鲁教版（五四制）数学七年级上册 1.1 三角形中典型例题的解析教案
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）数学七年级上册 1.1 三角形中典型例题的解析教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 172.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-16 17:04:19 | ||
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文档简介
“对顶三角形”模型的研究
设计目的： 初中几何问题中有一些常见的模型，若能熟练掌握应用这些模型，可以提高学生解题速度和技能。“对顶三角形”就是常见几何模型之一。在以后的全等，相似中经常见到，如果熟悉这个模型，学生就可以快速的找到角与角之间的关系，化繁为简。本节课是七年级下第四章《三角形》的一个小专题，是利用三角形内角和定理，或三角形外角定理得到对顶三角形，除一组对顶角外，其他四个内角之间的等量关系。所以在本章介绍这个模型，第一证明方法与所学知识联系紧密，第二可以从简单的知识开始熟悉这个模型，为后面更复杂几何知识学习做铺垫。同时也通过本节课渗透模型思想，探索这一类课的教学模式。
教材分析： 本节是《三角形》的一个求角度的小专题，结合了三角形内角和定理，以及三角形外角定理，以及全等的相关知识。是对本章求角度的知识巩固和复习，同时也将复杂的求角问题模型化，简单化。
教学目标： 知识与技能：认识“对顶三角形”模型，归纳、应用“对顶三角形”模型中蕴含等量关系；会利用模型简化问题。 思想与方法：渗透转化思想，模型思想；习得特殊到一般，具体到抽象解决问题的方法。 能力与情感：在模型化过程中，发展数学抽象核心素养；感受数学抽象的简洁美，统一美。
重点难点： 通过对“对顶三角形”模型的学习，学习数学模型的研究方法； 在模型化过程中，发展数学抽象核心素养；感受数学抽象的简洁美，统一美。
学习过程:
环节 教学内容 师生活动 设计意图
教师 学生
引入 定义：如图，像△AOB与△COD这样，有一组内角是________的两个三角形，组成的图形，我们把它定义为“对顶三角形”。 描述为：△AOB与△COD互为对顶三角形。 播放两支铅笔相交的动画 问：可以抽象为什么数学图形？ 两条相交的线段 让学生经历从实物中抽象出数学图形，培养数学数学抽象的眼光和意识。
标记角 问：这两个角是？ 对顶角
播放封闭过程 问：又形成了两个什么？ 两个三角形
问：两个三角形形态上有什么联系？ 有一组内角互为对顶角
指令：给它取个名吧！ 都很好，今天我们姑且叫它对顶三角形。 学生取出“对顶三角形”或其他的名字。
指令：请学生读定义，老师板书课题，并画出图，然后说：今天我们就一起研究对顶三角形。
导学 活动1：“识”模 你能找出下列图中的“对顶三角形”吗？ 活动2：“研”模 想一想“对顶三角形”模型中蕴含了哪些角之间的等量关系？ 结论：_______________________。 仿照研究结论，写出类似的等量关系: ∠A+∠B=____+∠2 ∠C+∠D=____+____ _____________ 仿照上题，请用标记的角写出类似的等量关系: ______________ ______________ _____________ 活动3：“用”模 例1：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_____。 变式1：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H的值。 活动3：“构”模 例2、求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值. 变式2：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值. 指令：谁能像我这样我勾出图中的对顶三角形，一个人只勾一个，勾过的不勾，一气呵成。 问：找对顶三角形关键看什么？ 学生用不同的颜色勾，老师适当表扬。 让学生认识，熟悉模型； 也为后面解决问题做铺垫。
过渡语：认识了模型，下一步我们该做什么呢 ①有什么结论可用呢？（停顿）是不是应该先研究研究再用呢？ ②好，尊重你们的想法，我们一起研究研究。 学生用不同的颜色勾，老师适当表扬。 对顶角。
指令： 显然这里的等量关系会很多。 首先，先只说含两个角的等量关系; 只说含三个角的等量关系； 指令：看出来的同学举手。找一个同学来说是什么，你们认同吗？ 四个角的等量关系将两个三角形紧密的联系起来，这是对顶三角形蕴含的非常重要的结论。 它打开解决一些问题绿色通道的钥匙。 同时板书结论 问：这里有几个角？ 问：依据是 问：依据是 问：三个角之间的关系都说明了哪四个角之间的等量关系？一般情况下，不管四个角具体多少，都有 ∠A+∠B= ∠C+∠D，那么若∠A=∠C，那么∠B与∠D什么关系？ 若∠B=∠C能得到什么呢？ ①用模 ②研模 ∠AOB=∠COD ∠AOB=∠COD ∠A+∠B+∠AOB=180° ∠C+∠D+∠COD=180° ∠A+∠B=∠AOC (=∠BOD) ∠C+∠D=∠AOC(=∠BOD) ∠A+∠B= ∠C+∠D 激发学生的探索欲望 这个问题答案众多，老师的这些指令，是为了让学生思考和表达有序。这也体现数学的理性之美。利用数形之间的转化训练数学抽象能力。
指令：仿照研究结论，写出类似的等量关系。 仿照上题，请用标记的角写出类似的等量关系。 停顿30秒，问1：写完了吗？（请同学说） 问2：很好，将这三个式子联系起来，你还有什么发现？ 熟悉模型的重要结论。
过渡语：下面就请你用这把钥匙打开解决下面问题的绿色通道。 强调用这个模型。
指令：我们直接运用对顶三角模型知道和为360， 现在我这样切掉一个角，封闭起来，就会多一个角。 不说，请个同学来画一条线就知道比上题多了180°； 理解他的意图的同学举手。找个同学说 问1：你还有其他方法吗？ 问：它们之和增大了，还是减少了？（培养学生直观想象能力） 问：增大多少？为什么？ 学生说一个，若是连DE 学生若说出来，太厉害了，把我想说的说了；若学生没说出来，很好，其实这里还有一种利用对顶三角形形的方法，我先买个关子，后面揭晓，敬请期待。） 从有直观的模型入手，让学生习得模型的用法。这个问题虽然简单，但依然有同学不太理解，这个环节的问题要达到每个人都理解。如此调控课堂，便于了解所有学生情况，同时也给学生思考的时间。
①当然还有方法？ ②聪明。能转化为我们已求的模型，这样就像你在电梯上往上走，就是快！ ①用四边形内角和 ②连接EF 没有模型，我们可以构造模型，渗透转化思想，通过图形的变化，培养学生发散思维.，并多题归一，引导学生发现图形变化之间的本质联系，渗透模型思想。
指令：全体起立，知道答案的请坐，请个同学指点一下。理解这个做法的请坐。请个同学说说他的想法是什么。在同学讲的过程中，你懂了就坐下。 像这种，没有现成的模型，我们就构造模型，没有路，用你的智慧创造路。 问：有对顶三角形吗？怎么办？ 问：利用对顶三角形模型，将求五个角之和转化为求什么？ 问：拉动点D，点E，方法结论发生变化了吗？移动点A呢？ 连接BC。 （备注：提示学生标记角，便于描述） 三角形内角和
问：切掉一个角，，请全体起立，知道怎么做请坐。请同学来画一下，理解意图的请坐，请同学讲，听懂的坐下。 同学讲完还没坐下的同桌马上指导一下，其他同学写写过程。 移动点D,点E点O 总结：这几个图，形状各异，有的像燕尾，有的像五角星，有的像帽子……本质都是一个图变化，解决他们的方法，也都是通过对顶三角形模型转化为求…… 提一个拓展问题：如何求七角星的七角之和呢？ 连接BC。于是 ∠A+∠B+∠C=∠A+∠1+∠2+∠3+∠4 ∠3+∠4=∠D+∠E 原式=∠A+∠1+∠2 180°
过渡语：下面我们一起看看对顶三角形模型还有哪些应用。
探究 深度思考 例3、有两个有公共顶点的等边三角形△ABC和△CDE，直线BD和直线AE相交形成的角是多少度？ 变式1、将两个等边三角形换为等腰直角三角形呢？ 变式2、换为两个顶角都为的两个共顶点的三角形呢？ 3min独立思考。 有思路举手。请同学来讲，讲到全等时，停顿，请全体起立，知道为什么全等的请坐。若不知道，请同学再详细讲一下，同时老师板书。 学生接着讲。 老师板书。 确定讲完了吗？ 讲完请全体起立，懂了就坐下，站着的同学马上请旁边同学指导一下，其他同学写一写过程。 问1：两直线相交形成几个角，他们什么关系？ 答案应该有几个？ 他们什么关系，所以实际我求几个角就可以？ 将两个等边三角形换为等腰直角三角形呢？ 换为两个顶角都为的两个共顶点的三角形呢？ 四个角， 有两组对顶角， 两个， 互补 只用求一个 从特殊到一般研究全等的典型模型，变化中不变的关系。让学生熟悉模型，渗透模型思想和转化思想。
利用对顶三角形将未知角转化为已知角
过渡语：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，下面请同学们自己检测一下
练习 1、求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=______. 2.求∠A+∠B+∠C-∠D-∠E=_______. 3BE，DE分别平分∠ABC和∠CDA，当∠A=40°∠C=30°时，求∠E=______。. 5min完成后，请小组统一答案，然后公布，评讲答案。全部正确的举手，有错的请起立，错在哪里？请同学解答。 练习，检测
总结：这节课我们学习了什么内容，它的蕴含的重要结论是，可以用来转角。我经历了识模，研模的过程，然后有模型就直接用模，无模就构造模型的模型思想。构模过程中用到了什么数学思想？你还有什么收获。 还经历了从具体到抽象，特殊到一般的研究问题的过程。希望大家不管是在学习还是生活中都能透过现象看本质，让数学学习更有趣也更简单。
板书设计
“对顶三角形” ∠A+∠B=∠C+∠D （∵∠A=∠C ∴∠B=∠D） 识模 研模 用模（构模） 转化 （思想） 探的例1的过程。
设计目的： 初中几何问题中有一些常见的模型，若能熟练掌握应用这些模型，可以提高学生解题速度和技能。“对顶三角形”就是常见几何模型之一。在以后的全等，相似中经常见到，如果熟悉这个模型，学生就可以快速的找到角与角之间的关系，化繁为简。本节课是七年级下第四章《三角形》的一个小专题，是利用三角形内角和定理，或三角形外角定理得到对顶三角形，除一组对顶角外，其他四个内角之间的等量关系。所以在本章介绍这个模型，第一证明方法与所学知识联系紧密，第二可以从简单的知识开始熟悉这个模型，为后面更复杂几何知识学习做铺垫。同时也通过本节课渗透模型思想，探索这一类课的教学模式。
教材分析： 本节是《三角形》的一个求角度的小专题，结合了三角形内角和定理，以及三角形外角定理，以及全等的相关知识。是对本章求角度的知识巩固和复习，同时也将复杂的求角问题模型化，简单化。
教学目标： 知识与技能：认识“对顶三角形”模型，归纳、应用“对顶三角形”模型中蕴含等量关系；会利用模型简化问题。 思想与方法：渗透转化思想，模型思想；习得特殊到一般，具体到抽象解决问题的方法。 能力与情感：在模型化过程中，发展数学抽象核心素养；感受数学抽象的简洁美，统一美。
重点难点： 通过对“对顶三角形”模型的学习，学习数学模型的研究方法； 在模型化过程中，发展数学抽象核心素养；感受数学抽象的简洁美，统一美。
学习过程:
环节 教学内容 师生活动 设计意图
教师 学生
引入 定义：如图，像△AOB与△COD这样，有一组内角是________的两个三角形，组成的图形，我们把它定义为“对顶三角形”。 描述为：△AOB与△COD互为对顶三角形。 播放两支铅笔相交的动画 问：可以抽象为什么数学图形？ 两条相交的线段 让学生经历从实物中抽象出数学图形，培养数学数学抽象的眼光和意识。
标记角 问：这两个角是？ 对顶角
播放封闭过程 问：又形成了两个什么？ 两个三角形
问：两个三角形形态上有什么联系？ 有一组内角互为对顶角
指令：给它取个名吧！ 都很好，今天我们姑且叫它对顶三角形。 学生取出“对顶三角形”或其他的名字。
指令：请学生读定义，老师板书课题，并画出图，然后说：今天我们就一起研究对顶三角形。
导学 活动1：“识”模 你能找出下列图中的“对顶三角形”吗？ 活动2：“研”模 想一想“对顶三角形”模型中蕴含了哪些角之间的等量关系？ 结论：_______________________。 仿照研究结论，写出类似的等量关系: ∠A+∠B=____+∠2 ∠C+∠D=____+____ _____________ 仿照上题，请用标记的角写出类似的等量关系: ______________ ______________ _____________ 活动3：“用”模 例1：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_____。 变式1：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H的值。 活动3：“构”模 例2、求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值. 变式2：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值. 指令：谁能像我这样我勾出图中的对顶三角形，一个人只勾一个，勾过的不勾，一气呵成。 问：找对顶三角形关键看什么？ 学生用不同的颜色勾，老师适当表扬。 让学生认识，熟悉模型； 也为后面解决问题做铺垫。
过渡语：认识了模型，下一步我们该做什么呢 ①有什么结论可用呢？（停顿）是不是应该先研究研究再用呢？ ②好，尊重你们的想法，我们一起研究研究。 学生用不同的颜色勾，老师适当表扬。 对顶角。
指令： 显然这里的等量关系会很多。 首先，先只说含两个角的等量关系; 只说含三个角的等量关系； 指令：看出来的同学举手。找一个同学来说是什么，你们认同吗？ 四个角的等量关系将两个三角形紧密的联系起来，这是对顶三角形蕴含的非常重要的结论。 它打开解决一些问题绿色通道的钥匙。 同时板书结论 问：这里有几个角？ 问：依据是 问：依据是 问：三个角之间的关系都说明了哪四个角之间的等量关系？一般情况下，不管四个角具体多少，都有 ∠A+∠B= ∠C+∠D，那么若∠A=∠C，那么∠B与∠D什么关系？ 若∠B=∠C能得到什么呢？ ①用模 ②研模 ∠AOB=∠COD ∠AOB=∠COD ∠A+∠B+∠AOB=180° ∠C+∠D+∠COD=180° ∠A+∠B=∠AOC (=∠BOD) ∠C+∠D=∠AOC(=∠BOD) ∠A+∠B= ∠C+∠D 激发学生的探索欲望 这个问题答案众多，老师的这些指令，是为了让学生思考和表达有序。这也体现数学的理性之美。利用数形之间的转化训练数学抽象能力。
指令：仿照研究结论，写出类似的等量关系。 仿照上题，请用标记的角写出类似的等量关系。 停顿30秒，问1：写完了吗？（请同学说） 问2：很好，将这三个式子联系起来，你还有什么发现？ 熟悉模型的重要结论。
过渡语：下面就请你用这把钥匙打开解决下面问题的绿色通道。 强调用这个模型。
指令：我们直接运用对顶三角模型知道和为360， 现在我这样切掉一个角，封闭起来，就会多一个角。 不说，请个同学来画一条线就知道比上题多了180°； 理解他的意图的同学举手。找个同学说 问1：你还有其他方法吗？ 问：它们之和增大了，还是减少了？（培养学生直观想象能力） 问：增大多少？为什么？ 学生说一个，若是连DE 学生若说出来，太厉害了，把我想说的说了；若学生没说出来，很好，其实这里还有一种利用对顶三角形形的方法，我先买个关子，后面揭晓，敬请期待。） 从有直观的模型入手，让学生习得模型的用法。这个问题虽然简单，但依然有同学不太理解，这个环节的问题要达到每个人都理解。如此调控课堂，便于了解所有学生情况，同时也给学生思考的时间。
①当然还有方法？ ②聪明。能转化为我们已求的模型，这样就像你在电梯上往上走，就是快！ ①用四边形内角和 ②连接EF 没有模型，我们可以构造模型，渗透转化思想，通过图形的变化，培养学生发散思维.，并多题归一，引导学生发现图形变化之间的本质联系，渗透模型思想。
指令：全体起立，知道答案的请坐，请个同学指点一下。理解这个做法的请坐。请个同学说说他的想法是什么。在同学讲的过程中，你懂了就坐下。 像这种，没有现成的模型，我们就构造模型，没有路，用你的智慧创造路。 问：有对顶三角形吗？怎么办？ 问：利用对顶三角形模型，将求五个角之和转化为求什么？ 问：拉动点D，点E，方法结论发生变化了吗？移动点A呢？ 连接BC。 （备注：提示学生标记角，便于描述） 三角形内角和
问：切掉一个角，，请全体起立，知道怎么做请坐。请同学来画一下，理解意图的请坐，请同学讲，听懂的坐下。 同学讲完还没坐下的同桌马上指导一下，其他同学写写过程。 移动点D,点E点O 总结：这几个图，形状各异，有的像燕尾，有的像五角星，有的像帽子……本质都是一个图变化，解决他们的方法，也都是通过对顶三角形模型转化为求…… 提一个拓展问题：如何求七角星的七角之和呢？ 连接BC。于是 ∠A+∠B+∠C=∠A+∠1+∠2+∠3+∠4 ∠3+∠4=∠D+∠E 原式=∠A+∠1+∠2 180°
过渡语：下面我们一起看看对顶三角形模型还有哪些应用。
探究 深度思考 例3、有两个有公共顶点的等边三角形△ABC和△CDE，直线BD和直线AE相交形成的角是多少度？ 变式1、将两个等边三角形换为等腰直角三角形呢？ 变式2、换为两个顶角都为的两个共顶点的三角形呢？ 3min独立思考。 有思路举手。请同学来讲，讲到全等时，停顿，请全体起立，知道为什么全等的请坐。若不知道，请同学再详细讲一下，同时老师板书。 学生接着讲。 老师板书。 确定讲完了吗？ 讲完请全体起立，懂了就坐下，站着的同学马上请旁边同学指导一下，其他同学写一写过程。 问1：两直线相交形成几个角，他们什么关系？ 答案应该有几个？ 他们什么关系，所以实际我求几个角就可以？ 将两个等边三角形换为等腰直角三角形呢？ 换为两个顶角都为的两个共顶点的三角形呢？ 四个角， 有两组对顶角， 两个， 互补 只用求一个 从特殊到一般研究全等的典型模型，变化中不变的关系。让学生熟悉模型，渗透模型思想和转化思想。
利用对顶三角形将未知角转化为已知角
过渡语：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，下面请同学们自己检测一下
练习 1、求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=______. 2.求∠A+∠B+∠C-∠D-∠E=_______. 3BE，DE分别平分∠ABC和∠CDA，当∠A=40°∠C=30°时，求∠E=______。. 5min完成后，请小组统一答案，然后公布，评讲答案。全部正确的举手，有错的请起立，错在哪里？请同学解答。 练习，检测
总结：这节课我们学习了什么内容，它的蕴含的重要结论是，可以用来转角。我经历了识模，研模的过程，然后有模型就直接用模，无模就构造模型的模型思想。构模过程中用到了什么数学思想？你还有什么收获。 还经历了从具体到抽象，特殊到一般的研究问题的过程。希望大家不管是在学习还是生活中都能透过现象看本质，让数学学习更有趣也更简单。
板书设计
“对顶三角形” ∠A+∠B=∠C+∠D （∵∠A=∠C ∴∠B=∠D） 识模 研模 用模（构模） 转化 （思想） 探的例1的过程。