2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第7章 三角函数单元测试（Word含答案）

2021-2022学年度第一学期高一数学测试
（三角函数）
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1.已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为
2.英国浪漫主义诗人Shelley（雪莱）在《西风颂》结尾写道“If Winter comes，can Spring be far behind？”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气.它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气.2019年12月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（　　）
A. B. C.－ D.－
3.设cos（α＋π）＝，那么sin（2π－α）的值为（　　）
A.－ B.－ C. D.
4.函数y＝tan的定义域是（　　）
A. B.
C. D.
5.下列函数中最小正周期为π的是（　　）
A.y＝tan B.y＝sin
C.y＝|cos（－x）| D.y＝|sin 2x|
6.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢2），弧田是由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于2米的弧田，按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积（单位：平方米）为（　　）
A. B.－ C.－ D.－3
7.已知a＝tan，b＝tan，c＝sin，则有（　　）
A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a
8.为了得到y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象（　　）
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分）
9.下列命题中正确的是（　　）
A.若角α是第二象限角，则可能在第三象限
B.cos＋cos＝0
C.若tan α<0且sin α>0，则α为第二象限角
D.锐角α终边上一点坐标为P（－cos 2，sin 2），则α＝π－2
10.在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x正半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m<0），则下列各式的值恒大于0的是（　　）
A. B.cos α－sin α C.sin αcos α D.sin α＋cos α
11.出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920年左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：s＝，即等价于现在的s＝hcot φ，我们称y＝cot x为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（　　）
A.函数y＝cot x的最小正周期为2π
B.函数y＝cot x关于（π，0）对称
C.函数y＝cot x在区间（0，π）上单调递减
D.函数y＝tan x的图象与函数y＝cot x的图象关于直线x＝对称
12.已知函数f（x）＝sin（3x＋φ）的图象关于直线x＝对称，则（　　）
A.函数f为奇函数
B.函数f（x）在上单调递增
C.若|f（x1）－f（x2）|＝2，则|x1－x2|的最小值为
D.函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝－cos 3x的图象
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13.设f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β为非零常数.若f（2 019）＝－1，则f（2 020）＝　　　　Ｗ.
14.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，0<φ<，则ω＝　　　　，sin φ＝　　　　（本题第一空2分，第二空3分）.
15.已知函数f（x）＝sin（0<ω<1）.若函数f（x）的周期是4π，则函数|f（x）|的单调递增区间为　　　　Ｗ.
16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如图.假定在水流量稳定的情况下，半径为3 m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为 rad/min的匀速圆周运动，平面示意图如图，已知筒车中心O到水面BC的距离为2 m，初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处，且∠P0OA＝（OA∥BC），则8 min后该盛水筒到水面的距离为　　　　m.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知函数f（x）＝＋.
（1）化简f（x）；
（2）若f（α）＝，求sin αcos α的值.
18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（yP>0），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q，过Q作x轴的垂线交x轴于M.
（1） 求sin α，tan α；
（2）求△MOQ的面积S.
19.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2sin＋1.
（1）画出函数在一个周期上的图象；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x），求y＝g在上的值域.
20.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝sin x，x∈R.现有如下两种图象变换方案：
方案1：将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度；
方案2：将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.
请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数g（x）的解析式，并解决如下问题：
（1）画出函数g（x）在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（2）请你研究函数g（x）的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.
21.（本小题满分12分）弹簧振子的振动是简谐振动.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表：
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y －20.0 －17.8 －10.1 0 10.0 17.7 20.0 17.7 10.0 0 －10.1 －17.8 －20.0
（1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式；
（2）画出该函数在t∈[0，0.6]的函数图象；
（3）在整个振动过程中，求位移为10 mm时t的取值集合.
22.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的某一周期内的对应值如下表：
X －
f（x） －1 1 3 1 －1
（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）的结果，若函数y＝f（nx）（n>0）的最小正周期为，当x∈时，方程f（nx）＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围.
章节测试参考答案
01-05 BACDC 06-08 DDC 09 ACD 10 AB 11 BC 12 AC
13.1 14　2　 15. （k∈Z） 16. 　
17.解　（1）f（x）＝＋ ＝＋
＝－sin x·＋sin x＝sin x－cos x.
（2）因为f（α）＝，即sin α－cos α＝，所以2＝2，
整理得sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝，即2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝.
18.解　（1）由已知可得＋y＝1，
∵yP>0，∴yP＝，sin α＝ ，cos α＝， tan α＝＝＝.
（2）因为sin α＝ ，cos α＝；所以xQ＝cos＝－sin α＝－.
yQ＝sin＝cos α＝ ，
所以△MOQ的面积S＝|xQ|·|yQ|＝×＝.
19. 解　（1）（五点法作图）
2x＋ 0 π 2π
x －
f 1 3 1 －1 1
（2）g（x）＝f－1＝2sin＋1－1＝2sin 2x，
则y＝g＝2sin，x∈，所以2x－∈，从而g在上的值域为[－，2].
20.
解　方案1：将函数f（x）＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到y＝sin 2x，再将y＝sin 2x图象向左平移个单位长度得到
y＝sin 2＝sin， 即g（x）＝sin.
方案2：将函数f（x）＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin，再将y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到
y＝sin，即g（x）＝sin，
所以无论在何种方案下所得的函数都是g（x）＝sin，
（1）如图是函数g（x）＝sin在[0，π]这一周期上的图象：
（2）函数g（x）＝sin定义域：R；值域：[－1，1]；周期：T＝＝π；
奇偶性：因为g（0）＝sin＝≠0，±1，所以g（x）不具有奇偶性.
单调性：令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），
解得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），
即函数在（k∈Z）上单调递增；
同理可得函数的单调递减区间为（k∈Z）.
21.
解　（1）设函数解析式为y＝Asin（ωt＋φ），t≥0，
由表格可知A＝20，T＝0.6，则ω＝＝＝，
即y＝20sin，
由函数图象过点（0，－20），则－20＝20sin φ，即sin φ＝－1，可取φ＝－，
则这个振子的位移关于时间的函数解析式为y＝20sin，t≥0.
（2）列表：
t 0 0.15 0.3 0.45 0.6
t－ － 0 π
y －20 0 20 0 －20
由表格数据知y＝20sin，t∈[0，0.6]的图象所下图所示.
（3）由题意得20sin＝10，
即sin＝，
则t－＝＋2k1π，k1∈Z或t－＝＋2k2π，k2∈Z，
化简得t＝＋k1，k1∈Z或t＝＋k2，k2∈Z，
又t∈[0，0.6]，则t为0.2，0.4，
所以在整个振动过程中，位移为10 mm时t的取值集合为{0.2，0.4}.
22.
解　（1）设f（x）的最小正周期为T，则T＝－＝2π，由T＝得ω＝1.
又由解得
令ω·＋φ＝＋2kπ（k∈Z），
即＋φ＝＋2kπ（k∈Z），解得φ＝－＋2kπ（k∈Z）.
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴f（x）＝2sin＋1.
（2）∵函数y＝f（nx）＝2sin＋1的最小正周期为，且n>0，∴n＝3.
令t＝3x－，∵x∈，
∴t∈，
由2sin t＋1＝m，得sin t＝，y＝sin t的图象如图.
若＝sin t在上有两个不同的解，则∈，
即≤<1，解得＋1≤m<3，∴方程f（nx）＝m在x∈恰有两个不同的解时，m∈，故实数m的取值范围是.