1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件 高中数学人教A版必修4(共18张PPT)
文档属性
| 名称 | 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件 高中数学人教A版必修4(共18张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-15 22:05:34 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
高中数学
正弦函数、余弦函数的性质
每年都有春夏秋冬，它们周而复始的变化着．
今晚月亮好圆！又是十五啦！
生活中，许多事物都有“周而复始”的变化规律．
再过多少天又会是十五呢？
正弦函数图象
诱导公式：sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z）
π
2
π
2π
1
y
O
x
-1
3π
2
3π
4π
5π
2
7π
2
π
2
-
-π
3π
2
-
-2π
5π
2
-
-3π
7π
2
-
-4π
y=sinx，x∈R
诱导公式：cos（x+2kπ）=cosx（k∈Z）
π
2
π
2π
1
y
O
x
-1
3π
2
3π
4π
5π
2
7π
2
π
2
-
-π
3π
2
-
-2π
5π
2
-
-3π
7π
2
-
-4π
余弦函数图象
y=cosx，x∈R
对于函数f（x）而言，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
周期函数：
那么函数f（x）就叫做周期函数（periodic function）．
f（x+T）=f（x），
非零常数T叫做这个函数的周期（period）．
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期（minimal positive period）．
特别地：今后所提及的周期，在没有特别说明的前提下，都是指函数的最小正周期．
正弦函数和余弦函数是不是周期函数？如果是，它们的周期是多少，最小正周期又是多少？
例1．判断
2．y=|sinx|的周期是π且是偶函数．（ ）
3．存在角x使得2cosx=3成立．（ ）
√
×
×
1．因为sin（ + ）=sin ，所以 是y=sinx的周期．（ ）
2π
3
π
6
2π
3
π
6
对，因为|sin（x+π）|=|-sinx|=|sinx|．
错，因为余弦函数的最大值为1．
错，因为sinx=sin（x+ ）不是对函数y=sinx定义域中的一切实数x都成立，如sin（- ）≠sin（- + ）．
2π
3
π
3
2π
3
π
3
（1）求周期；
（2）当x为何值时，函数有最值；
（3）求函数的单调区间．
例2．已知函数y=2sin（ x- ），
1
2
π
6
解：（1）因为
2sin[ （x+4π）- ]= 2sin[（ x- ）+2π]
1
2
π
6
π
6
1
2
=2sin（ x- ）
1
2
π
6
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．
（2）当 时，函数有最大值，即当x= 时，函数有最大值1；
x-
1
2
π
6
= +2kπ（k∈R）
π
2
4π
3
+4kπ（k∈R）
当 时，函数有最小值，即当x=- 时，函数有最小值-1．
2π
3
+4kπ（k∈R）
x-
1
2
π
6
=- +2kπ（k∈R）
π
2
（3）根据最值情况，可知函数
y=2sin（ x- ）
1
2
π
6
2π
3
- +4kπ
4π
3
+4kπ
在区间[ , ]上是增函数；
4π
3
+4kπ
在区间[ , ]上是减函数．
4π
3
+(4k+2)π
例3．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1）sin（- ）与sin（- ）；
π
10
π
18
（2）cos（- ）与cos（- ）．
17π
4
23π
5
分析：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．
（1）sin（- ）与sin（- ）；
π
10
π
18
解：因为
π
2
-
π
10
-
π
18
-
＜ ＜ ＜0
正弦函数y=sinx在区间［ ，0］上是增函数，所以
π
2
-
sin（- ）＞sin（- ）．
π
10
π
18
（2）cos（- ）与cos（- ）．
17π
4
23π
5
解：
cos（- ）=cos =cos ，
23π
5
23π
5
3π
5
cos（- ）=cos =cos ．
17π
4
17π
4
π
4
3π
5
因为0＜ ＜ ＜π，且函数y=cosx，x∈[0，π]是减函数，所以
π
4
π
4
3π
5
cos ＞cos
即 cos（- ）＜cos（- ）．
17π
4
23π
5
函数y=Asin（ωx+ψ）
从前面的例子可以看出，函数
y=Asin（ωx+ψ），x∈R
及函数
y=Acos（ωx+ψ），x∈R
（其中A，ω，ψ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期仅与自变量的系数有关．那么，如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
及函数y=Acos（ωx+ψ）的周期
事实上，令z=ωx+ψ，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函数y=Asinz，z∈R及函数y=Acosz，z∈R的周期都是2π．由于
2π
ω
z+2π=（ωx+ψ）+2π=ω（x+ ）+ψ，
所以自变量x只要并且至少要增加到x+ ，函数值才能重复出现．
2π
ω
2π
ω
T=
即 是使等式
成立的最小正数．从而，函数
Asin[ω（x+T）+ψ]= Asin（ωx+ψ），
Acos[ω（x+T）+ψ]= Acos（ωx+ψ）
y=Asin（ωx+ψ），x∈R
及函数
y=Acos（ωx+ψ），x∈R
2π
ω
T=
的周期 ．
高中数学
正弦函数、余弦函数的性质
每年都有春夏秋冬，它们周而复始的变化着．
今晚月亮好圆！又是十五啦！
生活中，许多事物都有“周而复始”的变化规律．
再过多少天又会是十五呢？
正弦函数图象
诱导公式：sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z）
π
2
π
2π
1
y
O
x
-1
3π
2
3π
4π
5π
2
7π
2
π
2
-
-π
3π
2
-
-2π
5π
2
-
-3π
7π
2
-
-4π
y=sinx，x∈R
诱导公式：cos（x+2kπ）=cosx（k∈Z）
π
2
π
2π
1
y
O
x
-1
3π
2
3π
4π
5π
2
7π
2
π
2
-
-π
3π
2
-
-2π
5π
2
-
-3π
7π
2
-
-4π
余弦函数图象
y=cosx，x∈R
对于函数f（x）而言，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
周期函数：
那么函数f（x）就叫做周期函数（periodic function）．
f（x+T）=f（x），
非零常数T叫做这个函数的周期（period）．
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期（minimal positive period）．
特别地：今后所提及的周期，在没有特别说明的前提下，都是指函数的最小正周期．
正弦函数和余弦函数是不是周期函数？如果是，它们的周期是多少，最小正周期又是多少？
例1．判断
2．y=|sinx|的周期是π且是偶函数．（ ）
3．存在角x使得2cosx=3成立．（ ）
√
×
×
1．因为sin（ + ）=sin ，所以 是y=sinx的周期．（ ）
2π
3
π
6
2π
3
π
6
对，因为|sin（x+π）|=|-sinx|=|sinx|．
错，因为余弦函数的最大值为1．
错，因为sinx=sin（x+ ）不是对函数y=sinx定义域中的一切实数x都成立，如sin（- ）≠sin（- + ）．
2π
3
π
3
2π
3
π
3
（1）求周期；
（2）当x为何值时，函数有最值；
（3）求函数的单调区间．
例2．已知函数y=2sin（ x- ），
1
2
π
6
解：（1）因为
2sin[ （x+4π）- ]= 2sin[（ x- ）+2π]
1
2
π
6
π
6
1
2
=2sin（ x- ）
1
2
π
6
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．
（2）当 时，函数有最大值，即当x= 时，函数有最大值1；
x-
1
2
π
6
= +2kπ（k∈R）
π
2
4π
3
+4kπ（k∈R）
当 时，函数有最小值，即当x=- 时，函数有最小值-1．
2π
3
+4kπ（k∈R）
x-
1
2
π
6
=- +2kπ（k∈R）
π
2
（3）根据最值情况，可知函数
y=2sin（ x- ）
1
2
π
6
2π
3
- +4kπ
4π
3
+4kπ
在区间[ , ]上是增函数；
4π
3
+4kπ
在区间[ , ]上是减函数．
4π
3
+(4k+2)π
例3．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1）sin（- ）与sin（- ）；
π
10
π
18
（2）cos（- ）与cos（- ）．
17π
4
23π
5
分析：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．
（1）sin（- ）与sin（- ）；
π
10
π
18
解：因为
π
2
-
π
10
-
π
18
-
＜ ＜ ＜0
正弦函数y=sinx在区间［ ，0］上是增函数，所以
π
2
-
sin（- ）＞sin（- ）．
π
10
π
18
（2）cos（- ）与cos（- ）．
17π
4
23π
5
解：
cos（- ）=cos =cos ，
23π
5
23π
5
3π
5
cos（- ）=cos =cos ．
17π
4
17π
4
π
4
3π
5
因为0＜ ＜ ＜π，且函数y=cosx，x∈[0，π]是减函数，所以
π
4
π
4
3π
5
cos ＞cos
即 cos（- ）＜cos（- ）．
17π
4
23π
5
函数y=Asin（ωx+ψ）
从前面的例子可以看出，函数
y=Asin（ωx+ψ），x∈R
及函数
y=Acos（ωx+ψ），x∈R
（其中A，ω，ψ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期仅与自变量的系数有关．那么，如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
及函数y=Acos（ωx+ψ）的周期
事实上，令z=ωx+ψ，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函数y=Asinz，z∈R及函数y=Acosz，z∈R的周期都是2π．由于
2π
ω
z+2π=（ωx+ψ）+2π=ω（x+ ）+ψ，
所以自变量x只要并且至少要增加到x+ ，函数值才能重复出现．
2π
ω
2π
ω
T=
即 是使等式
成立的最小正数．从而，函数
Asin[ω（x+T）+ψ]= Asin（ωx+ψ），
Acos[ω（x+T）+ψ]= Acos（ωx+ψ）
y=Asin（ωx+ψ），x∈R
及函数
y=Acos（ωx+ψ），x∈R
2π
ω
T=
的周期 ．