专题12.3 角的平分线的性质 同步导学(含解析)

文档属性

名称 专题12.3 角的平分线的性质 同步导学(含解析)
格式 doc
文件大小 336.4KB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2021-12-15 19:43:24

图片预览

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题12.9 角平分线的性质(知识讲解)
【知识回顾】
1、角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线。
2、线段垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
3、线段垂直平分线判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
【学习目标】
1.掌握角平分线的性质,理解三角形的三条角平分线的性质.
2.掌握角平分线的判定及角平分线的画法,并能根据尺规作图解决实际问题.
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题.
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
  角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言:∵DC平分∠ADB ,
又∵PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F,
∴PE=PF
特别指出:解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件
要点二、角的平分线的判定
  角平分线的判定:在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言:∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F,
又∵PE=PF
∴DC平分∠ADB ,
即点P在∠ADB的平分线上。
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,交角的两边D、E.
  (2)分别以D、E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C.
  (3)作射线OC.
∴射线OC即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点,此点叫做这个三角形的内心,
三角形内心到这个三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示:△ABC的内心为,旁心为,这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质
1.如图,在中,是的角平分线,,,D是的中点,证明:.
【点拨】首先根据角平分线的性质可得DE=DF,又有BD=CD,可证Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),即可得证∠B=∠C.
证明:∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°
∵D是的中点,

在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴∠B=∠C.
【点拨】此题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定及性质,掌握角平分线的性质和利用HL证两个三角形全等是解题关键.
2.如图,中,,平分,交于点,,,则的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【点拨】过点D作DE⊥AB于点E,利用角平分线上的点到角两边距离相等证明CD=DE,再根据三角形面积公式即可求得DE的长度,从而解决问题.
解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,
∵∠C=90°,AD平分∠BAC,
∴CD=DE,
∵S△ABD=AB DE=15,且AB=10,
∴DE=3,即CD=DE=3.
故答案为3.
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式等,解题的关键是正确作出辅助线.
举一反三:
【变式】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,CD=2,BD=3,Q为AB上一动点,则DQ的最小值为(  )
A.1 B.2 C.2.5 D.3
【答案】B
【点拨】根据点到直线的距离垂线段最短可知,当DQ与AB垂直的时候最短,再结合角平分线的性质即可求解.
【详解】当时,DQ最小,
根据角平分线的性质可知,此时DC=DQ,则DQ=2,
故选:B.
【点拨】本题考查点到直线的距离及角平分线的性质,熟练掌握基本性质和定理是解题关键.
3、已知中,,边上的垂直平分线交于,为垂足.
(1)若,,求的周长;
(2)若平分,求的度数.
【点拨】
(1)由线段的垂直平分线性质,解得,结合等腰三角形中解题即可;
(2)设,由等腰三角形的性质,解得,再由角平分线的性质得到,结合垂直平分线的性质解题即可.
解:(1)垂直平分

的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=BC+AB=5+7=12;
(2)设
平分
垂直平分
解得
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形内角和180°等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
【变式】 已知ABC的三条角平分线相交于点O,过点O作OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB.求证:OD=OE=OF.
解:连接BO、CO、AO,
∵BO是的角平分线,且OD⊥BC,OF⊥AB,
∴,
同理可得,,
∴.
【点拨】本题考查角平分线的性质,解题的关键是掌握角平分线的性质.
类型二、角的平分线的判定
4.如图,D、E、F分别是△ABC的三条边上的点,CE=BF,△DCE和△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.
【解析】
首先过D作DN⊥AC,DM⊥AB,分别表示出再△DCE和△DBF的面积,再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF DM=DN CE,由于CE=BF,可得结论DM=DN,根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC.
证明:过D作DN⊥AC,DM⊥AB,
△DBF的面积为:BF DM,
△DCE的面积为:DN CE,
∵△DCE和△DBF的面积相等,
∴BF DM=DN CE,
∵CE=BF,
∴DM=DN,
又∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴AD平分∠BAC(到角两边距离相等的点在角的平分线上).
【点拨】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.
举一反三:
【变式】已知:如图,点D是△ABC的边AC上的一点,过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,E,F为垂足,且DE=DF,点G是BC上的一点,且BG=DG.
求证:AB∥DG.
证明:连结BD,
∵DE⊥AB,DF⊥BC,E,F为垂足,且DE=DF,
∴BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵BG=DG,
∴∠CBD=∠BDG,
∴∠ABD=∠BDG,
∴AB∥DG.
【点拨】本题考查角平分线的性质与等腰三角形的性质,掌握角平分线的性质与等腰三角形的性质是解题关键.
类型三、角的平分线的作图题
5.北师版初中数学教科书八年级上册第57页告诉了我们利用尺规作一个角的角平分线的方法:已知:如图,钝角.
求作:的角平分线.
作法:①以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA于点D,交OB于点E;
②分别以D,E为圆心,大于的长为半径作弧,在内,两弧交于点C;
③作射线OC.
所以射线OC就是所求作的角平分线.
(1)请你根据上述的作图方法,利用直尺和圆规完成作图(保留作图痕迹)
(2)在该作图中蕴含着几何的证明过程:
由①可得:;
由②可得:______;
由③可知:;
∴____________(依据_____).
∴可得(全等三角形对应角相等)
即OC就是所求作的的角平分线.
(3)如图2,点O处是一个老鼠洞,一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正沿着BO向洞口逃窜.若猫以与老鼠相同的速度去追捕老鼠,请在图中作出最快能截住老鼠的位置M.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
【分析】
(1)根据几何语言画出对应的几何图形;
(2)利用作法得到OD=OE,CD=CE,加上OC=OC,则可根据“SSS”判断OCD≌OCE,于是得到∠COD=∠COE.
(3)连接AB.做AB的垂直平分线,则垂直平分线与BO的连接处为M,因为速度一样,所以AM的距离等于BM的距离,所以三角形AMB为等腰三角形.因此,AB的垂直平分线必经过M点.
解:(1)如图,OC为所作;
(2)由①可得:OD=OE;
由②可得:CD=CE;
由③可知:OC=OC;
∴OCD≌OCE(SSS),
∴∠COD=∠COE(全等三角形对应角相等).
即OC就是所求作的∠AOB的角平分线.
故答案为:CD=CE;OCD,OCE,SSS;
(3)连接AB.作AB的垂直平分线,则垂直平分线与BO的连接处为M,
因为速度一样,所以AM的距离等于BM的距离,所以三角形AMB为等腰三角形.
因此,AB的垂直平分线必经过M点.
【点拨】本题为三角形综合题,主要考查了角平行线、三角形全等和中垂线的性质以及基本作图,解题的关键是画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.
【变式】如图,已知∠AOB及点E、F,在∠AOB的内部求作点P,使点P到OA、OB的距离相等,且PE=PF.(请尺规作图,保留作图痕迹,并写结论)
【分析】分别作∠AOB的角平分线以及线段EF的中垂线,两条线的交点即为所求.
【解答】如图所示,先作出∠AOB的角平分线OQ,根据角平分线的性质可知,在OQ上的所有点均满足到OA、OB的距离相等,
再作线段EF的中垂线MN,根据中垂线的性质可知,MN上的所有点均满足到E,F的距离相等,
此时OQ与MN 交点,既满足到OA、OB的距离相等,也满足到E,F的距离相等,即为所求的点P.
【点拨】本题考查角平分线及垂直平分线的画法及实际应用,理解它们的性质是解题关键.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)