2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3等比数列同步测试题（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3等比数列同步测试题（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 978.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-15 22:27:23 | ||
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文档简介
4.3等比数列同步测试题--2021--2022人教A（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．在等比数列中，，，则的值为
A．9 B．27 C．81 D．243
2．已知正项等比数列中，，则公比
A． B． C．或 D．2
3．若数列1，，，，9是等比数列，则实数的值为
A．5 B． C．3 D．3或
4．已知为等比数列，且，则公比为
A．2 B．4 C．8 D．16
5．已知等比数列的前项和为，，，
A． B． C．27 D．40
6．在等比数列中，公比为，前6项的和为，则
A． B． C． D．24
7．已知等比数列的前项和为，则的最小值为
A．2 B． C．4 D．5
8．已知等比数列的前项和为，若，，则
A．6 B．3 C．2 D．1
二．多选题（共4小题）
9．已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A．{|an|} B．{anan+1} C．{an2} D．{an+an+1}
10．设等比数列的各项都为正数，其前项和为，已知，且存在两项，，使得，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
11．已知等比数列{an|的各项均为正数，a1＝20，2a6+a5﹣a4＝0，数列{an}的前n项积为Tn，则（ ）
A．数列{an}单调递增 B．数列{an}单调递减
C．Tn的最大值为T5 D．Tn的最小值为T5
12．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．下列说法中正确的有
A．大鼠与小鼠在第三天相逢
B．大鼠与小鼠在第四天相逢
C．大鼠一共穿墙尺
D．大鼠和小鼠穿墙的长度比为
三．填空题（共4小题）
13．已知等比数列的前项和为，且，则 ．
14．已知等比数列中，，求的值为 ．
15．已知各项均为正数的等比数列，若，则取值范围为 ．
16．等比数列{an}满足a3+a15＝12，则a9的最大值为 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知数列为等比数列，且，．
（1）求；
（2）若，且，求．
18．已知等差数列满足，前3项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
19．记为等比数列的前项和，且，已知，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若，求．
20．已知等比数列是递增数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若为数列的前项积，证明：．
21．已知等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）比较与2的大小，并说明理由．
22．已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若恒成立，求的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在等比数列中，，，则的值为
A．9 B．27 C．81 D．243
【解答】解：设等比数列的公比为，
由，得，
所以．
故选：．
2．已知正项等比数列中，，则公比
A． B． C．或 D．2
【解答】解：正项等比数列中，，
则，
所以，
解得或（舍，
则公比．
故选：．
3．若数列1，，，，9是等比数列，则实数的值为
A．5 B． C．3 D．3或
【解答】解：数列1，，，，9是等比数列，
，，
，故，
解得，
．
故选：．
4．已知为等比数列，且，则公比为
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：，
，
，
或，
当时，当时，，即，无解，故舍去，
则公比．
故选：．
5．已知等比数列的前项和为，，，
A． B． C．27 D．40
【解答】解：由是等比数列，且，，得，，且，
所以，，，成等比数列，
即1，，，构成等比数列，
，解得或（舍去），
，即，解得．
故选：．
6．在等比数列中，公比为，前6项的和为，则
A． B． C． D．24
【解答】解：等比数列的公比，前6项和，
，解得，
．
故选：．
7．已知等比数列的前项和为，则的最小值为
A．2 B． C．4 D．5
【解答】解：根据题意，等比数列的前项和为，
则，
，
，
则有，变形可得，
，当且仅当时等号成立，
即的最小值为4；
故选：．
8．已知等比数列的前项和为，若，，则
A．6 B．3 C．2 D．1
【解答】解：设等比数列的公比为，则，
所以．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A．{|an|} B．{anan+1} C．{an2} D．{an+an+1}
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0，＝q，
所以＝|q|＞0，故{|an|}是以|a1|为首项，|q|为公比的等比数列，所以选项A正确；
由＝ ＝q2，得{anan+1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，所以选项B正确；
由＝q2，得{an2}是以a12为首项，q2为公比的等比数列，选项C正确；
当q＝﹣1时，an+an+1＝0，此时{an+an+1}不是等比数列，选项D错误．
故选：ABC．
10．设等比数列的各项都为正数，其前项和为，已知，且存在两项，，使得，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：选项，设公比为，则，
所以，又，解得，
所以，说法正确．
选项，，说法正确．
因为，
所以，即，解得，
故正确，错误．
故选：．
11．已知等比数列{an|的各项均为正数，a1＝20，2a6+a5﹣a4＝0，数列{an}的前n项积为Tn，则（ ）
A．数列{an}单调递增 B．数列{an}单调递减
C．Tn的最大值为T5 D．Tn的最小值为T5
【解答】解：等比数列{an|的各项均为正数，a1＝20，2a6+a5﹣a4＝0，
所以2q2a4+qa4﹣a4＝0，即2q2+q﹣1＝0，
因为q＞0
所以q＝或q＝﹣1（舍），
所以数列{an|为单调递减数列，A错误，B正确；
因为an＝20×（）n﹣1，
易得a5＞1，a6＜1，
所以Tn的最大值为T5，C正确，D错误．
故选：BC．
12．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．下列说法中正确的有
A．大鼠与小鼠在第三天相逢
B．大鼠与小鼠在第四天相逢
C．大鼠一共穿墙尺
D．大鼠和小鼠穿墙的长度比为
【解答】解：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，
则大鼠第日穿墙，小鼠第日穿墙，
，整理得，，
大鼠与小鼠在第三天相逢，故正确，错误；
第一天的时候，大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；
第二天的时候，大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺．
第三天按道理来说大老鼠打4尺，小老鼠0.25尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通．
我们现在设大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺
则打洞时间相等：
，
解方程得，
大老鼠在第三天打了尺，小老鼠打了尺，
三天总的来说：大老鼠打了尺，故正确；
大鼠和小鼠穿墙的长度比为：，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．已知等比数列的前项和为，且，则 2 ．
【解答】解：等比数列中，，
则，，
两式相减得，即该等比数列公比，
又等比数列中，，
所以．
故答案为：2．
14．已知等比数列中，，求的值为 36 ．
【解答】解：等比数列中，，
所以，
所以，
所以，
．
故答案为：36．
15．已知各项均为正数的等比数列，若，则取值范围为 ， ．
【解答】解：设公比为，
因为，
所以，
所以，
则，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
所以，
所以，
即取值范围为，，
故答案为：，．
16．等比数列{an}满足a3+a15＝12，则a9的最大值为 6 ．
【解答】解：设等比数列的公比为q，由a3+a15＝12，
可得+a9q6＝12，则a9＝，
由基本不等式得q6+≥2＝2，
当且仅当q6＝，即q＝±1时等号成立，
所以q6+的最小值是2，
所以a9＝≤6，
所以当q＝±1时，a9的最大值为6．
故答案为：6．
四．解答题（共6小题）
17．已知数列为等比数列，且，．
（1）求；
（2）若，且，求．
【解答】解：（1）因为，
所以数列的公比为3，
又所以，
故．
（2）因为，所以，
所以，
，
，
所以，
所以．
18．已知等差数列满足，前3项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
【解答】解：（1）设的公差为，
则，
解得，，
故；
（2）由题意得，，
故，
所以或，
若，则，若，则．
19．记为等比数列的前项和，且，已知，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若，求．
【解答】解：设的公比为，
由得，整理得，
因为，所以，所以或，
故，或．
若，则，
由，得，此方程没有正整数解；
若，则，
由，得，解得，
综上，．
20．已知等比数列是递增数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若为数列的前项积，证明：．
【解答】解；（1）设等比数列的公比为，
由，得．
解得或（舍去）．
所以．
（2）证明：由，得，
当时，①，②，
由①②得，
当时，满足上式，故，
．
21．已知等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）比较与2的大小，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）等比数列满足，，
，
解得，
数列的通项公式．
（Ⅱ）数列的前项和：
．
（Ⅲ），，
．
22．已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若恒成立，求的最小值．
【解答】解：（1）．，
解得，，或，（舍去）
故，
（2）由（1）可知，
，
单调递增，
，
当时，，
则若恒成立，则的最小值为8，
综上所述的最小值为8．
一．选择题（共8小题）
1．在等比数列中，，，则的值为
A．9 B．27 C．81 D．243
2．已知正项等比数列中，，则公比
A． B． C．或 D．2
3．若数列1，，，，9是等比数列，则实数的值为
A．5 B． C．3 D．3或
4．已知为等比数列，且，则公比为
A．2 B．4 C．8 D．16
5．已知等比数列的前项和为，，，
A． B． C．27 D．40
6．在等比数列中，公比为，前6项的和为，则
A． B． C． D．24
7．已知等比数列的前项和为，则的最小值为
A．2 B． C．4 D．5
8．已知等比数列的前项和为，若，，则
A．6 B．3 C．2 D．1
二．多选题（共4小题）
9．已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A．{|an|} B．{anan+1} C．{an2} D．{an+an+1}
10．设等比数列的各项都为正数，其前项和为，已知，且存在两项，，使得，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
11．已知等比数列{an|的各项均为正数，a1＝20，2a6+a5﹣a4＝0，数列{an}的前n项积为Tn，则（ ）
A．数列{an}单调递增 B．数列{an}单调递减
C．Tn的最大值为T5 D．Tn的最小值为T5
12．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．下列说法中正确的有
A．大鼠与小鼠在第三天相逢
B．大鼠与小鼠在第四天相逢
C．大鼠一共穿墙尺
D．大鼠和小鼠穿墙的长度比为
三．填空题（共4小题）
13．已知等比数列的前项和为，且，则 ．
14．已知等比数列中，，求的值为 ．
15．已知各项均为正数的等比数列，若，则取值范围为 ．
16．等比数列{an}满足a3+a15＝12，则a9的最大值为 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知数列为等比数列，且，．
（1）求；
（2）若，且，求．
18．已知等差数列满足，前3项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
19．记为等比数列的前项和，且，已知，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若，求．
20．已知等比数列是递增数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若为数列的前项积，证明：．
21．已知等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）比较与2的大小，并说明理由．
22．已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若恒成立，求的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在等比数列中，，，则的值为
A．9 B．27 C．81 D．243
【解答】解：设等比数列的公比为，
由，得，
所以．
故选：．
2．已知正项等比数列中，，则公比
A． B． C．或 D．2
【解答】解：正项等比数列中，，
则，
所以，
解得或（舍，
则公比．
故选：．
3．若数列1，，，，9是等比数列，则实数的值为
A．5 B． C．3 D．3或
【解答】解：数列1，，，，9是等比数列，
，，
，故，
解得，
．
故选：．
4．已知为等比数列，且，则公比为
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：，
，
，
或，
当时，当时，，即，无解，故舍去，
则公比．
故选：．
5．已知等比数列的前项和为，，，
A． B． C．27 D．40
【解答】解：由是等比数列，且，，得，，且，
所以，，，成等比数列，
即1，，，构成等比数列，
，解得或（舍去），
，即，解得．
故选：．
6．在等比数列中，公比为，前6项的和为，则
A． B． C． D．24
【解答】解：等比数列的公比，前6项和，
，解得，
．
故选：．
7．已知等比数列的前项和为，则的最小值为
A．2 B． C．4 D．5
【解答】解：根据题意，等比数列的前项和为，
则，
，
，
则有，变形可得，
，当且仅当时等号成立，
即的最小值为4；
故选：．
8．已知等比数列的前项和为，若，，则
A．6 B．3 C．2 D．1
【解答】解：设等比数列的公比为，则，
所以．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A．{|an|} B．{anan+1} C．{an2} D．{an+an+1}
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0，＝q，
所以＝|q|＞0，故{|an|}是以|a1|为首项，|q|为公比的等比数列，所以选项A正确；
由＝ ＝q2，得{anan+1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，所以选项B正确；
由＝q2，得{an2}是以a12为首项，q2为公比的等比数列，选项C正确；
当q＝﹣1时，an+an+1＝0，此时{an+an+1}不是等比数列，选项D错误．
故选：ABC．
10．设等比数列的各项都为正数，其前项和为，已知，且存在两项，，使得，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：选项，设公比为，则，
所以，又，解得，
所以，说法正确．
选项，，说法正确．
因为，
所以，即，解得，
故正确，错误．
故选：．
11．已知等比数列{an|的各项均为正数，a1＝20，2a6+a5﹣a4＝0，数列{an}的前n项积为Tn，则（ ）
A．数列{an}单调递增 B．数列{an}单调递减
C．Tn的最大值为T5 D．Tn的最小值为T5
【解答】解：等比数列{an|的各项均为正数，a1＝20，2a6+a5﹣a4＝0，
所以2q2a4+qa4﹣a4＝0，即2q2+q﹣1＝0，
因为q＞0
所以q＝或q＝﹣1（舍），
所以数列{an|为单调递减数列，A错误，B正确；
因为an＝20×（）n﹣1，
易得a5＞1，a6＜1，
所以Tn的最大值为T5，C正确，D错误．
故选：BC．
12．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．下列说法中正确的有
A．大鼠与小鼠在第三天相逢
B．大鼠与小鼠在第四天相逢
C．大鼠一共穿墙尺
D．大鼠和小鼠穿墙的长度比为
【解答】解：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，
则大鼠第日穿墙，小鼠第日穿墙，
，整理得，，
大鼠与小鼠在第三天相逢，故正确，错误；
第一天的时候，大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；
第二天的时候，大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺．
第三天按道理来说大老鼠打4尺，小老鼠0.25尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通．
我们现在设大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺
则打洞时间相等：
，
解方程得，
大老鼠在第三天打了尺，小老鼠打了尺，
三天总的来说：大老鼠打了尺，故正确；
大鼠和小鼠穿墙的长度比为：，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．已知等比数列的前项和为，且，则 2 ．
【解答】解：等比数列中，，
则，，
两式相减得，即该等比数列公比，
又等比数列中，，
所以．
故答案为：2．
14．已知等比数列中，，求的值为 36 ．
【解答】解：等比数列中，，
所以，
所以，
所以，
．
故答案为：36．
15．已知各项均为正数的等比数列，若，则取值范围为 ， ．
【解答】解：设公比为，
因为，
所以，
所以，
则，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
所以，
所以，
即取值范围为，，
故答案为：，．
16．等比数列{an}满足a3+a15＝12，则a9的最大值为 6 ．
【解答】解：设等比数列的公比为q，由a3+a15＝12，
可得+a9q6＝12，则a9＝，
由基本不等式得q6+≥2＝2，
当且仅当q6＝，即q＝±1时等号成立，
所以q6+的最小值是2，
所以a9＝≤6，
所以当q＝±1时，a9的最大值为6．
故答案为：6．
四．解答题（共6小题）
17．已知数列为等比数列，且，．
（1）求；
（2）若，且，求．
【解答】解：（1）因为，
所以数列的公比为3，
又所以，
故．
（2）因为，所以，
所以，
，
，
所以，
所以．
18．已知等差数列满足，前3项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
【解答】解：（1）设的公差为，
则，
解得，，
故；
（2）由题意得，，
故，
所以或，
若，则，若，则．
19．记为等比数列的前项和，且，已知，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若，求．
【解答】解：设的公比为，
由得，整理得，
因为，所以，所以或，
故，或．
若，则，
由，得，此方程没有正整数解；
若，则，
由，得，解得，
综上，．
20．已知等比数列是递增数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若为数列的前项积，证明：．
【解答】解；（1）设等比数列的公比为，
由，得．
解得或（舍去）．
所以．
（2）证明：由，得，
当时，①，②，
由①②得，
当时，满足上式，故，
．
21．已知等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）比较与2的大小，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）等比数列满足，，
，
解得，
数列的通项公式．
（Ⅱ）数列的前项和：
．
（Ⅲ），，
．
22．已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若恒成立，求的最小值．
【解答】解：（1）．，
解得，，或，（舍去）
故，
（2）由（1）可知，
，
单调递增，
，
当时，，
则若恒成立，则的最小值为8，
综上所述的最小值为8．