芜湖一中 2020 级高二第二次月末诊断测试
数学答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A C D D B D C C C ABD ACD
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
8, n =1 3 n
13. a = 14. x = 15. 16. 5 n
2n 11, n 2 2 2n +1
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）解：（1）D2 + E2 4F = 4 +16 4m 0，∴m 5
（2）∵m = 4，
∴ (x 1)2 + (y 2)2 =1，圆心C ： (1 , 2)，半径 r =1
∵ 2CM ⊥CN ∴ |1+ 2a 4 | 2d = r ，即 =
2 1+ a2 2
化简得：7a2 24a +17 = 0
∴a =1或 17a =
7
2
18．（12 分）解：（1）由题得抛物线 C 的方程为： y = 12x
（2）方法一：OA,OB 的斜率都存在，都不为 0，
1
设 OA： y = kx，则 OB： y = x ，
k
2 12 12联立 y = kx和 y = 12x的方程求得 A（ ， ），
k 2 k
2
同理可得 B（ 12k ，12k ）,
12
12k +
∴ AB : y 12k = k (x +12k
2 ) ,
2 12 12k +
k 2
1
即: AB : y 12k = (x +12k
2 ) ,
1
k
k
令 y = 0 ,则 12 +12k
2 = x +12k 2 ,∴ x = 12,
∴直线 AB 与 x 轴交点为定点，其坐标为 ( 12,0)。
m2 m2
方法二：当 AB 垂直 x 轴时，设 A ( ,m) ，则 B ( , m)，
12 12
m2
OA OB = 0, x x + y y = ( )2 m2 = 0 m2 2∵ ∴ A B A B ，∴ =12
12
此时 AB 与 x 轴的交点为 ( 12,0)；
当 AB 不垂直 x 轴时，设 AB： y = kx + b(k 0)，联立 y = kx + b 和 y2 = 12x有：
2 2 2
ky2
12 12b y y b
+12y 12b = 0，∴ yA + yB = , yA yB = , x
A B
AxB = = ，
k k 12 12 k 2
b2 12b
∵OA OB = 0,∴ xA xB + yA yB = = 0，即：b =12k ，
k 2 k
∴AB： y = kx + b = kx +12k ，此时直线 AB 与 x 轴交点为定点，其坐标为 ( 12,0) ,
综上：直线 AB 与 x 轴交点为定点，其坐标为 ( 12,0) .
注：设 l的方程为 x = my + b酌情给分.
19. （12 分）（1）由已知， a =1，1 a2 = a1 +1= 2， a3 = a2 + 2 = 4， a4 = a3 +1= 5，
数列 an 的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列，
n +1 3n 1
所以当 n为奇数时， an =1+ 1 3 = ，
2 2
数列 an 的偶数项构成以 2 为首项，3为公差的等差数列，
n 3n 2
所以 an = 2 + 1 3 = ，而b ，所以n = a2n b1 = a2 = 2，b ， 2 = a4 = 5
2 2
3 2n 2
b = a = = 3n 1，所以b . n 2n n = 3n 1
2
（2）由（1）知： an 的前 20项和
S20 = a1 + a2 + + a = (a1 + a20 3 + + a19 ) + (a2 + a4 + + a20 )
10 9 10 9
=10 1+ 3+10 2+ 3= 300，所以 an 的前 20项和为300 .
2 2
20. （12 分）解：（1）设 S(x, y) ， P (x , y )，因为PQ垂直 xp p 轴于点Q， S 为直线 l 上
一点，且PQ = 2SQ，所以 x = x， yp = 2y
2 2
p ，因为点P在圆O : x + y = 2上，
x 2 2所以 p + yp = 2
x2 x2
即 x2 + ( 2y)2 = 2，整理得 + y2 =1． 故曲线C 的方程为 + y2 =1．
2 2
（2）设M (x1, y1), N (x2 , y2 ), OR =OM +3ON , x0 = x1 +3x2 , y0 = y1 +3y2
∵M , N 在椭圆上，∴ x2 + 2y2 = 2, x2 + 2y2 1 1 2 2 = 2
1
又直线OM 与ON 的斜率之积为 ，∴ x1x2 + 2y1y = 0， 2
2
于是 x 20 + 2y
2
0 = (x
2
1 +6x1x2 +9x
2 2
2 )+ 2(y1 +6y1y2 +9y
2
2 )
= (x21 + 2y
2) + 6(x x 2 2 2 21 1 2 + 2y1y2) + 9(x2 + 2y2 ) = 20．故 x + 2y 为定值． 0 0
x2 y2
21.解（1）因为椭圆 E : + =1 (a b 0)过 A(0, 2) ，所以b = 2
a2 b2
又因为椭圆的四个顶点围成的四边形面积为 4 5
所以 S = 2ab = 4 5 ，所以 a = 5
x2 y2
所以椭圆 E 的方程为 + =1
5 4
（2）因为点 P(0, 3)，由题意，直线 PBC 的方程为 y = kx 3
y = kx 3,
所以 x2 y2 所以 (4 + 5k
2 )x2 30kx + 25 = 0
+ =1.
5 4
30k 25
设 B(x1, y1),C(x2 , y2 )，则 x1 + x2 = , x 2 1x2 =4 + 5k 4 +5k 2
= (30k)2 4 25(5k 2 + 4) = 400k 2 400 0 ，解得 k 2 1
y + 2 y + 2
所以 kAB =
1 ,kAC =
2
x1 x2
y + 2 x
所以 lAB : y =
1 x 2，令 y = 3，得 x = 1M
x1 y1 + 2
x
同理， xN =
2
y2 + 2
25
因为 x x = ，所以 B,C 在 y 轴同侧． 1 2
4 + 5k 2
当 B,C 在 y 轴右侧时，即 k 0
50k 30k
x x 2kx x 2 2
PM + PN = 1 + 2 = 1 2
(x1 + x2 ) = 4 + 5k 4 + 5k = 5k 15
2 2
y1 + 2 y2 + 2 k
2x1x2 k(x1 + x ) +1 25k 30k2 +1
4 + 5k 2 4 + 5k 2
所以0 k 3．又 k 2 1，所以 k (1,3]
同理，当 B,C 在 y 轴左侧时，有 k [ 3, 1)．
综上，有 k [ 3, 1) (1,3] ．
22.解：（1）由题意可知：轨迹 C 为实轴为 2，焦距为 2 17 的双曲线的右支．
y2
从而可以直接写出轨迹方程为 x2 =1(x 0)．
16
1 1
（2）设 T 为 ( , y0 ) ，直线 TAB 为 y = k(x ) + y0 .
2 2
1 k
又16x2 y2 16 = 0 ，将 y = k(x ) + y0 = kx + y0 代入可得：
2 2
0 =16x2
k k k
(kx + y0 )
2 16 = (16 k 2 )x2 2k(y0 )x (y0 )
2 16 .
2 2 2
设 A(x1, y2 ) , B (x2 , y2 )，则
k k
2k(y0 ) (y0 )
2 16
2 ， 2 . x1 + x2 = x1x2 =
16 k 2 16 k 2
1 1 1 1
|TA | |TB | =(x1 )(x2 )(1+ k
2 ) = [x1x2 (x1 + x2 ) + ](1+ k
2)
2 2 2 4
k 2 k k
2
(y0 ) 16 k(y
2
0 ) y0 + 16 2
= ( 2 2
1 1 y +12
+ )(1+ k 2 ) = ( 4 + )(1+ k 2 ) = ( 0 )(1+ k 2 )
16 k 2 4 16 k 2 4 k 2 16
1+ k 2 17
即 |TA | |TB | =( )(y20 +12) = (1+ )(y
2 +12) .
k 2
0
16 k 2 16
17
直线 TPQ 斜率为 t，则有 |TP | |TQ |= (1+ )(y
2
0 +12)，其中 t k .
t2 16
由 |TA | |TB |=|TP | |TQ | 可知， t2 = k 2 k + t = 0 .芜湖
20级高二第二次月末诊断测
数学试卷
在等差数
a
C
则双曲线C的渐
物线C:y2=2mx(p>
点,点
的
程
轴上的椭圆,则k的取值
是双曲
椭
相交AB两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面
最大值为(
椭圆
64
的两个焦点,PQ为C上关于坐标原点对称的两点,且
芜湖一中2020级高二第二次月末诊断测试
北京天坛
丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中
数学试卷
心有
形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板
命题人:万胜
构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的
对人:许舜旋
最后
环多9块,向外每环依次也增加9块已知每层环数相同
、单项选择题(每小题5分,共60分)
下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()
3699块
B.3474块
在等差数列{an}中,若a2=4,a1=2,则
D.3339块
设
是椭圆C
A
=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB≤2b,则c
C
的离心率的取值范围是()
2,已知双曲线C
ab=1a>0b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为()
B
y
3.已知A为抛物线C:y2=2mx(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9
10.{a,}是递增的整数数列,a1≥3,a1+a2+…+an=100,则n的最大值为()
B.3
二、多项选择题(每小题5分,共10分)
4.方程x2+6y2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是()
.已知曲线C:x2+y2=1+1,则以下说法正确的有(
B.(0,2)
D.(0,)
曲线C关于x轴对称
5.设F是双曲线xy2
=1的左焦点,A0,4),P是双曲线右支上的动点,则PF+P4的最
曲线C关于原点对称
小值()
曲线C上的点(x,y)横坐标x范围为[-1+√
A.5
B.5+43
D.曲线C围成的图形面积为2+丌
6.直线1:x-y=0与椭圆x
2y=1相交A.B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的
最大值为
12.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(40),B(02),则()
A.2
点P到直线AB的距离小于1
C.√
D.3
B.点P到直线AB的距离大于2
7.已知F,F为椭圆C:+y=1的两个焦点,PQ为C上关于坐标原点对称的两点,且
C.当∠PBA最小时,|PB=32
164
D.当∠PBA最大时,|PB=32
P=FF,则四边形PFQF2的面积为()
B.4
D
