安徽省芜湖一高中2021-2022学年高一上学期第二次月末诊断测试（12月）数学试题（扫描版含答案）

月考试卷
一、单选题
1．C 2．C 3． D 4．D 5．B 6．D 7．D 8．C
二、多选题
9．ABD 10．ABD 11．ACD 12．AC
三、填空题
13．[0, 4)
9
14．27 15．(－1，0)∪(0，1) 16． 2, 4
令 f x t 2，因为关于 x 的方程 f x 3 f x a 0(a R)有 8 个不等的实数根，
结合图象可知，关于 t的方程 t 2 3t a 0有两不等实根，记为 t1, t2 ，且 t1, t2 1, 2 ，
2
因为 t1 t2 3， t t a
3 9
1 2 ，所以 a t1 3 t1 t1 ，
2 4
又因为 t 1,2 t 31 ， 1 t2 ，即 t1 ，2
3
2
9 2, 9 所以 t1 的取值范围是 ，
2 4

4
9
所以 a的取值范围是 2, 4
，


故答案为： 2,
9
.
4
四、解答题
2
17．（1 x 2）求函数 y (x 1)的最小值.
x 1
(2) 2解关于 x的不等式： ax 1 2a x 2 0(a 0) .
(1 1 y (x 1)
2 2(x 1) 3
【答案】 ）2 2 3；（ ） (x 1)
3
2 2 3 2，当且仅当 (x 1)2 3
x 1 x 1
即 x 3 1时等号成立，
故函数 y的最小值为 2 2 3 .
1 1
(2)当 a 0

时，不等式的解集为： 2, ,
2 a
a 1
1
当 时，不等式的解集为： , 2

2 a
,

a 1当 时，不等式的解集为: .
2
18．已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.
（1）当 A＝{x∈Z|－2≤x≤5}时，求 A 的非空真子集的个数；
（2）若 A∪B＝A，求实数 m 的取值范围；
（3）若 A∩B＝ ，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1）{m|m≤3}；（2）254；（3）{m|m<2 或 m>4}.
解：（1）当 x∈Z 时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
共有 8 个元素，所以 A 的非空真子集的个数为 28－2＝254.
（2）因为 A∪B＝A，所以 B A，
当 B＝ 时，由 m＋1>2m－1，得 m<2，符合；
2m 1 m 1

当 B≠ 时，根据题意，可得 m 1 2 ，解得 2≤m≤3.

2m 1 5
综上可得，实数 m 的取值范围是{m|m≤3}.
（3）当 B＝ 时，由（1）知 m<2；
当 B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
2m 1 m 1 2m 1 m 1
可得 或 解得 m>4.
2m 1 2 m 1 5
综上可得，实数 m 的取值范围是{m|m<2 或 m>4}.
f (x) ax b 619．已知函数 2 是定义在[ 1,1]上的奇函数，且 f (2) .1 x 5
（1）求 f (x)的解析式；
（2）先判断函数 f (x)在[ 1,1]上的单调性，并证明；
3 f (2m 1) f m2（ ）求使 1 0成立的实数 m 的取值范围.
3x
【答案】（1） f (x) 2 ；（2） f (x)在 1,1 上为增函数，证明见详解；（3） 0, 3 1 .1 x
f (x) ax b（1）根据题意， 是奇函数，
1 x2
则有 f ( x) f (x)，
a( x) b ax b
则有 1 ( x)2 1 x2 ，解可得b 0；
f (x) ax ． f 2 6 ，
1 x2 5
2a 2a 6
， 解可得 a 3 .
1 4 5 5
f (x) 3x ；
1 x2
（2） f (x)在 1,1 上为增函数；
证明如下：设 -1 x1 < x2 1，
3x1 3x2 3(x x )(1 x x )
则 f (x1) f (x2 )
1 2 1 2
1 x21 1 x
2
2 (1 x
2
1 )(1 x
2) ，2
1 x1 x2 1，
则有 (1 x21 ) 0， (1 x
2
2 ) 0， (1 x1x2 ) 0， x1 x2 0，
则有 f (x1) f (x2) 0，
即 f (x1) f (x2)．
f (x)在 1,1 上为增函数；
（3） f (2m 1) f m2 1 0，
f 2m 1 f m2 1 ，
又 f (x)是定义在 1,1 上的奇函数，
f (2m 1) f (1 m2 )，
1 2m 1 1
2
则有 1 1 m 1，

2m 1 1 m
2
解可得： 0 m 3 1；
故不等式 f m 1 f m 0的解集为 0, 3 1 ．
20.答案：(1) 函数 f (x)是偶函数，
f ( x) f (x) ,即 log4 (4
x 1) kx log4 (4
x 1) kx
x
log4 (4
x 1) log (4x 1) log 4 14 4 x log
x
4 1 4
4 x 2kx
k 1
2
(2) 实数 a 的取值范围是 [1 ,+ )
2
(3)假设存在满足条件的实数 m
由题意，可得 h(x) 4x m 2x , x [0,log2 3]
令 t 2x，则 t [1,3]， 4x m 2x t 2 mt
令 (t) t2 mt,t [1,3]
函数 (t) m的图像开口向上，对称轴为直线 t
2
m
当 1，即m 2时，
2
(t)min (1) 1 m 0，解得m 1；
当1 m 3，即 6 m 2时
2
m m2 (t)min ( ) 0，解得m 0（舍去）；2 4
m
当 3，即m 6时，
2
(t)min (3) 9 3m 0，解得m 3（舍去）.
综上，存在实数 m 使得 h(x)的最小值为 0，此时实数 m 的值为-1.
21．已知定义在 R 上的函数 f (x) x2 2mx 3在 (0, )上是增函数．g(x)为偶函数，且当
x ( ,0] 1时， g(x)
2x m
．
（1）求 g(x)在 (0, )上的解析式；
（2）若函数 f (x)与 g(x)的值域相同，求实数 m 的值；
f (x), x 0,
（3）令 F (x)

g x x 讨论关于 x( ), 0, 的方程
F(x) m 3的实数根的个数．

【答案】（1） g(x) 2x m；（2）m 1；（3）当m 1时，方程F(x) m 3有两个实数根；
当 1 m 0时，方程F(x) m 3仅一个实数根．
1 x m
（1）当 x 0时，则 x 0，而 g(x)为偶函数，有 g(x) g( x)
2 x m
2 ．
（2）∵函数 f (x) x2 2mx 3在 (0, )上单调递增，
∴m 0，且 f (x)的值域为 3 m
2 , ．
当 x ( ,0]时， g(x) 2 m，由 g(x)是偶函数，
∴ g(x) m的值域为 2 , ．
由题意知：3 m2 2 m．令 h(m) 3 m2 2 m，易知 h(m)在 ( , 0]上单调递增，且 h( 1) 0；
∴m 1．
x2 2mx m, x 0
（3）由（2）有m 0，令 (x) F(x) m 3 ，
2x m m 3, x 0
x2 , x 0
①当m 0时， (x) ，此时仅有一个零点 x log23x ． 2 3, x 0
x2 2x 1, x 0
②当m 1时， (x) x 1 ，此时仅有一个零点 x 1．
2 2, x 0
③当 1 m 0时，在 x 0中 4m(m 1) 0，故无零点；在 x 0中 (x)单调增，而
(0) 1 2 m
2m
m 3 0， (2) 2 m 3 0，
∴故此时 x0 (0, 2)，使 (x0 ) 0，即仅有一个 x0有2x0 m m 3， x0 m log2(m 3)．
④当m 1时，在 x 0中 4m(m 1) 0，零点有 x m m(m 1) 0，故有两个零点；
在 x 0中 (x)单调增，而 (0) 2 m m 3 0，即无零点；
综上所述，当m 1时，方程F(x) m 3有两个实数根；当 1 m 0时，方程F(x) m 3
仅一个实数根．