河南省顶级名校2022届高三上学期第四次联考数学（理）试卷（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省顶级名校2022届高三上学期第四次联考数学（理）试卷（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-15 18:35:12 | ||
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文档简介
河南省顶级名校2022届高三上学期第四次联考
理数试题
一、单选题
1．设全集为R，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则对应的点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段
3.下列命题为真命题的个数是（ ）
①是无理数，是无理数；
②若，则或；
③命题“若，，，则”的逆否命题为真命题；
④函数是偶函数.
A． B． C． D．
4．在等差数列中，，，则（ ）
A．0 B．m C．n D．
5．如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D.
7．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
9.设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知三棱锥中，底面为等边三角形,点为的中点，点为的中点，若点是空间中的两动点，且则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题
13.若直线和直线平行，则________.
14.已知向量.若与共线，则在方向上的投影为 ________.
15.已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_____．
16.平行四边形中，△是腰长为的等腰直角三角形，，现将△沿折起，使二面角大小为，若四点在同一球面上，则该球的表面积为_____.
三、解答题
17．已知数列对任意满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值．
18．在中，角，，所对的边分别为，，，若，点在线段上，且，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
19．如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，二面角等于60°，求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程．
（2）证明：在上有且仅有2个零点．
21．已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.
22．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线、交于、两点，，求的值．
23．已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.
河南省顶级名校2022届高三上学期第四次联考
理数答案
BDBAC ABCAD AB
13. 2 14. 15． 16.
17．解：（1）因为①，
所以 ②，
①②两式相减，得 ，
所以③．
又当时，得，不满足上式．
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，所以不成立，
当时，
，
由，得．
令，则为增函数，
又．
因此要使成立，只需，
故使成立的正整数的最小值为7．
18.解：（1）根据可得，
∴，
∴，∴，
即，∴.
又∵，∴.
（2）设，.
在中，由余弦定理可得.
在中，由余弦定理可得.
由于，故，
即，
整理可得.①
在中，由余弦定理可知.
代入①式整理可得.所以.
据此可知的面积 .
19．（1）证明：因为，
所以平面，
又因为平面，所以.
又因为，
所以平面.
（2）因为，
所以是二面角的平面角，即，
在中，，
取的中点，连接，因为,
所以,由（1）知，平面，为的中位线，
所以，即两两垂直，
以为原点建立如图所示的坐标系，设，则
，
，设平面的一个法向量为，
则由得令，得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．（1）解：，则，
又，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（2）证明：令，则．
当时，，单调递增，，，所以在上恰有1个零点．
当时，单调递增，，，
则存在，使得，则在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以存在，使得在上单调递增，在上单调递减，又，，所以在上恰有1个零点．
当时，，以在上单调递增，因为，所以在上没有零点．
综上，在上有且仅有2个零点．
21．解：（Ⅰ）依题意，，.
当时，.
所以当时，，当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，解得或.
若，则，所以函数在上单调递增；
若，则，
所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
若，则，
所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）依题意，得，所以.
要证，即证，即证，即证,
即证，所以只需证时，成立即可.
令，则.
令，则.
所以在上单调递增.
所以，即，所以.
所以在上单调递增.所以，
所以，即.
22．解：（1）曲线的参数方程为为参数）．转换为．所以①，②，
②①得：．
曲线的极坐标方程为．根据，转换为直角坐标方程为．
（2）点在直线上，转换为参数方程为为参数），
代入，得到和为点和对应的参数），
所以，，
所以．
23．解：
（1）因为，所以，
所以不等式等价于或或，
解得或.
所以不等式的解集为或.
（2）因为，所以，
根据函数的单调性可知函数的最小值为，
因为恒成立，所以，解得.
所以实数的取值范围是.
理数试题
一、单选题
1．设全集为R，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则对应的点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段
3.下列命题为真命题的个数是（ ）
①是无理数，是无理数；
②若，则或；
③命题“若，，，则”的逆否命题为真命题；
④函数是偶函数.
A． B． C． D．
4．在等差数列中，，，则（ ）
A．0 B．m C．n D．
5．如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D.
7．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
9.设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知三棱锥中，底面为等边三角形,点为的中点，点为的中点，若点是空间中的两动点，且则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题
13.若直线和直线平行，则________.
14.已知向量.若与共线，则在方向上的投影为 ________.
15.已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_____．
16.平行四边形中，△是腰长为的等腰直角三角形，，现将△沿折起，使二面角大小为，若四点在同一球面上，则该球的表面积为_____.
三、解答题
17．已知数列对任意满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值．
18．在中，角，，所对的边分别为，，，若，点在线段上，且，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
19．如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，二面角等于60°，求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程．
（2）证明：在上有且仅有2个零点．
21．已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.
22．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线、交于、两点，，求的值．
23．已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.
河南省顶级名校2022届高三上学期第四次联考
理数答案
BDBAC ABCAD AB
13. 2 14. 15． 16.
17．解：（1）因为①，
所以 ②，
①②两式相减，得 ，
所以③．
又当时，得，不满足上式．
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，所以不成立，
当时，
，
由，得．
令，则为增函数，
又．
因此要使成立，只需，
故使成立的正整数的最小值为7．
18.解：（1）根据可得，
∴，
∴，∴，
即，∴.
又∵，∴.
（2）设，.
在中，由余弦定理可得.
在中，由余弦定理可得.
由于，故，
即，
整理可得.①
在中，由余弦定理可知.
代入①式整理可得.所以.
据此可知的面积 .
19．（1）证明：因为，
所以平面，
又因为平面，所以.
又因为，
所以平面.
（2）因为，
所以是二面角的平面角，即，
在中，，
取的中点，连接，因为,
所以,由（1）知，平面，为的中位线，
所以，即两两垂直，
以为原点建立如图所示的坐标系，设，则
，
，设平面的一个法向量为，
则由得令，得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．（1）解：，则，
又，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（2）证明：令，则．
当时，，单调递增，，，所以在上恰有1个零点．
当时，单调递增，，，
则存在，使得，则在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以存在，使得在上单调递增，在上单调递减，又，，所以在上恰有1个零点．
当时，，以在上单调递增，因为，所以在上没有零点．
综上，在上有且仅有2个零点．
21．解：（Ⅰ）依题意，，.
当时，.
所以当时，，当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，解得或.
若，则，所以函数在上单调递增；
若，则，
所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
若，则，
所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）依题意，得，所以.
要证，即证，即证，即证,
即证，所以只需证时，成立即可.
令，则.
令，则.
所以在上单调递增.
所以，即，所以.
所以在上单调递增.所以，
所以，即.
22．解：（1）曲线的参数方程为为参数）．转换为．所以①，②，
②①得：．
曲线的极坐标方程为．根据，转换为直角坐标方程为．
（2）点在直线上，转换为参数方程为为参数），
代入，得到和为点和对应的参数），
所以，，
所以．
23．解：
（1）因为，所以，
所以不等式等价于或或，
解得或.
所以不等式的解集为或.
（2）因为，所以，
根据函数的单调性可知函数的最小值为，
因为恒成立，所以，解得.
所以实数的取值范围是.
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