2 0
c c
PF 2 3a2 c2 2 2 2 2 c 4可得 1 ，所以13c 13a
2 3
3a c ，所以 ，所以 e ，故选：D
a 3 3
12．B 【详解】如图，由已知可设 F2B n，则 AF2 2n , BF1 AB 3n
由椭圆的定义有 2a BF1 BF2 4n , AF1 2a AF2 2n．
4n2在 9n
2 9n2 1
△AF1B中，由余弦定理推论得 cos F1AB ．2 2n 3n 3
在△AF1F2中，由余弦定理得 4n
2 4n2 2 2n 2n 1 4，解得 n 3 ．
3 2
2
x2 y2
2a 4n 2 3 , a 3 , b 2 a 2 c 2 3 1 2 , 所求椭圆方程为 1，故选 B．
3 2
二、填空题
13． x 3y 0或 x y 4 0
【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为 0，因为直线过点 P 3,1 ，所以可设直线方程为
y 1 k x 3 k 0 ，即为 kx y 1 3k 0，令 x 0可得 y 1 3k；令 y 0可得 x 3 1 ，
k
1
因为直线在两轴上的截距相等，所以3 1 3k k 0 1，解得 k 1或 ，代入可得直线方程
k 3
为 x y 4 0或 x 3y 0 . 故答案为： x 3y 0或 x y 4 0 .
14．5或 7
【详解】当椭圆的焦点在 x轴时， a2 9，b2 m 3， c2 a2 b2 6 m，
因为焦距 2c 2，所以6 m 1，解得：m 5；
当椭圆的焦点在 y轴时， a2 m 3，b2 9， c2 a2 b2 m 6，
因为焦距 2c 2，所以m 6 1，解得：m 7；
故答案为：5或 7
15．4
【详解】设 P x0 , y0 ， p 2，所以 | PF | x0 1 8，解得 x0 7，所以 PF的中点 M横坐标为
1 7
4，即 PF 的中点 M到 y轴的距离为4．故答案为： 4
2
16．2 7
【详解】根据题意，曲线 C：（x﹣5）2+y2＝4，是以（5，0）为圆心，2为半径的圆，
过点 P的直线与圆 C相切于点 M，则|PM| | PC |2 4，则|PC|的长度最小时，|PM|取得最小值，
5 0 3
而|PC|的最小值为 C到直线 l1的距离 d 4 2，
1 1
则|PM|的最小值为 32 4 2 7；故答案为：2 7 .
三、解答题
17．（1） 2x y 0 ；（2） x 2y 5 0
【详解】
（1）设直线方程为 2x y m 0，过点M (1, 2)，可得 2 2 m 0, m 0，直线方程为 2x y 0
（2）设直线方程为 x 2y n 0，过点M (1, 2)，可得1+4+n 0, n 5，直线方程为 x 2y 5 0
3
18．（1）3x 4y 21 0或 x 3（2）相交， 2 3
【详解】（1）解：显然，直线斜率不存在时，直线 x 3满足题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为： y 3 k x 3 ，即 kx y 3k 3 0，
k 2 3k 3 1 2k
圆心 1,2 到直线的距离 d ，
k 2 1 k 2 1
1 2k
满足题意时有： 2
3
，解得： k ，
k 2 1 4
3
则此时的直线方程为： y 3 x 3 ，即3x 4y 21 0，
4
综上可得，直线方程为：3x 4y 21 0或 x 3 .
3 8 16 5
（2）解：圆心到直线的距离： d 1 2，
9 16 5
则直线与圆相交，此时直线被圆截得的弦长为： 2 22 12 2 3 .
19．（1） 0,1 ；（2） 1,0 1,2 .
【详解】（1）当命题 p为真命题时，可得 m 6 2m 0，解得0 m 2；
当命题q为真命题时，可得 m 1 m 1 < 0，解得 1 m 1，
因为命题 p q为真命题，所以命题 p，q均为真命题，
0 m 2
即 ，解得0 m 11 m 1 ，所以实数
m的取值范围是 0,1 .
（2）由命题 p q为真命题， p q为假命题，可得命题 p与q一真一假，
当 p真q
0 m 2
假时，可得 ，解得1 m 2m 1 m 1 ； 或
当 p
1 m 1
假q真时，可得
m 0或m 2
，解得 1 m 0，
所以实数m的取值范围是 1,0 1,2 .
20．（1） y2 8x；（2） 4x y 7 0 .
【详解】（1）设动点 P（x, y），因为 MN MP MN NP 0，
4
所 4（x 2）2 y2 （4 x 2） 0，
化简得 y2 8x．
所以曲线 C的方程为 y2 8x .
（2）设 A（x1, y1）,B（x2 , y2），
因为直线 l交曲线 C与 A,B两点，
y21 8x 1所以 2 ，
y2 8x2
2 2
两式相减得： y1 y2 8 x1 x2 ，
即 y1 y2 y1 y2 8 x1 x2 又 y1 y2 2，
y1 y2 8
所以 4x x 2 ，1 2
即 k 4，
所以直线 l的方程为 4x y 7 0 .
2
21．（1）证明见解析；（2）存在； PH PC．
5
【详解】（1）因为 PA 平面 ABCD，所以 PA AB，又 AD AB，AD PA A，所以 AB 平
面 PAD，又 AB//CD，所以CD 面 PAD， AG 面PAD，CD AG．
又PA AD，G为 PD的中点，所以 AG PD，而 PD DC D，所以 AG 平面 PCD．
（2）以 A为坐标原点， AD, AB, AP所在方向分别为 x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
则 A 0,0,0 ， B 0, 4,0 ，C 4,2,0 ，D 4,0,0 ，P 0,0,4 ， F 0,2,2 ，G 2,0,2 ．
所以 PC 4,2, 4 ，设 PH k PC（0 k 1），所以 PH 4k, 2k, 4k ，则H 4k, 2k, 4k 4 ，
5
所以GH 4k 2,2k, 4k 2 ，FG 2, 2,0 ，
设平面GHF 的法向量为 n x, y, z ，则 n GH 0， n FG 0，
4k 2 x 2ky 4k 2 z 0
即 ，令 x 2k 1，则2x 2y 0 n 2k 1,2k 1,3k 1 ，
由（1）可知 AG 2,0,2 为平面 PCD的一个法向量，若平面GHF 平面 PCD，则 n AG 0，
2
即 2k 1 3k 1 0，解得 k ．
5
2
即 PH PC时平面GHF 平面 PCD .
5
2 2
22 x y．（1） 1；（2）存在定点Q 4,0 ，使得 MQO NQO .
8 4
【详解】解：（1）设动圆 P的半径为 r，由题意可知 1 = + 2, 2 = 3 2 ，
则 1 + 2 = 4 2 > 1 2 = 4，根据椭圆的定义可知曲线 C是以C1,C2为焦点，长轴长为
4 2的椭圆，其中 2a 4 2,2c 4, a 2 2,c 2, b2 a2 c2 4
x2 y2
所以曲线 C的方程为： 1 .
8 4
（2）假设定点Q存在，设Q m,0 ,M x1, y1 ,N x2 , y2 ，直线 l的方程为 x ty 2 .
MQO NQO, 直线MQ与直线 NQ的斜率互为相反数，即 kMQ kNQ 0 .
x ty 2
4t
由 x2 y2 2 2，得 t 2 y 4ty 4 0, y1 y2 2 , y y 4 .
1 t 2
1 2 t2 2
8 4
y1 0 y1 y2 0 y2
又 kMQ ,kNQ x1 m ty1 2 m x2 m ty
，
2 2 m
y1 y 2 0 2ty y 2 m y y 0
ty1 2 m ty
2 2 m
，整理得 1 2 1 2 ，
2t 4 2 4 t 2 m
t 2
2 0 ，解得m 4 . t 2
所以存在定点Q 4,0 ，使得 MQO NQO .
6肥东凯悦中学2021-2022学年度第一学期高二年级第三次自主检测
相离
相切
相交
不确定
的取值有
数学试题卷
9、如图,设OA=aOB=b,OC=c,若AN=NB,BM
测试时间:120分钟满分:150分
选择题(共60分)
知集
集合B=
)2
2、过点(40)
线方程
知圆C1:(x-1)+(
有三个点到直线
的距离等
则m的值为
知向量a=(
设F,F2是双曲线C
(a>0.b>0)的左、右焦
原点,过F2作C的一条
线
线
且
渐近线的垂线,垂足为P若
3|PF2|,则C的离心率为
充分不必要条件
必要不充分条
C、充要条件
既不充分
要条
对抛物线
列描述正确的
已知椭圆C的焦点为
F2(1,0)
线与C交于AB两点若|4F|=22,|AB
向上,焦点为
开
C的方程为(
C、开口向右,焦点为
向右,焦点为(
6、若方程
5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(
填空题(共20分)
两轴上的截距相等的直线方
F2分别是椭圆
的左、右焦点,点P在此椭圆上,∠F1PF2=60°,则△PFF2的面积等
焦距为2,则实数m的值为
知抛物线C:y2=4x的焦点为F,在C
点
点M到y轴的距离
6√3
在直线h1:x+y+3
线C:(
y2=4相切于点M
8、直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,椭圆
直线与椭圆的位置关系是()
最小值
解答题(共70分)
分)已知M(-2,0),N(2,0)两点,点P为坐标平面内的动点,满足
(10分)求经过点M(1,-2),且满足下列条件的直线方程
(1)求动点P的轨迹C的方程
)与直线
2)过Q(2,1)作直线l交曲线C于A,B两点,使Q为AB的中点,求直线l的方程
直线
)如图所示,在四棱锥P-ABCD
平面ABC
为
点
分)在平面直角坐标系xO
A
(1)过点M做圆C的切线l,求切线l的方程
(2)若点F为PB
线段PC上是否
点
平面PCD 若存在,请确
(2)判断直线m:3x+4y-16=0
C是否相交;如果相交,求直线m被圆C截得的弦长
若不存在,请说明理
(12分)坐标平面内的动
圆C1
外切,与圆C2:(-2)
知命题P:方程
表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:方程
切,设动圆P的圆
迹是曲线C
(1)求曲线C的方程
的直线l与曲线C相交于
(1)若命题
真命题,求实数m的取值
两点,试问在x轴上是否存在定点Q,使得
请说明
题pq为真命题,p
假命题,求实数m的取值范围
O 若存在,求出点Q的坐标,若
