河南省顶级名校2022届高三上学期第四次联考数学（文）试卷（Word版含答案）

河南省顶级名校2022届高三上学期第四次联考
文科数学
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1.若z＝1＋i，则＝（ ）
A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i
2．设命题p：，q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的是（　　）
A．若α⊥β，l α，m β，则l⊥m； B．②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β； D．若l α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α⊥β.
4．已知，，，则（ ）
A． B．1 C． D．
5. 若，满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在正六边形ABCDEF中，点P为CE上的任意一点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．不确定
7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(　　)
A.6　 B.6　　 　C.4　　 D.4
8. 函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
9. 在中，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
10．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．数列中，，，若不等式对所有的正奇数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知函数则
14．已知成等差数列，成等比数列，则的最小值是 15．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=
16.已知三棱锥中，平面平面，若，，则该三棱锥的外接球的表面积为
三、解答题（共70分）
17．(本小题10分)
已知的内角A、B、C的对边分别为、、，，平分交于点，且，.
（1）求B；
（2）求的面积.
18．(本小题12分)
设公差不为0的等差数列中，，且，，构成等比数列．
（1）求数列的通项；
（2）若数列的前项和满足：，求数列的前项和．
19．(本小题12分)
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=,AC=BC=PC=,AB=2,点D,E分别为AB,PC的中点.
(1)证明:PD⊥平面ABC;
(2)设点F在线段BC上,且=λ,若三棱锥P-AEF的体积为,求实数λ的值.
20．(本小题12分)
2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
回归模型 模型① 模型②
回归方程
79.13 20.2
（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．
附： 刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．用最小二乘法求线性回归方程的截距：．
21．(本小题12分)
已知椭圆过点，且离心率.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设C的左 右焦点分别为，，过点作直线l与椭圆C交于A，B两点，，求的面积.
22．(本小题12分)
已知函数，，其中
（1）若，且的图象与的图象相切，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值.
河南省顶级名校2022届高三上学期第四次联考
文科数学答案
1-5 DBCDC 6-10 CBDDB 11-12 AA
13. 4 14. 4 15. 8 16.
17.（1）因为，所以，
因为，，所以，，
故，解得，
(2)
18.（1）设数列的公差为，因为，，构成等比数列，所以，
所以或（舍）
所以．
（2）当，，当，，
∴， ， ，
相减得，
所以，
即．
19. 解析　(1)证明:连接CD,∵PA=PB=,AB=2,D为AB的中点,
∴PD⊥AB,PD=1,
同理可得CD⊥AB,CD=2,
∵PD2+CD2=PC2=5,∴PD⊥CD,
∵AB∩CD=D,且AB、CD 平面ABC,
∴PD⊥平面ABC.
(2)∵=λ,E为PC的中点, ∴S△ACF=S△ABC,
又三棱锥P-AEF的体积为,
∴VP-AEF=VC-AEF=VE-ACF=VP-ACF=×VP-ABC=S△ABC·PD==,
∴λ=.
20. （1）对于模型①，
对应的，故对应的，
故对应的相关指数，
对于模型②，同理对应的相关指数，故模型②拟合精度更高、更可靠.
另：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较79.13和20.2的大小，从而说明模型②拟合精度更高、更可靠.
故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元).
（2）当时，
后五组的，，
由最小二乘法可得，
故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：
，
故投入17亿元比投入20亿元时收益小.
21. （1）解：将代入椭圆方程可得，即①
因为离心率，即，②， 由①②解得，，
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可得，，设直线l的方程为，
将直线l的方程代入中，得，
设，，则，.
所以，，
所以，，
，
由，解得，
所以，，
因此.
22（1）因为的图象与的图象相切，设切点为，
又，所以，解得，.
（2）因为等价于，令，
①当时，对于任意正实数恒成立，单调递增，
故由得，此时
②当时，由，得，
又当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以当时，有最小值，
所以，即，所以，
令，则，，
当时，，为增函数，当时，，为减函数，
所以，故，所以的最大值为1，此时，
综上所述，的最大值为1.
解析　(1)证明:连接CD,∵PA=PB=,AB=2,D为AB的中点,
∴PD⊥AB,PD=1,
同理可得CD⊥AB,CD=2,
∵PD2+CD2=PC2=5,∴PD⊥CD,
∵AB∩CD=D,且AB、CD 平面ABC,
∴PD⊥平面ABC.
(2)∵=λ,E为PC的中点, ∴S△ACF=S△ABC,
又三棱锥P-AEF的体积为,
∴VP-AEF=VC-AEF=VE-ACF=VP-ACF=×VP-ABC=S△ABC·PD==,
∴λ=.